-
Ще напиша едно
диференциално уравнение:
-
производната на у спрямо х
-
е равна на 4у върху х.
-
В това видео
ще покажа, че решението
-
на едно диференциално уравнение
не е стойност или набор от стойности.
-
То е функция или
набор от функции.
-
Но преди реално да опитаме
да го решим,
-
или да намерим всички решения,
-
нека да проверим дали
определени равенства или функции
-
са решения на това
диференциално уравнение.
-
Например, ако имам
у = 4х,
-
дали това е решение на това
диференциално уравнение?
-
Постави видеото на пауза
и опитай самостоятелно.
-
За да проверим дали това
е решение,
-
трябва да намерим
производната на у
-
по отношение на х
и да видим дали наистина
-
е равна на 4у/х.
-
Ще се опитам да изразя
всичко чрез х,
-
за да видя дали наистина
имаме равенство.
-
Първо да намерим
производната на у спрямо х.
-
Това ще бъде равно на четири.
-
Правили сме го много
пъти досега.
-
За да направим проверка, трябва
-
четири, производната на у
спрямо х
-
да е равно на 4 по у,
-
но нека да заместим у с 4х.
-
Ще изразя всичко чрез х.
-
Значи е равно на 4х...
-
вместо 4у записвам
четири пъти по 4х,
-
цялото върху х.
-
Вярно ли е това?
-
Това х се съкращава с това
и получавам:
-
4 е равно на 16, което
очевидно не е вярно.
-
Значи това не е решение.
-
Не е решение на
-
нашето диференциално уравнение.
-
Сега да видим друго
уравнение.
-
Например у = х^4.
-
Постави на пауза и опитай
да провериш дали това е решение
-
на нашето първоначално
диференциално уравнение.
-
Ще направим същото нещо.
-
Коя е производната
на у спрямо х?
-
Това е равно на – използваме
правилото за производна на степен –
-
равно е на 4х на трета степен.
-
За да проверим това,
дали това 4х^3,
-
това е производната на у
спрямо х,
-
е равно на 4у,
-
навсякъде изразявам у
чрез х,
-
значи е равно на 4х^4,
-
защото х^4 е равно на у,
-
делено на х?
-
Да видим, х^4 делено на х,
-
това става равно на х^3.
-
Значи получаваме 4х^3
е равно на 4х^3.
-
Значи това е решение.
-
Това е решение.
-
Не е задължително
да е единственото решение,
-
но е решение на диференциалното
уравнение.
-
Да видим друго
диференциално уравнение.
-
Да кажем, че имаме...
-
Ще го запиша по различен начин:
-
f'(х) = f(х) – х.
-
Първата функция, която
искам да проверя –
-
да кажем, че имам f(х) = 2х.
-
Това решение ли е на това
диференциално уравнение?
-
Спри видеото отново и
провери самостоятелно.
-
За да се установи това,
-
трябва да намерим
колко е f'(х).
-
f'(х) просто е равно на 2.
-
И сега проверяваме
има ли равенство.
-
Дали 2 е равно на f'(х),
когато f'(х) е равно на f(х) - х при f'(х) = 2х, ,
-
когато f'(х) е равно на 2х – х.
-
Да видим, ще получим,
че 2 е равно на х.
-
Тук може да се изкушиш да кажеш, че
-
сме намерили х или нещо такова.
-
Но това не е решение,
-
защото трябва да е вярно
за всяко х,
-
което е в дефиниционното
множество на тази функция.
-
Затова просто ще сложа тук
един кръст,
-
или ще напиша неправилно,
-
това не е решение.
-
Искам да поясня отново,
-
за да бъде една функция решение
на диференциалното уравнение,
-
това трябва да е вярно
за всяко х,
-
което заместваме във функцията.
-
Да видим друго уравнение.
-
Нека да е f(х) = х + 1.
-
Спри видеото и провери дали
това е решение
-
на това диференциално уравнение.
-
Същият метод.
-
f'(х) ще бъде равно на 1.
-
И трябва да проверим
дали f'(х) = 1,
-
е равно на f'(х), когато
f'(х) = f(x) - x,
-
при f(x) = х + 1,
т.е. когато f'(х) = х + 1 – х.
-
Тук, независимо каква
е стойността на х,
-
това равенство е изпълнено.
-
Значи това е решение.
-
Това е решение.
-
Хайде да видим
още няколко примера.
-
Ще превъртя малко надолу,
за да има повече място,
-
но искам все още да се вижда
първото диференциално уравнение.
-
Да проверим дали...
ще използвам червено,
-
да проверим дали f(х)
-
равно на (е^х) + х + 1
-
е решение на това
диференциално уравнение.
-
Спри отново видеото
и провери самостоятелно.
-
Добре, да намерим
производната тук.
-
f'(х) ще бъде равно на –
-
производната на е^х спрямо х
е равна на е^х,
-
което мен винаги ме изумява.
-
След това + 1 (производната на х), а
производната на 1 спрямо х е просто 0.
-
Сега да заместим в първоначалното
диференциално уравнение.
-
Така, f'(х) = е^х + 1.
-
Това равно ли е на f(х),
-
когато f'(х) = f(x) - х при f(x) = е^х + х + 1,
т.е. когато f'(x) = е^х + х + 1 – х?
-
Този х се унищожава
с този х,
-
и се вижда, че те
са равни.
-
Значи това също е решение.
-
Това също е решение.
-
Готови сме.