Bağımlı olasılığa başlangıç

Garip bir kumarhanedeki bir oyunu oynamak isteyip istemediğinize karar vermek.

Kendimizi garip oyunların olduğu bir kumarhanede hayal edelim.

-

Bir masaya yaklaşıyorsunuz ve bu masada boş bir torba var.

-

Masadaki krupiye şöyle diyor: " Burada birkaç bilye var, 3 yeşil bilye, 2 turuncu bilye ve bunları boş torbaya koyuyorum."

-

Ve gerçekten 3 yeşil bilye ve 2 turuncu bilye olduğunu size göstermek için bilyeleri torbaya koyar.

-

Ve şöyle devam eder: "Oynamanızı istediğim oyun şöyle. Bakmadan torbaya elinizi daldıracaksınız.

-

Torba şeffaf değil.

Bilyelere dokunabilirsiniz. Bilyeler renk dışında aynı.

İki yeşil bilye seçebilirseniz...

Bir bilye seçtiniz, yeşilse masaya koyarsınız ve torbadan bir bilye daha seçersiniz. Bu da yeşilse, 1 Lira kazanacaksınız."

-

-

-

-

Siz de şöyle diyorsunuz, "İlginç bir oyuna benziyor, oynamak için hangi ücreti ödemem gerekiyor?"

-

Adam 35 kuruş diyor.

Düşük bahisli bir kumarhane.

Şimdi size soruyorum, oyunu oynamak ister miydiniz?

Eğlence etmenini işin içine katmayın.

Ekonomik olarak bu oyunu oynamak mantıklı mı?

Biraz olasılıkları düşünelim.

Öncelikle birinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?

Birinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?

Birinci yeşil yazayım.

Birincinin yeşil olma olasılığı.

Burada eşit olasılıklı 5 bilye var.

-

Yani 5 olası sonuç.

Bunların 3'ü birinci bilyenin yeşil olma olayını gerçekleştiriyor.

Yani birinci bilyenin yeşil olma olasılığı 3 bölü 5.

5'te 3 şansınız var.

3 bölü 5 olasılık demeliyim.

Bu olasılıkla oyuna devam ediyorsunuz.

Asıl ilgilendiğimiz, oyunu kazanma olasılığınız.

Birincinin ve ikincinin yeşil olmasını istiyorsunuz.

Şimdi bunu düşünelim.

Birincinin ve ikincinin yeşil olma olasılığı nedir?

-

-

Şöyle demek isteyebilirsiniz:

"İkincinin yeşil olma olasılığı da aynıdır, 3 bölü 5'tir, 3 bölü 5 çarpı 3 bölü 5 eşittir 9 bölü 25 bulurum. Yeterince kolay."

-

-

-

Ama ilk yeşil bilyeyle ne yaptığınız fark yaratıyor.

Birinci yeşil bilyeyi çektikten sonra rengine bakıp torbaya geri atmıyorsunuz.

İkinci seçimi yaparken torbadaki yeşil bilyelerin sayısı, birinci seçimde hangi bilyeyi seçtiğinize bağlı.

-

Unutmayın, ilk bilyeyi torbadan çıkarıyoruz.

Yeşil veya herhangi bir renkse.

İlk seçimden sonra bilyeyi masaya bırakıyoruz.

Geri koymuyoruz.

Yani bunlar bağımsız olmayan olaylar.

Bağımsız değil.

İkinci seçim birinci seçime bağlı.

-

Birinci seçim yeşilse, torbada üç yeşil bilye kalmıyor.

Birinci seçim yeşilse, şimdi torbadaki dört bilyeden ikisi yeşil.

Bu ikisinin birden olma olasılığını bulurken birincinin yeşil olma olasılığı çarpı, şimdi yeni bir kavram geliyor, şu küçük çizgi koşullu olasılığı simgeliyor, birincinin yeşil olması koşuluna göre, ikincinin yeşil olma olasılığı, diyoruz.

-

-

-

-

-

-

Şimdi birinci bilyenin yeşil olduğunu biliyorsak ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?

Bu senaryoyu burada çizmiştik.

İlk bilye yeşilse, dört değişik sonuç kalır, beş değil.

-

Bunlardan iki tanesi istediğimiz olaya uyar.

İki tanesi olayımıza uyar.

Birinci bilye ve ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı eşittir birincinin yeşil olma olasılığı, bu 3 bölü 5, çarpı birincinin yeşil olması koşuluna göre ikincinin yeşil olma olasılığı.

-

-

-

Şimdi torbadaki bilye sayısı 1 eksik ve birinci bilyenin yeşil olduğunu varsayıyoruz.

Yani sadece iki yeşil bilye kaldı.

Sonuç olarak hangi olasılığı elde ederiz?

Bakalım. 3 bölü 5 çarpı 2 bölü 4, 2 bölü 4 1 bölü 2 ile aynı.

-

Yani bu eşittir 3 bölü 5 çarpı 1 bölü 2.

Bu da eşittir 3 bölü 10.

Veya 0,30 olarak da yazabiliriz.

Veya birinciyi yerine koymadan iki yeşil bilye çekme olasılığımızın yüzde 30 olduğunu söyleyebiliriz.

-

Bu sonuca göre, soruyu tekrar soruyorum.

Bu oyunu oynamak ister miydiniz?

Bu oyunu çok çok çok çok defa oynadığınızda, ortalama olarak 1 Lira kazanma şansınız yüzde 30.

-

-

Bunu daha önce yapmadık, ama beklenen değeriniz yüzde 30 çarpı 1 Lira olacak.

-

-

Bu biraz ön gösterim gibi.

Sonuç 30 kuruş.

1 Lirayı kazanma şansı yüzde 30 olduğu için, bu oyunu çok defa oynadığınızda, ortalama olarak, 30 kuruş kazanmayı beklersiniz.

-

-

-

Peki, ortalama 30 kuruş kazanmak için birisine 35 kuruş ödemek ister miydiniz?

-

Hayır! Bu oyunu oynamak istemezdiniz.

Şimdi şunu düşünmenizi istiyorum.

Birinci seçimdeki yeşil bilyeyi geri koyabilseydiniz oyunu oynamak ister miydiniz?

-

-

Oyun böyle olsa oynamak ister miydiniz?