条件付き確率入門
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0:00 - 0:03僕らは今、とあるおかしなカジノにいると考えよう。
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0:03 - 0:05とてもおかしなゲームをしているカジノさ。
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0:05 - 0:07君はテーブルに近づくと、その上には
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0:07 - 0:10空の袋があるんだ。
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0:10 - 0:15テーブルを取り仕切る奴はこう言う、「見て、ここにいくつかビー玉がある。
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0:15 - 0:193つの緑色のビー玉と、2つのオレンジ色のビー玉さ。
これを袋に突っ込む。」 -
0:19 - 0:21その言葉通り、彼はビー玉を空の袋に突っ込んだので
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0:21 - 0:30中には3つの緑色のビー玉と2つのオレンジ色のビー玉があることが確実に分かる。
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0:30 - 0:35そして彼は言う、
「君にプレイしてもらいたいゲームは、もし君が乗り気ならだけど、 -
0:35 - 0:38中を見ずに袋に手を入れてもらう。
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0:38 - 0:40袋は透明でないし
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0:40 - 0:43ビー玉の質感は全く同じだ。
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0:43 - 0:462つの緑色のビー玉を取り出せたら君の勝ち。
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0:46 - 0:50まず1回目に取り出したビー玉が緑なら、
それをテーブルの上に置く。 -
0:50 - 0:53そしてもう一度袋に手を入れ
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0:53 - 0:55もう1つビー玉を取り出す。それもまた緑色なら
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0:55 - 0:59君は賞金を受け取る。
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0:59 - 1:072つの緑のビー玉を取り出せば 1ドルの賞金だ。」
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1:07 - 1:08それで君は答える。
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1:08 - 1:10「面白そうなゲームだね。
賭け金はいくら?」 -
1:10 - 1:15そいつは 35セントだと答える。
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1:15 - 1:18言うまでもなく、かなり賭け金の低いカジノだ。
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1:18 - 1:23さてここで問題だ、
君はこのゲームをプレイしたいと思うかい? -
1:23 - 1:25ただし、面白さについては考慮しないことにしよう。
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1:25 - 1:32お金の損得だけを考えた時、
このゲームをプレイするのは理にかなうだろうか? -
1:32 - 1:35さて、確率についてしばし考えよう。
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1:35 - 1:41まず最初に、1番目に取り出したビー玉が緑色である確率はどのくらいだろう?
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1:41 - 1:481番目のビー玉が緑色である確率は?
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1:48 - 1:50おっと、「最初が緑」と略させてもらうよ。
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1:50 - 1:54「最初が緑の確率」と。
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1:54 - 1:57起こりうる全ての場合の数は、
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1:57 - 1:59同様に確からしい5つのビー玉があるから、
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1:59 - 2:01全部で5通りある。
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2:01 - 2:05そのうち「最初は緑」となる事象は3つだから
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2:05 - 2:09最初が緑になる確率は 3/5 だ。
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2:09 - 2:10だから君には 3/5 の見込みがあるわけだ。
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2:10 - 2:123/5 の確率、だけど気を付けるべきは
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2:12 - 2:161つ取り出した後もゲームはまだ続いてるってことだ。
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2:16 - 2:21今、本当に関心があるのは、ゲームに勝つ確率だ。
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2:21 - 2:251つ目が緑で、さらに2つ目も緑になってほしいのさ。
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2:25 - 2:28これについて少し考えよう。
最初が緑になる -
2:28 - 2:32確率はどのくらいだろう?
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2:32 - 2:33「g」と略して書くことにしよう。
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2:33 - 2:38次に2番目が緑になる確率は?
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2:38 - 2:41もしかすると、君はこう言いたくなるかもしれない。
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2:41 - 2:44「ああきっと、2番目が緑の確率も同じように 3/5 で、
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2:44 - 2:48単に 3/5 と 3/5 を掛ければ良いんだよ。
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2:48 - 2:49だから 9/25 が答えさ。
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2:49 - 2:52簡単なことじゃないか。」
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2:52 - 2:56でも、1番目の緑のビー玉の扱いを思い出してほしい。
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2:56 - 3:001番目の緑のビー玉を取り出して、それを見た後、君はそれを袋に戻さない。
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3:00 - 3:06だから2回目に取り出す時、袋の中の緑のビー玉の数は
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3:06 - 3:071回目の取り出しによって変わっているんだ。
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3:07 - 3:09ビー玉を取り出した時、
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3:09 - 3:11それが緑色であろうと、そうでなかろうと、
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3:11 - 3:141回目に取り出したものはテーブルの上に置いておくことに注意しよう。
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3:14 - 3:17ビー玉はもとの袋に戻らないから、取り出した分は減ってしまう。
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3:17 - 3:20だから1回目と2回目の事象は独立でない。
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3:20 - 3:25「独立でない」という言葉の意味を明確にしよう。
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3:25 - 3:30言い換えるなら、2回目の取り出しは1回目に依存する。
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3:30 - 3:37「1回目に依存」と。
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3:37 - 3:421回目に緑が出た時、バッグの中のビー玉は5つ、うち3つが緑色、というわけではなく
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3:42 - 3:481回目が緑なら、残りのビー玉は4つ、うち緑色なのは2つだ。
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3:48 - 3:52これによって、2つの事象が起こる確率が分かる。
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3:52 - 3:59そう、最初が緑の確率は常に一定だ。
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3:59 - 4:07掛ける、ここが今回の新しい考え方だけど、2回目が緑の確率を求めるには
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4:07 - 4:10ある条件を考慮する必要がある。この小さい垂直な線は、
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4:10 - 4:13ある条件を満たした上での確率であることを示す。
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4:13 - 4:16ここで、条件があることを示すんだよ。
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4:16 - 4:19次に条件を書く。ここでは「最初が緑」が条件だ。
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4:19 - 4:26最初が緑だったと仮定して、2回目が緑になる確率はいくつだろう?
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4:26 - 4:28さて、ここに筋書きを描こう。
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4:28 - 4:331回目のビー玉が緑なら、残りの起こりうる事象は4通りある。
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4:33 - 4:355通りではないよ。
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4:35 - 4:39そのうち基準を満たすのは2通りだ。
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4:39 - 4:42基準を満たすのは2通りだよ。
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4:42 - 4:46だから1回目のビー玉が緑で、さらに2回目のビー玉も緑になる確率は
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4:46 - 4:48まず最初が緑になる確率、
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4:48 - 4:50つまり 3/5 だね。
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4:50 - 4:54掛ける、1回目が緑と仮定した時の、2回目が緑となる確率。
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4:54 - 4:58今 袋の中のビー玉は1つ減っていて、1回目が緑だと仮定しているから
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4:58 - 5:02残りの緑のビー玉は2つだけだ。
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5:02 - 5:05この式によると、最終的な確率はいくつだろう?
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5:05 - 5:07ええと、3/5 掛ける 2/4 で、
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5:07 - 5:092/4 は 1/2 と等しいから
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5:09 - 5:143/5 掛ける 1/2 となって
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5:14 - 5:16イコール 3/10 だ。
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5:16 - 5:210.30 とも書けるし、
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5:21 - 5:25袋に戻すことなく2つの緑のビー玉を取り出すのに
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5:25 - 5:2930%の見込みがあるとも言える。
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5:29 - 5:32さて、これをもとに、もう一度問題を考えてみよう。
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5:32 - 5:35このゲームをプレイしたいと思うかい?
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5:35 - 5:39さて、このゲームをとてもとてもたくさんプレイした時、
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5:39 - 5:44平均すると30%の確率で
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5:44 - 5:47賞金の1ドルを得る。
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5:47 - 5:49まだ終わりじゃないよ。
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5:49 - 5:52賞金の期待値を計算すると、
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5:52 - 5:5630% 掛ける 1ドル、
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5:56 - 5:57あくまで目安だけど、
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5:57 - 6:0130セントになる。
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6:01 - 6:0330%の確率で1ドルを得るから、
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6:03 - 6:05ゲームをとてもとてもたくさんプレイした時に
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6:05 - 6:06期待できる賞金は
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6:06 - 6:111ゲームあたり平均30セントだ。
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6:11 - 6:13さて、君は平均30セントを得るために
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6:13 - 6:1835セントを支払いたいと思うかい?
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6:18 - 6:21嫌だね。そんなことはしたくない。
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6:21 - 6:24ここでもう一つ考えてほしいことがある。
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6:24 - 6:25もし最初に緑のビー玉を
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6:25 - 6:29取り出した後、それを袋に戻せるなら
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6:29 - 6:31そのゲームをプレイしたいと思うかな?
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6:31 - 6:37この条件でプレイしたいか、考えてみよう。
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