-
Lad os forestille os, at vi er på et meget mærkeligt kasino
-
med nogle underlige spil.
-
Vi går op til et bord,
-
og på bordet ligger en tom pose.
-
Fyren, der styrer bordet siger: "Jeg har nogle glaskugler her.
-
3 grønne og 2 orange. Jeg putter dem ned i posen."
-
Så kaster han dem ellers ned i posen.
-
Der er 3 grønne og 2 orange.
-
Han siger så: "Vi skal spille et spil,
-
hvor I skal kigge væk, stikke en hånd ned i posen,
-
mærke lidt rundt på glaskuglerne,
-
tage en,
-
og hvis I får 2 grønne kugler i træk,
-
vinder I 1 krone."
-
Vi skal altså stikke hånden ned i posen,
-
og hvis vi tager 2 grønne i træk 1 ad gangen,
-
vinder vi 1 krone.
-
Det er ikke meget, men hvis vi fortsætter længe nok, kan vi vinde mange penge.
-
Vi spørger ham fyren, hvor meget det koster at prøve.
-
Det koster 35 øre.
-
.
-
Det er altså et ret billigt kasino.
-
Nu er spørgsmålet så: Er det klogt at gå med i spillet?
-
Vi skal kun se, om vi kan tjene penge på det.
-
Giver det mening at spille det?
-
Lad os udregne nogle sandsynligheder.
-
Hvad er sandsynligheden for, at den første kugle er grøn?
-
.
-
Sandsynligheden for, at den første er grøn.
-
.
-
Hvor mange mulige udfald er der i alt?
-
Der er 5 kugler, og sandsynligheden er lige stor ved dem alle.
-
Der er altså 5 mulige udfald.
-
3 af dem er grønne, så 3 opfylder betingelsen.
-
Der er altså 3/5 chance for, at den første er grøn.
-
.
-
.
-
Hvis vi starter med en grøn, er vi stadig med i spillet.
-
Vi vil dog gerne vinde.
-
Både den første og den anden skal være grønne.
-
Hvad er sandsynligheden for,
-
at både den første og den anden
-
er grønne?
-
Vi skriver g for grøn.
-
Måske tænker vi først,
-
at sandsynligheden ved kugle nummer 2 er den samme.
-
Så skulle vi gange 3/5 med 3/5,
-
og det giver 9 over 25.
-
Det er jo ret let.
-
Men hvad gør vi med den første grønne kugle?
-
Vi lægger den jo ikke ned i posen igen bagefter.
-
Når vi tager den anden kugle,
-
kommer antallet af grønne kugler tilbage i posen jo an på, hvad vi tog første gang.
-
Vi tager kuglen op af posen og lægger den på bordet.
-
Vi lægger
-
den ikke tilbage igen.
-
Begivenhederne
-
er altså ikke uafhængige.
-
De er afhængige.
-
Begivenhed nummer 2 er afhængig af begivenhed nummer 1.
-
Det kommer an på, hvad vi trak i begivenhed nummer 1.
-
Hvis vi trækker en grøn i første træk, er der ikke længere 3 grønne tilbage i posen.
-
Så er der kun 2 tilbage.
-
Sandsynligheden for at trække 2 grønne er altså
-
lig med sandsynligheden for at trække den første grønne
-
gange sandsynligheden for at trække endnu en grøn
-
givet vi trak en grøn i første forsøg.
-
Den her lodrette streg betyder givet.
-
Givet betyder, at vi går ud fra det.
-
.
-
Hvad er sandsynligheden for, at den anden kugle er grøn givet den første kugle er grøn?
-
.
-
Hvis den første kugle er grøn,
-
er der 4 og ikke 5 mulige udfald tilbage.
-
2 af dem opfylder betingelsen.
-
2 af dem er grønne.
-
Vi skal gange de 2 begivenheders sandsynligheder sammen.
-
Sandsynligheden for, at den første er grøn,
-
er 3/5.
-
Hvad er sandsynligheden for, at den anden er grøn?
-
Der er 1 kugle mindre i posen. Vi trak jo en grøn i første forsøg.
-
Der er kun 2 grønne tilbage nu.
-
.
-
3/5 gange 2/4.
-
2/4 er det samme som 1/2.
-
3/5 gange 1/2.
-
Det er lig med 3/10.
-
Det er 0,30.
-
Det er 30 procent.
-
Der er altså 30 procent chance for at trække 2 grønne kugler i træk.
-
Lad os nu vende tilbage til spørgsmålet.
-
Bør vi spille spillet?
-
Hvis vi spiller spillet mange gange,
-
er der gennemsnitligt 30 procent chance
-
for at vinde 1 krone.
-
.
-
Det er altså 30 procent gange 1 krone.
-
.
-
Det er 30 øre.
-
.
-
Hvert spil giver derfor
-
gennemsnitligt 30 øre,
-
når der er 30 procent chance for at vinde 1 krone.
-
Er det smart
-
at betale 35 øre for at vinde 30 øre?
-
.
-
Nej. Vi bør holde os fra spillet, hvis vi vil tjene penge.
-
Vi kan tænke over,
-
om vi vil spille spillet,
-
hvis vi lægger den grønne kugle tilbage i posen igen
-
efter første træk.
-
Måske vil vi så gerne spille spillet?
