オイラーのトーシェント関数（φ関数）

オイラーのトーシェント関数（φ関数）

オイラーは、数の性質（特に素数の分布）を

調査し続けました。

彼の扱った重要な関数の１つに

φ（ファイ）関数があります。

φ関数は、数字の分割性を示します。

例えば Nという数が与えられた時、

φ関数では N 以下の数のうち、

Nと公約数を持たない数の個数が解となります。

例えば、８のφを見てみましょう。

まず１から８までの数を並べます。

そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

そして、2以上の整数で８と公約数のないものを数えます。

たとえば６は数えることができません。

８と６は共に２で割ることができるからです。

一方、１、３、５、７は数えることができます。

これらは、８との公約数を１以外で持たないからです。

よって、 φ（８）＝４ です。

φ関数の面白いところは、

ある特別な場合に
簡単に計算ができることです。

このグラフは、

１から１０００までの整数の
φ（N）の値を図にしたものです。

さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか？

直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。

素数は１以外に公約数を持たないので、

どんな素数（P）でも φ関数の値は（P-1）となります。

φ（７）を計算してみましょう。

７は素数なので、７以外の数は数えることができます。

７以外は公約数がないですからね。

φ（７）＝６になります。

だから、もし素数である21377のφを求めよ
といわれたら、

ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

ただそこから１をひくだけで答えが出ます。
つまり、21376 です。

どんな素数でもφを計算することは簡単です。

他にも、応用可能な面白い性質があります。

それはφ関数はかけ算もできるということです。

つまりは、φ（A×B）＝φ（A)×φ（B）という関係です。

もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

もし、ある数Nが２つの素数（P1,P2) の積で
あらわされることが分かっている時、

φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

φ（N）は、それぞれのφのかけ算と同じになります。

つまり、（P１−１）×（P２−１）です。