Linear Algebra: Determinant after row operations

What happens to the determinant when we perform a row operation

سنفترض أن لدينا هنا مصفوفة n في n المكونة من صفوف بهذا الشكل أي على شكل متجهات صفية وبالتالي سيكون لددينا هنا الصف r واحد, و r اثنين, وهنا لدينا صف i ,وهو r i, وهنا لدينا صف r j ونكمل بنفس الطريقة إلى أن نصل صف n حيث لدينا صفوف n و أعمد n. وهنا لدينا r n. كما ترون هنا أن هذه هي المصفوفة الموجود لدينا هنا

وللتأكد من أنكم تعون ما أقوله هنا, فلو كان لدينا هنا المتجه الصفي r x dيساوي a k واحد- سأجعلها على شكل متجه- ولدينا هنا a k اثنين وذلك وصولا حتى a k n

وهذا عبارة عن التمثيل القياسي الموجودة لدينا. حيث أنني كتبته بهذه الطريقة لأننا سنتعامل مع صفوف في هذا الفيديو, كما أنه سيهل علمية الترميز التي سنستخدمها سنركز على هذين الصفين الآن

والآن, سنعرف مصفوفة أخرى ولتكن b وهي أيضا مصفوفة عامة n في n وهي أيضا مماثلة للمصفوفة A الموجودة لدينا هنا ماعدا في صف واحد

وبالتالي ستكون صفوفها عبارة عن r واحد, و r اثنين, للأسفل, لدينا هنا r i وهو أيضا مماثل لما لدينا في المصفوفة السابقة. ولكن هنا سيتم استبدال r j في r j ناقص مضاعف القيمة القياسية للمتجه r j أي ناقص C مضروبة في r i

وهذا مكافئ للعملية الصفية التي نقوم بها في عملية الاستبعاد أو عند وضع المصفوفات في نموذج درجة الصف المخفض

وما تبقى من مدخلات, أي صفوف في هذه المصفوفة سيكون نفس مدخلات المصفوفة A

وكما تشاهدون الآن أن هذه عبارة عن المصفوفة B الموجودة لدينا. والآن, سنعمل على إيجاد محدد الصفوف B

حسنا, يمكننا الآن أن نتخيل أن لدينا هنا مصفوفتين. إحداهما تبدو هكذا, أي تشتمل على r واحد, r اثنين, و r i ثم r j و أخيرا r n. هذه هي المصفوفة الأولى والتي لو لاحظتم أنها مماثلة للمصفوفة A الموجود هنا

والثانية مماثلة لنظيرتها السابقة وبالتالي سنفترض أننا تتكون من r واحد, r اثنين, r i ثم سيكون لدينا هنا C مضروبة في r i, ونستمر بهذه الطريقة للأسفل إلى أن نصل r n

حسنا, يمكنا إعتبار محدد المصفوفة B يساوي محدد هذه المصفوفة زائد محدد هذه المصفوفة

ولنفترض أن لدينا هنا مصفوفتين متماثلتين تماما ماعدا في صف واحد. وبالتالي, فهاتين المصفوفتين متماثلتين تماما باستثناء صف واحد وهو صف j. حيث لدينا هنا r j. و هنا لدينا c مضروبة في r i وبالتالي هذا سيكون مضاعف القيمة القياسية للصف الموجود لدينا هنا في الأعلى

وكما ترون أن هذا هو الصف r i. حيث لدينا هنا صف r i و هنا أيضا لدينا صف r i. ولكن لدينا هنا نسخة أخرى من الصف r i وهي مضاعف القيمة القياسية للصف r i. بينما لدينا هنا r j

والآن, لو كانت لديكم مصفوفة أخرى مماثلة لهاتين المصفوفتين, ماعدا في هذا الصف. ستكون عبارة عن حاصل جمع هاتين المصفوفتين-سأضع هنا إشارة سالب لهذا الصف- وكما ترون أن هذه المصفوفة مماثلة بشكل كلي لنظيرتها, ولكن إذا ما جمعنا هاتين القيمتين, أي r j ناقص C مضروبة في r i, سنحصل على هذه المصفوفة B

وكما تعلمنا أن محدد المصفوفة B سيساوي محدد المصفوفة هذه المصفوفة وهذه المصفوفة

وتذكر أن المصفوفة B لا تساوي مجموع هاتين المصفوفتين. حيث أن المصفوفة B مماثلة لهاتين المصفوفتين باستثناء هذا الصف حيث الصف j يساوي الصف j لهذه المصفوفة زائد الصف j للمصفوفة الأخرى

والآن, سأتحدث عن جمع الصفوف. وبالتالتي ما سنقوم به هو جمع الصفوفة الصفوف المتقابلة للمصفوفات

لذا, فالحد الأول لهذا الصف سيساوي a j واحد ناقص C مضروبة في a i واحد. والحد الثاني في هذاالصف سيساوي a j اثنين C مضروبة في a i اثنين. وهكذا حتى نصل a j n ناقص c a i n

ولهذا, فمحدد المصفوفة B يساوي محدد هذه المصفوفة زائد محدد هذه المصفوفة. حيث أن هذه المصفوفة الموجودة هنا عبارة عن محدد A الموجودة لدينا هنا. وبالتالي هذه المصفوفة ستكون عبارة عن محدد المصفوفة A

ثم, ما هو محدد هذه المصفوفة؟

حسنا, محدد هذه المصفوفة سيساوي- هذه المصفوفة مكافئة بشكل كلي للمصفوفة التي سأكتبه هنا والمكونة من r واحد, r اثنين, ثم r i- سأترك مساحة كي أوضح ما أقوله- ثم لدينا هنا في الأسفل r i. وكما ترون أن صف j هنا مكون من r i في هذه المصفوفة- وها لدينا في الأسفل r n التي والتي أشرت إلأيها للتو.

والآن, هاتين المصفوفتين متكافئتين تماما, ماعذا في هذا الصف التي يشتمل على سالب C مضروبة في صف j. ,هذا أيضا هنا عبارة عن صف j حيث أن العمليات التي نقوم بها على صف j.

لذا, فهذا الصف يساوي سالب C مضروبة في صف j

و محدد هذه المصفوفة الذي نحاول إيجاده سيساوي C مضروبة في محدد- سأكتبها بطريقة أخرى- ولتكن سالب C مضروبة في المحدد المكون من r واحد, r اثنين,و r i, ثم r i الموجودة في صف j. ثم ننتقل للأسفل حتى نصل r n ثم نضروبه في ذلك المحدد. - سأحيطه بخطوط مستقيمة بدلا من أقواس- و كما ترون أن هذا المحدد عبارة عن محدد هذه المصفوفة.

وكما تعلمنا قبل فيديوهين أنه لو كانت لديك مصفوفة, فإننا نضرب إحدى صفوفها في القيمة القياسية, وفي هذه الحالة القيمة القياسية C, ومحدد المصفوفة الجديدة يساوي سالب C مضروبة في المصفوفة الموجودة لدينا هنا. وهذا ما أعنيه هاهنا #

والآن, ما هو محدد هذه المصفوفة؟

ربما أنك لاحظت أن هذه لدى هذه المصفوفة صفوف مضاعفة , فهنا كما تشاهدون الصف r i المضاعف. فإحدى صفوفه هو i . ثم لدينا هنا صف آخر وهو r i في صف j

وما نقوم به الآن هو أننا نحلل المصفوفة B هذه حيث يمكن وصف محددها كحاصل مجموع هذه المصفوفة وهذه المصفوفة. وكما تعلمون أن المصفوفة B ليست عبارة عن مجموع هاتين المصفوفتين ولذلك لأن جميع الصفوف في هذه المصفوفة مماثلة لصفوف هذه المصفوفة باستثناء هذين الصفين#

وبالنسبة لهذه المصفوفة الموجودة هاهنا, يوجد لديها صفوف r i مضاعفة. و ماذا نعرف عن محدد المصفوفة ذات المدخلات/ الصفوفة المضاعفة؟ المحدد يكون صفرا.

وبالتالي, فهذا المحدد سيساوي صفرا. و سالب c ناقص صفرا تساوي صفرا. لذا فمحدد هذه المصفوفة ككل سيساوي صفر

والخلاصة التي يمكن التوصل لها هنا هي أن محدد المصفوفة B يساوي محدد يساوي هذا المحدد والذي يعني أنه يساوي محدد المصفوفة A

وبالتالي, فمحدد المصفوفة B يساوي محدد المصفوفة A.

ولذلك, لو بدئنا في مصفوفة ما, و استبدنا الصف j هنا, أو أي صف, في هذا الصف, ناقص مضاعف القيمة القياسية لصف آخر, وليكن الصف r i هذا في هذه الحالة, فلن يتغير المحدد

حيث أنني أبدو حريص هنا, وذلك لأنه لو ضرب أي صف في قيمة قياسية ما, سيتم تغير المحددات

ولكن, إذا أخذت صفا, وليكن j و استبدلته بالصف j ناقص C مضروبة في صف i مضروب في صف آخر وهذا وهذا مكافئة لعملية صفية. ومن ثم فهذا لن يؤدي إلى تغير المحدد

وهذا يعتبر خلاصة مهمة. وذلك يمكننا الآن القيام ببعض العمليات الصفية مع العلم أن المحدد لن يتغير في حال تلك العمليات