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オイラーのトーシェント関数(φ関数)

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Υπότιτλοι μεταφρασμένοι από Αγγλικά Showing Revision 10 created 08/14/2013 by linoal.13.

  1. オイラーは、数の性質(特に素数の分布)を

  2. 調査し続けました。
  3. 彼の扱った重要な関数の1つに
  4. φ(ファイ)関数があります。
  5. φ関数は、数字の分割性を示します。
  6. 例えば Nという数が与えられた時、
  7. φ関数では N 以下の数のうち、
  8. Nと公約数を持たない数の個数が解となります。
  9. 例えば、8のφを見てみましょう。
  10. まず1から8までの数を並べます。
  11. そして、2以上の整数で8と公約数のないものを数えます。
  12. そして、2以上の整数で8と公約数のないものを数えます。
  13. たとえば6は数えることができません。
  14. 8と6は共に2で割ることができるからです。
  15. 一方、1、3、5、7は数えることができます。
  16. これらは、8との公約数を1以外で持たないからです。
  17. よって、 φ(8)=4 です。
  18. φ関数の面白いところは、
  19. ある特別な場合に
    簡単に計算ができることです。
  20. このグラフは、
  21. 1から1000までの整数の
    φ(N)の値を図にしたものです。
  22. さて、なにか予測可能なパターンに気づくでしょうか?
  23. 直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。
  24. 直線に見える部分が、全て素数を表しているのです。
  25. 素数は1以外に公約数を持たないので、
  26. どんな素数(P)でも φ関数の値は(P-1)となります。
  27. φ(7)を計算してみましょう。
  28. 7は素数なので、7以外の数は数えることができます。
  29. 7以外は公約数がないですからね。
  30. φ(7)=6になります。
  31. だから、もし素数である21377のφを求めよ
    といわれたら、
  32. ただそこから1をひくだけで答えが出ます。
    つまり、21376 です。
  33. ただそこから1をひくだけで答えが出ます。
    つまり、21376 です。
  34. どんな素数でもφを計算することは簡単です。
  35. 他にも、応用可能な面白い性質があります。
  36. それはφ関数はかけ算もできるということです。
  37. つまりは、φ(A×B)=φ(A)×φ(B)という関係です。
  38. もし、ある数Nが2つの素数(P1,P2) の積で
    あらわされることが分かっている時、
  39. もし、ある数Nが2つの素数(P1,P2) の積で
    あらわされることが分かっている時、
  40. φ(N)は、それぞれのφのかけ算と同じになります。
  41. φ(N)は、それぞれのφのかけ算と同じになります。
  42. つまり、(P1−1)×(P2−1)です。