Linear Algebra: Duplicate Row Determinant

Determinant of a matrix with duplicate rows

سنفترض أن لدينا هنا مصفوفة A أيه ولتكن n في n, والمكونة من a واحد واحد, a واحد اثنين وصولا حتى a واحد n. ثم ننتقل للصف الأسفل والمشتمل على a اثنين واحد وصولا حتى a اثنين واحد. ولنقل أيضا أن لدينا هنا صفا آخرا, وليكن الصف i المكون من a i واحد وصولا حتى a i n. ثم, لدينا هنا صفا أخرا ذو الحدود a j واحد وذلك وصولا حتى a j n. نواصل بنفس الطريقة إلى أن نصل a n واحد, a n اثنين وصولا إلى ann

وكما ترون هنا أن هذه عبارة عن مصفوفة n في n والذي أخذت بعض الوقت في كتابة كل من الصف a و الصف i والصف j هاهنا.

ومن أجل تبسيط هذه المسألة, سأعرف الحد r i والذي نسميه الصف i والمساوي a i واحد, a i اثنين, وصولا إلى a i n

كما بالإمكان كتابها على شكل متجه صفي. حيث أننا لم نعرف العمليات على المتجهات الصفية بعد. إلا أنني أعتقد أنكم فهمتم الفكرة

و يمكننا استبدال هذا الصف ب r واحد, وهذا كذلك, وهكذا

سأشرح لكم ذلك في الفيديوهين القادمين, وذلك لتبسيط المسائل لنا. رغم أن ما نقوم به سهلا إلى حد ما

وبالتالي, سيمكنني إعادة كتابة مصفوفة n في n هذه ك r i. وكما تشاهدون هنا أن هذا الصف يبدو كمتجه, وهو في الواقع عبارة عن متجه صفي. ودعوني هنا أجعله متجها بهذا الشكل

أبدو هنا وكأنني........لأنه تم تعريف تجميع المتجهات الموجودة لدينا كمتجهات عمودية, ولكنني أعتقد أنكم فهمتم الفكرة هنا

لذا, سنسمي هذا الصف r واحد, ثم الصف الثاني r اثنين. ثم ننقل للأسفل إلى r i وهي عبارة عن هذا الضف الموجود هنا. ثم ننتقل للأسف إلى r j. وهكذا بهذه الطريقة وصولا إلى r n

كما أن لكل من هذه الصفوف سيكون هناك حدود n, وذلك لوجود أعمد n. وهذا تعد طريقة أخرى لكتابة مصفوفة n في n الموجودة لدينا

والآن, سأنشئ مصفوفة جديدة, ولنسميها مصفوفة المقايضة# ل i و j. حيث أننا سنستبدل i و j ببعضها البعض, أي هذين الصف. وبالتالي كيف ستكون المصفوفة الناتجة لدينا؟

وكما تعلمون أن باقي الصفوف ستكون متساوية. حيث لدينا هنا الصف واحد( r واحد) على إفتراض أن واحد لم تكن من المصفوفة i أو j . ثم, الصف الثاني( r اثنين), و ننتقل للأسفل وصولا حتى- بدلا من وجود i هنا, سيكون لدينا هنا الصف j. ثم للأسفل, وبدلا من وجود الصف j هنا, سيكون لدينا هنا الصف i, وأخيرا سيكون لدينا هنا في الأسفل r n

وما نقوم به الآن هو أننا نستبدل كل من هذين الصفين ببعضهما البعض. وهذا ما تعنيه مصفوفة المقايضة.

و أعتقد أننا تعلمنا في الفيديو السابق أو قبل فيديوهين أنه عند إستبدال صفيين ببعضهما البعض في مصفوفة n في n, سيكون محدد المصفوفة الناتجة هو سالب* المصفوفة الأصلية

أي أن محدد مصفوفة مقايضة الصفين i و j سيساوي سالب وحدد مصفوفة A.

والآن, سأسألكم سؤلا شيقا وهو, ماذا ينتج إن لنا لو أن هذين الصفين كانا متماثلين؟

أي ماذا يحدث لو كان الصف r i يساوي r j

أي لو عدنا إلى هذه الحدود في هذا الصف وهذه أيضا. وهذا يعني أن هذا الحد يساوي هذا الحد في هذا الصف. العمود الثاني يساوي العمود الثاني في هذا الصف هنا, وهكذا وصولا حتى n تساوي n في هذا الصف. وهذا ما أعنيه عندما أقول ماذا سيحدث إذا كان كل من هذين الصفين متساويين

حسنا, إذا كان كل من هذين الصفين متساويين, فعندئذ, لن يكون هناك فرقا بين هذه المصفوفة وهذه المصفوفة, رغم أننا إستبدلناهما ببعضهما البعض. وكما تعلمون أنه عند إستبدال مصفوفتين متماثلتين, لن يكون هناك أي تغير

وبالتالي, إذا كان r i مساويا ل r j, ستكون مصفوفة المقايضة مساوية للمصفوفة A, وذلك لأن ما نقوم به هو أننا نستبدل صفوفا متماثلة. وهذا يدلل على أن محدد مصفوفة المقايضة يساوي محدد المصفوفة A. وكما قلنا للتو أنه عند إستبدال صفين, فإن محدد مصفوفة المقايضة سيكون سالب محدد مصفوفة A

وبالتالي, سيكون محدد مصفوفة المقايضة هذه مساويا لمحدد المصفوفة A. وماذا هذا يعني؟

هذا يعني أنه إن كان للمصفوفة A صفين متساويين, واستبدلناهم ببعضهم البعض, لا بد أن نحصل على سالب المحدد هنا, ولكن, لو أن الصفين متساويين, سنحصل على نفس المصفوفة مرة أخرى #

وبالتالي, لو كان للمصفوفة A صفين متساويين, أي لو كان الصف i مساويا للصف j, وبالتالي محدد المصفوفة A لابد أن يكون مساويا لسالب محدد المصفوفة A

نعلم ذلك, لأن المصفوفة A تعد نفس النسخة التي تم استبدال صفوفها للمصفوفة A. كما أن المصفوفة المستبدلة لابد أن يكون لها نفس محدد المصفوفة A في حالة سالبة. ولهذا, فكلا هذين الحدين لابد أن يكونا متساويين

والآن, ما هو العدد الذي يساوي نسخته في حالة سالبة؟

لو إفترضنا ان لدينا هنا X والتي تساوي سالب X , فماذا يكون العدد الذي تساويه X هنا؟

هناك قيمة واحد ممكنة أن تساوي X. لذا, X ستساوي صفر

والخلاصة التي يمكن التوصل لها هنا هي أنه عند وجود صفوف مضاعفة- حيث يمكنك هنا تزويد هذا الحد بثلاث أو أربعة صفوف متساوية- فإن هذا سيؤدي إلى حقيقة مفادها محدد المصفوفة سيساوي صفر

وهذا في الواقع لا ينبغي أن يكون مدهشا لكم, ولذلك لأنه لو كان لديك صفوف مضاعفة, تذكر ما تعلمناه سابقا, حيث أننا تعلمنا أن المصفوفة تكون قابلة للعكس إذا وفقط إذا كان نموذج درجة الصف المخفض يساوي مصفوفة الوحودة

ولكن لو كان لديك صفين مضاعفين- ولنقل أن هذين الصفين متساويين- يمكنك القيام بعملية صفية حيث يتم استبدال هذا الصف وهذا الصف ناقص هذا الصف وبالتالي سيكون المحدد مساويا صفر

ولهذا, لو كان لديك صف صفري, لن تطون قادرا أبدا على الحصول على مصفوفة الوحدة

وكما تعلمون أن الصفوف المضاعفة لا يكون لها نموذج درجة الصف المخفض بتاتا كي تصبح مصفوفة وحدة

أو بمعنى آخر أن الصفوف المضاعفة غير قابلة للعكس

كما أننا تعلمنا أن المصفوفة تكون غير قابلة للعكس, إذا وفقط إذا كان محددها يساوي صفر

والآن, حصلنا على نفس النتيجة بطريقتين مختلفتين.

إحداهما إستخدمناهنا من ما تعلمناه, عند إستبدال الصفوف, يجب أن تكون النتيجة في حالة سالبة

ولكن إذا ما تم إستبدال الصف نفسه, لن يكن هناك أي تغير في المصفوفة

وبالتالي, فمحدد المصفوفة يبقى كما هو

لذا, لو كان لديك صفوف مضاعفة, فالمحدد سيساوي صفر وهذه الحالة التي لايجب علينا عندها إستخدام آلية التبديل البسيطة هذه. حيث كان بالإمكان الرجوع لشروط خاصية قابلية الإنعكاس, والتي أعتقد أنها توجد قبل خمسة أو ستة فيديوهات

ولكنني أردت أن أوضحها لكم هنا

لذا, لو رئيت صفين مضاعفين هنا, أو رئيت عمودين مضاعفين هنا- وسأترك هذا لكم كي تفكروا به- أو رئيت صفوفة مضاعفة أو أعمدة مضاعفة أو حتى بعض رئيت أن بعض الصفوف عبارة عن مركبات خطية لبعض الصفوف الأخرى- وهذا لم أوضحه لكم هنا- فسيكون المحدد لديك هنا صفرا.