-
-
لنرى إن كان بالامكان الحصول على المزيد من الننائج المفيدة. إلا أنها قد لا تبدو مهمة بوضوح الآن. ولكننا سنتخدم هذه الناتئج فيما بعد عند استكشاف مواضيع الجبر الخطي الأخرى
-
ولنفترض الآن أن لدي مصفوفة ما تمسى بالمصفوفة X- سأبد بمصفوفة ثلاثة في ثلاثة هنا وذلك لأنني أعتقد أن مصفوفة اثنين في اثنين تبدو هنا حالة عامة بعض الشئ#
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ولنقل أن هذه المصفوفة تشتمل على المدخلات( إيه, بيه, اكس واحد, اكس اثنين)( a,b, xواحد, x اثنين)
-
كا بامكاني تسمية هذه المدخلات (سي) و (دي) c و d, ولكنكم سترون بعد قليل لما سميتهم x واحد و x اثنين
-
وسأفترض أيضا أن لدي هنا مصفوفة أخرى مسماة مسفوفة Y وهي مماثلة لهذه المصفوفة باستثناء هذا الصف. أي أن المصفوفة Y تساوي a, b و y واحد, y اثنين
-
-
إضافة لذلك, سنفترض أن لدينا هنا مصفوفة ثالثة ولتكن Z وهي أيضا مطابقة لكلتا المصفوفتين السابقتين. أي أنها تشتمل على الصف الأول كما هو a, b ولكن الصف الثاني سيكون عبارة عن مجموع الصف الثاني لكل من المصفوفتين السابقتين, وبالتالي سيكون الصف الثاني لهذه المصفوفة x واحد زائد y واحد, والمدخل الثاني سيكون x اثنين زائد y اثنين
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
وكي يكون ما نقوم به واضحا هنا, المصفوفة Z لا تساوي المصفوفة X زائد المصفوفة Y
-
حيث أنه ليست كل حدود المصفوفة Z مساوية لمجموع جميع حدود كل من المصفوفة X و المصفوفة Y
-
-
وكما ترون أنني أركز هنا فقك على صف محدد. وهذا ككل عبارة عن موضوع عام, وسترونه مرارا وتكرارا فيما بعد, وأيضا رأيناه في الفيديو السابق. وأظن أننا سنراه هنا
-
-
-
حيث أن محددات المصفوفات ليست خطية على عمليات المصفوفات, ولكنها خطية على العمليات التي نقوم بها على صف واحد#
-
-
-
-
وفي هذه الحالة, جميع الحدود متساوية, ماعدا هذا الصف. أي سيكون لدى المصفوفة Z نفس الصف الأول مثل هاتين المصفوفتين, والصف الثاني للمصفوفة Z سيساوي مجموع الصف الثاني للمصفوفة x مع الصف الثاني للمصفوفة y. والآن, سنستكشف العلاقة بين محددات هذه المصفوفات
-
-
حسنا, محدد المصفوفة X هذه يساوي a x اثنين ناقص b x واحد. ومحدد المصفوفة Y يساوي a y اثنين ناقص b y واحد. وأخيرا محدد المصفوفة Z يساوي a مضروبة في x اثنين زائد y اثنين ناقص b مضروبة في x واحد زائد y واحد وهذا الحد ككل يساوي a x اثنين زائد a y اثنين-قمت بتوزيع a هنا- ناقص b x واحد ناقصb y واحد
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
وبالتالي سيكون هذا الحد عبارة عن a x اثنين ناقص b x واحد وهم عبارة عن هذين الحدين الذين أحيطهما. سأستخدم لون أخر لتوضيحهم. ثم سيكون لدينا هنا زائد a y اثنين ناقص b y واحد.
-
والآن, ماذا عن هذا الحد؟ هذا الحد يساوي محدد x. وأيضا هذا الحد عبارة عن محدد y
-
-
-
-
-
-
فلو كان لدينا هنا مصفوفات متماثلة تماما ماعدا صف واحد- وفي هذه الحالة مصفوفة اثنين في اثنين. إذ أن هذه المصفوفة تبدو و كأنها نصف مصفوفة- محدد Z يساوي مجموع المحددين الآخرين. وهذه حالة خاصة جدا
-
-
-
-
-
-
-
وسأعيدها عدة مرات. حيث أنها فقد تصلح في حال ما كان هذه الصف فقط يساوي مجموع هذا الصف وهذا الصف. والمصفوفات متماثلة في باقي الحدود أيضا
-
-
-
-
والآن, سأقدم لكم مثال لمصفوفة في حال ثلاثة في ثلاثة والتي قد تبدو عامة بعض الشئ. ثم سأنتقل إلى مصفوفة n في n
-
-
-
حيث أن مصفوفة n في n تعتبر الأسهل عند مستوى معين. إلا أنها كما تعلمون مجردة. ولهذا تأجيلها للآخر
-
-
والآن, سنعرف كل تلك الحدود السابقة في حال مصفوفة ثلاثة في ثلاثة
-
ولنفترض أن لدينا هنا الآن مصفوفة A والمكونة من( a, b, c)- سأكتب الصف الثالث الآن والذي سنستخدمه في تحديد المحدد- وبالتالي سيكون هذا الصف( d, e,f) - عفوا, سأنشئ الصف الأوسط هنا كي لا تعتقدوا أنه دائما ما يكون الصف الأخير
-
-
-
-
-
وبالتالي ستشتمل حدود الصف الأوسط على x واحد, x اثنين, x ثلاثة. والصف الأخير يتكون من d,e,f. والآن سنوجد محدد المصفوفة X هذه
-
-
-
-
-
وبالتالي, محدد X سيساوي ولنفترض هذا الصف الذي أحيطه باللون الأخضر- وإذا ما كنتم تتذكرون نموذج لوحة الشطرنج المكونة من, موجب, سالب, موجب, سالب, موجب....إلخ
-
-
-
-
وبالتالي, سنبدأ هنا بسالب x واحد مضروبة في المصفوفة الجزئية الناتجة لدينا بعد التخلص من هذا العمود وهذا الصف. أي سيبقى لدينا هنا( b,c,e,f)
-
-
-
ثم نضيف لهذه المصفوفة الجزئية x اثنين مضروبة أيضا في المصفوفة الجزئية بعد التخلص من هذا العمود وهذا الصف لتتكون المصفوفة الجزئية من( a,c,d,f)
-
-
-
وأخيرا نطرح المصفوفة الجزئية هذا من X ثلاثة مضروبة في المصفوفة الجزئية الناتجة بعد حذف كل من هذا الصف وهذا العمودو ليبقى لنا هنا في هذه المصفوفة( a,b,d,e)
-
-
-
-
والآن, سأعرف مصفوفة أخرى ولتكن المصفوفة Y وهي مماثلة للمصفوفة X باستثناء الصف الأوسط. وبالتالي, ستكون حدود الصف الأول لهذه المصفوفة( a,b,c,) ثم ( d ,e,f). وكما تعلمون سيكون الصف الأوسط مختلف وسيتكون من( y واحد, y اثنين, y ثلاثة)
-
والآن, مذا سيكون محدد المصفوفة Y هذه؟ محدد هذه المصفوفة سيساوي....حسنا, هذا المحدد سيكون مماثلا لمحدد المصفوفة X وذلك لأن المصفوفات الجزئية لهذا المحدد ستكون ستكون نفس المصفوفات الجزئية ل X عند حذف هذا الصف و هذه الأعمدة. لكن المعاملات هنا ستكون مختلفة
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
وبالتالي, بدلا من وجود X واحد, سيكون لدينا هنا Y واحد. وبالتالي سنكتب هنا, ناقص y واحد مضروبة في المحدد المكون من( b, c, e,f) زائد y اثنين مضروبة في المحدد المكون من( a,c,d,f) ناقص y ثلاثة مضروبة في المحدد ( a,b,d,e,) وأعتقد أنكم تعلمون من أين حصلنا على هذا
-
-
-
-
والآن, سأنشئ مصفوفة أخرى ولتكن Z ولنقل أنها تحتوي على الصف الأول والثاني المماثلين للصف الأول والثاني في المصفوفتين السابقتين. ولذلك, سيكون الصف الأول للمصفوفة Z هذه عبارة عن( a,b,c) والثاني كما ترون( d,e,f). أما بالنسبة لهذا الصف الأوسط فسيكون عبارة عن حاصل مجموع كل من الصفين الأوسطين لكلتا المصفوفتين السابقتين.وعندما حددنا هذا المحدد إنتقلنا على طول هذا الصف الذي أشير إليه هنا
-
-
-
-
-
-
-
-
-
وبناء على ذلك, هذا الصف الأوسط سيساوي x واحد زائد y واحد, وكما تعلمون أن هذا هو الحد الأول. ثم, x اثنين زائد y اثنين. وأخيرا, x ثلاثة زائد y ثلاثة
-
-
-
وبعد هذا, ماذا سيكون محدد Z؟ يمكننا الآن الإنتقال على طول هذا الصف. وبالتالي سيكون لدينا هنا ناقص x واحد زائد y واحد مضروبة في مصفوفته الجزئية التي تنتج لنا بعد التخلص من كل من هذا الصف وهذا الصف وهذا العمود والتي ستتكون من( b,c,e,f) زائد هذا المعامل المحتوي على( x اثنين زائد y اثنين) مضروب في مصفوفته الجزئية المركبة من( a,c,d,f) ناقص هذا الحد والمشتمل على( x ثلاثة, مضروبة في y ثلاثة) مضروبا في مصفوفته الجزئية بعد التخلص من كل من هذا الصف وهذا العمود, أي مضروبا في( a,b,d,e)
-
ا
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
وبالتالي, لدينا هنا محدد المصفوفة Z
-
-
-
-
-
أعتقد أنكم تدركون جيدا لو تم جمع هذه المصفوفة الجزئية مع هذه سنحصل على هذه المصفوفة
-
-
-
وذلك لوجود كل من هذين المعاملين الذين لو تم جمعهما سنحصل على سالب x واحد زائد y واحد هاهنا
-
-
حيث يتم جمع كل من هذه المصفوفة و هذه المصفوفة مع هذه المصفوفة
-
ثم يتم جمع كل من هذه المصفوفة و هذه المصفوفة مع هذه المصفوفة
-
-
-
-
وأخير, نجمع هذه المصفوفة و هذه المصفوفة مع هذه المصفوفة.
-
-
ولهذا, سيكون لدينا هنا محدد المصفوفة X زائد محدد المصفوفة Y يساوي محدد المصفوفة Z
-
-
-
وكما ترون أننا إستخدما المصفوفة في حالة اثنين في اثنين, وهاهنا في حال ثلاثة في ثلاثة. و لربما أيضا في حال n في n
-
-
-
-
ولكن هذه الآلية مماثلة لمصفوفة ثلاثة في ثلاثة, و من الجيد أن تتذكر نموذج مصفوفة ثلاثة في ثلاثة دائما, وذلك لسهولة تمثيلها. حيث أن نموذج المصفوفة ثلاثة في ثلاثة مجردا بعض الشئ
-
-
-
والآن, سأقوم بإعادة تعريف المصفوفات مرة أخرى وذلك من خلال إتباع نفس الطرق التي قمنا بها مسبقا
-
-
-
-
-
لذا, سيكون لدينا هنا مصفوفة جديدة هي n X في n ولنفترض أن حدود هذه المصفوفة تشتمل على a واحد واحد و a واحد اثنين وذلك وصولا حتى a واحد n. إضافة لذلك, سنفترض أن لدينا هنا صف آخر ولنسميه i. و يتكون هذا الصف من x واحد, x اثنين وصولا حتى x n
-
وما تبقى من حدود ستكون عبارة عن حدود a المنتظمة. أي سيكون هذا الصف a اثنين واحد وصولا حتى a اثنين n
-
-
-
-
-
-
-
وبالإنتقال هنا للأسفل, سيكون لدينا هنا a n واحد وصولا حتى an n
-
-
وبشكل عام, بوسعك الآن تخيل شكل المصفوفة القياسية الموجود لدينا حيث تم تعريف جميع الحدود ك a, ولكنني إستبدلت الصف i بأعداد معينة قد تكون مختلفة قليلا. أعتقد أنكم متابعون معي ما أقوم به
-
-
-
-
والآن, سأعرف مصفوفة أخرى ولتكن هذه المصفوفة Y والتي بلأساس ستتبع نفس الآلي, أي أنها ستساوي( a واحد, واحد- وهي نفسها الموجوة في المصفوفة السابقة- و a واحد اثنين وصولا حتى a واحد n. والصف الثاني بنفس الطريقة. أي a اثنين واحد, و a اثنين اثنين وصولا حتى a اثنين n. ثم, لدينا هنا نفس الصف i - وكما تشاهدون أن هذه المصفوفة n في n وبالتالي ستكون هذه المصفوفة n في n. و أيضا لو كانت هذه المصفوفة عشرة في عشرة ستكون هذه المصفوفة عشرو في عشرة ولو كان هذه الصف سبعة سيكون أيضا هذا الصف سبعة
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ولذلك, فمصفوفة تحتوي على حدود مختلفة. وهي مماثلة للمصفوفة X مع إختلاف في الصف i. وبالتالي ما يقابل صف i في هذه المصفوفة ستكون هذه الحدود وهي( y واحد, y اثنين وصولا حتى y n) وبالإنتقال إلى الأسفل سيكون لدينا هنا a n واحد وصولا حتى a n n
-
-
-
-
-
وهذا كاف هنا
-
والآن, سنفترض أن لدينا هنا مصفوف ثالثة. وسأرسم هذه المصفوفة هاهنا
-
-
-
-
ولتكن المصفوفة الثالثة هذه عبارة عن Z وتساوي- المصفوفة Z هذه مماثلة لكلتا المصفوفتين السابقتين ماعدا الصف i. وبالتالي ستتكون هذه المصفوفة من( a واحد واحد, a واحد اثنين وصولا حتى a واحد n. ثم ننتقل للأسفل, حيث سيكون الصف i عبارة عن مجموع صفين i في كلتا المصفوفتين السابقتين X و Y
-
وبناء على ذلك, ستكون حدود الصف i هذا عبارة عن( x واحد زائد y واحد. ثم x اثنين زائد y اثنين, وصولا حتى xn زائد yn
-
-
-
-
-
-
-
-
ثم ننتقل للأسفل بنفس الطريقة. وباقي الحدود ستكون متماثة. ولدينا هنا a n واحد, وصولا إلى a n n
-
ولهذا, جميع هذه المصفوفات متماثلة بإستثناء الصف i الذي يختلف من مصفوفة لأخرى كما رأيتم
-
-
-
علاة على ذلك, المصفوفة Z مماثلة لنظيرتها من المصفوفات السابقة بإستثناء الصف i والذي يساوي مجموع الصف i في المصفوفة X ونظيره في المصفوفة Y
-
تعتبر خطوة دقيقة, إلا أننا نستطيع إيجاد محددات هذه المصفوفات
-
-
والآن, ماذا ستكون المحددات الناتجة لنا لهذه المصفوفات؟
-
حسنا, محدد المصفوفة X سيساوي - أعتقد أن كتابة الترميز سيجما الذي كتبناه في المصفوفة السابقة ييسر علينا هنا قليلا -
-
والآن, يمكننا الإنتقال على طول هذا الصف الذي أحيطه. وبالتالي سيكون محدد المصفوفة X مساويا للمجموع(سيجما) من j تساوي واحد - حيث أن j ستكون العمود, لذا سنأخذ مجموع كل هذه الحدود, بدأ من واحد و وصولا إلى n
-
-
-
-
-
-
و أعتقد أنكم تتذكرون نموذج لوحة الشطرنج. فنحن لا نعرف إن ما كان هذا الحد موجبا أو سالبا. إلا أننا يمكننا تحديد ذلك من خلال كتابة سالب واحد هنا مرفوعة للقوة i زائد j. وتذكر هنا أن هذا هو صف i الذي نتحدث عنه
-
-
-
-
-
-
-
-
ثم نضربه في x j, حيث أن x j تعتبر المعامل, مضروبا في المصفوفة الجزئية ل x j
-
-
-
-
وبالتالي عند التخلص من صف وعمود هذا الحد, ماذا سينتج لنا؟
-
-
-
-
-
-
-
يمكننا القول أن هذا الحد هونفس المصفوفة الجزئية, فلو تم التخلص من صف وعمود هذا الحد. لو كلن لدينا هنا مصفوفتنا التقليدية(الأصلية) حيث لم يتم استبدال هذا الصف, أي لو كان لدينا هنا a i واحد, و a i اثنين, فعندئذ ستكون المصفوفة الجزئية لهذا المحدد نفس الشئ. وذلك لاننا نحذف كل من هذا الصف وهذا العمود
-
وبالتالي ستكون المصفوفة الجزئية لدينا هنا A, حيث أن هذه مصفوفة n في n, وبالتالي هذه المصفوفة ستكون المصفوفة الجزئية ل i j وهذا عبارة عن المحدد هنا مضروبا في محدد المصفوفة الجزئية a i j, وهذا كان بالنسبة للحد الأول,ثم نضيفه للحد الثاني, ونكمل بهذه الطريقة. وهذا عبارة كان عبارة عن ترميز سيجما. وهذا كان محدد المصفوفة X
-
والآن ما هو محدد المصفوفة Y؟
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
حسنا, محدد المصفوفة Y يساوي مجموع j تساوي واحد مرفوعة ل n, مضروبة في سالب واحد, مرفوع إلى i زائد j - بما أننا سننتقل على طول هذا صف i هذا, سيكون لدينا هنا - y j
-
-
-
حيث أننا سنبدأ ب y واحد, زائد y 2 مضروبة في محدد مصفوفته الجزئية وهذا يساوي محدد المصفوفة الجزئية هذه. ولهذا سنتخلص من صف وعمود كل من هذه الحدود. وبالتالي ستكون بقى حدود المصفوفة هي نفس مدخلات نظيرتها السابقة
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ولهذا, سيكون لدينا هنا مصفوفة a i j
-
والآن, ما هو محدد المصفوفة Z؟
-
أنا متأكد إلى حد ما أنكم على دراية بما سنقوم به الآن
-
المحدد....هذه عبارة عن حرف Y مكبر
-
-
وبالتالي فمحدد المصفوفة Z سيساوي مجموع j تساوي واحد وصولا إلى n, سالب واحد مرفوعة i زائد j- سننتقل على طول هذا الصف- والآن, لدينا هنا المعامل x i, عذرا, أقصد x j زائد y j ثم مضروبا في مصفوفته الجزئية والذي تساوي هاتين المصفوفتين السابقتين. ولهذا سيكون لدينا الآن a i j. والتي لو لاحظتم أنها تساوي مجموع كل من هاتين المصفوفتين.
-
-
-
فلو تم جمع كل من هذين الحدد مع بعض, أي كل من هذين العاملين, حيث أن كل من هذين الحدين يتواجدان في الحد a i j. ثم, لو تم جمع كل من هذين الحدين, يمكنك تحليل هذا الحد, ومن ثم ستحصل على هذا الحد الموجود هاهنا
-
-
-
-
-
-
والخلاصة التي يمكن التوصل لها هنا أن محدد المصفوفة X زائد محدد المصفوفة Y يساوي محدد المصفوفة Z
-
-
أمل أنني إستطعت أن أقدم لكم مصفوفة في حالتها العامة. إلا أنني في نفس الوقت أود أن يكون ما قمنا به هنا واضحا. حيث أن ما قمنا به كان يختص بثلاثة مصفوفة متماثلة ماعدا صف واحد, هذا هو
-
-
-
و إحدى هذه المصفوفات, مع وجود ذلك الصف الخاص أي الإستثنائي, ستكون عبارة عن مجموع مصفوفتين عند وجود ذلك الصف الإستثنائي, وما تبقى من حدود ستكون متماثلة
-
-
-
-
وهذه المرة الأولى التي تمكنا فيها من إنشاء صيغة عامة حيث يكون محدد المصفوفة Z يساوي محدد المصفوفة X زائد المصفوفة Y
-
-
-
وهذه ليست الحالة....أي أنه إذا كانت المصفوفة Z تساوي المصفوفة X زائد المصفوفة Y لن تكون الحالة التي ليس من الضروري عندها أن يكون محدد المصفوفة Z يساوي محدد المصفوفة X زائد محدد المصفوفة Y
-
-
-
-
إذ لا يمكن إفتراض ذلك. وذلك لأن عمليات المحددات ليست خطية على جمع المصفوفة# ولكن يكونون ذلك فقط على صف محدد
-
-
على أي حال, آمل أن تكونوا قد إستفدتم
-