-
Euler pokračoval ve zkoumání
vlastností čísel.
-
Zvláště se věnoval rozložení prvočísel.
-
Definoval jednu důležitou funkci,
které se říká "funkce Fí".
-
Tato funkce je mírou
rozpadnutelnosti čísla.
-
Vezmeme-li například číslo 'N',
-
tak funkce vrátí počet celých čísel,
které jsou menší nebo rovna 'N'
-
a nemají společného prvočíselného dělitele s 'N'.
-
Pokud budeme chtít vědět,
kolik je například Fí(8),
-
tak se podíváme na všechny
hodnoty čísel od 1 do 8
-
a spočítáme počet celých čísel,
-
se kterými nemá 8 společného
dělitele většího než 1.
-
Vynecháme 6, neboť 6 a 8
mají společného dělitele 2,
-
ale 1, 3, 5 a 7 se započítají,
-
protože společným dělitelem je pouze 1.
-
Proto platí Fí(8) = 4.
-
Zajímavé je,
-
že výpočet funkce Fí je složitý
až na jediný případ.
-
Podívejte se na tento graf,
-
kde jsou vyneseny hodnoty Fí
pro celá čísla od 1 do 1000.
-
Vidíte nějaký předvídatelný vzor?
-
Rovná čára bodů kolem vrcholu
představuje všechna prvočísla.
-
Prvočísla nemají žádného společného
dělitele, kromě čísla 1,
-
takže Fí jakéhokoliv prvočísla 'p'
je (p mínus 1).
-
Abychom spočetli Fí(7),
což je prvočíslo,
-
tak spočítáme všechna
celá čísla kromě 7,
-
protože žádné nemá společného
prvočíselného dělitele se 7.
-
Fí(7) = 6.
-
Takže když máte najít Fí(21 377),
což je prvočíslo,
-
tak pouze odečtete 1
a máte výsledek: 21 376.
-
Fí jakéhokoliv prvočísla
je jednoduché spočítat.
-
To má zajímavé důsledky díky faktu,
-
že funkce Fí je 'multiplikativní'.
-
To znamená, že
Fí(A krát B) = Fí(A) krát Fí(B).
-
Pokud víme, že nějaké číslo 'N'
je součinem dvou prvočísel P1 a P2,
-
tak Fí(N) je jen součin hodnot Fí
daných prvočísel
-
neboli (P1 mínus 1) krát (P2 mínus 1).
Daniel Hollas
I corrected the timing of the subtitles, which was messed up in the first half of the video.