WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:03.090 Laten we zeggen dat dit een gelijkzijdige driehoek is. 00:00:03.090 --> 00:00:05.050 en wat ik wil gaan doen is een andere vorm maken 00:00:05.050 --> 00:00:06.540 uit deze gelijkzijdige driehoek. 00:00:06.540 --> 00:00:08.980 En ik ga dat doen door elke zijde van deze driehoek te pakken, 00:00:09.000 --> 00:00:14.540 en het verdelen in drie gelijke secties, in drie gelijke secties. 00:00:14.540 --> 00:00:18.790 Dus mijn gelijkzijdige driehoek was niet ideaal getekend, 00:00:18.790 --> 00:00:20.110 Maar ik denk dat je het begrijpt. 00:00:20.110 --> 00:00:21.430 En in de middelste sectie, 00:00:21.450 --> 00:00:23.290 maak ik nog een andere gelijkzijdige driehoek 00:00:23.290 --> 00:00:25.510 Dus de middelste sectie hier, 00:00:25.540 --> 00:00:28.640 Ik ga een andere gelijkzijdige driehoek maken. 00:00:28.640 --> 00:00:31.550 Dus het zal ongeveer als volgt eruit komen te zien. 00:00:31.550 --> 00:00:33.860 En dan, hier, 00:00:33.860 --> 00:00:37.130 Ik zal een andere gelijkzijdige driehoek plaatsen. 00:00:37.130 --> 00:00:40.320 En dus zo zijn wij beland van de ene gelijkzijdige driehoek 00:00:40.340 --> 00:00:43.320 naar iets als dat lijkt op de ster van David. 00:00:43.370 --> 00:00:45.420 en dan zal ik het nog een keer doen. 00:00:45.420 --> 00:00:48.390 Dus, elke van deze zijdes, ik ga ze verdelen in drie gelijke zijden. 00:00:48.390 --> 00:00:51.490 In de middelste segment, ga ik een gelijkbenige driehoek plaatsen 00:00:51.490 --> 00:00:54.150 Ik zal een gelijkbenige driehoek erin maken 00:00:54.150 --> 00:00:59.280 Dus in de middelste segment, plaats ik een gelijkbenige driehoek. 00:00:59.280 --> 00:01:01.660 Dus ik ga het doen voor elk van deze zijdes. 00:01:01.660 --> 00:01:04.560 Dus laat mij dat hier doen en hier. 00:01:04.560 --> 00:01:10.860 Ik denk wel dat je het idee hebt, maar ik wil het duidelijk maken dus laat me.. 00:01:10.860 --> 00:01:16.270 zo dan, zoals dit, en dan, kijk zoals dat, zoals dat. 00:01:16.270 --> 00:01:20.850 En dan bijna klaar voor 00:01:20.850 --> 00:01:22.950 En dan lijkt het op dat. 00:01:22.990 --> 00:01:24.210 Dan kan ik het nog een keer doen 00:01:24.210 --> 00:01:27.020 Ik kan elk van de segmenten verdelen in drie gelijke zijden 00:01:27.020 --> 00:01:28.340 en teken ik nog een andere gelijkzijdige driehoek, 00:01:28.340 --> 00:01:32.210 zoals hier, hier, hier , hier , hier ,hier. 00:01:32.210 --> 00:01:33.270 Ik denk wel dat je kunt zien waar het naar toe gaat. 00:01:33.270 --> 00:01:37.020 En ik kan hier voor altijd mee door blijven gaan. 00:01:37.020 --> 00:01:39.710 Dus wat ik wil doen in deze video is nadenken over 00:01:39.710 --> 00:01:40.860 wat er hier aan de hand is. 00:01:40.860 --> 00:01:42.490 En wat ik eigenlijk aan het tekenen ben, 00:01:42.490 --> 00:01:45.090 zolang we dit blijven doen en blijven doen, 00:01:45.090 --> 00:01:48.100 ..., dan kijken we naar elke zijde, 00:01:48.130 --> 00:01:49.520 we verdelen hem in gelijke zijde, 00:01:49.520 --> 00:01:52.460 en dan de volgende, waar drie gelijke segmenten, 00:01:52.460 --> 00:01:53.320 en dan de volgende, 00:01:53.320 --> 00:01:55.480 de middelste segment we kunnen dit ook veranderen in een gelijkzijdige driehoek. 00:01:55.480 --> 00:01:58.240 De vorm dat we hier aan het beschrijven zijn 00:01:58.240 --> 00:02:00.200 heet de Koch Sneeuwvlokje 00:02:00.200 --> 00:02:02.890 En ik weet zeker dat ik het stukje Koch verkeerd uitspreek. 00:02:02.890 --> 00:02:05.180 De Koch Sneeuwvlokje 00:02:05.230 --> 00:02:07.810 en het was als eerst beschreven door deze man hier, 00:02:07.810 --> 00:02:12.490 wie een Zweedse wiskundige was genaamd Niels Fabian Helge von Koch 00:02:12.490 --> 00:02:14.640 Ik weet zeker dat ik het verkeerd uitspreek. 00:02:14.670 --> 00:02:17.250 En dit is een van de eerste beschreven fractals. 00:02:17.270 --> 00:02:19.850 Dus dit is een fractal. 00:02:19.850 --> 00:02:22.000 En de reden waarom dit een fractal is, 00:02:22.000 --> 00:02:23.790 is dat het hetzelfde lijkt, 00:02:23.810 --> 00:02:26.340 het lijkt hetzelfde op elke schaal als je er naar kijk. 00:02:26.340 --> 00:02:29.890 Als je het op deze schaal bekijkt, als je het op deze manier bekijkt, 00:02:29.910 --> 00:02:32.410 dan lijkt het alsof je een aantal driehoek zie met bultjes. 00:02:32.410 --> 00:02:34.890 Maar als je dan hier weer zult inzommen 00:02:34.910 --> 00:02:37.860 dan zie je nog steeds hetzelfde patroon. 00:02:37.860 --> 00:02:39.840 En als je dan weer inzoomt, 00:02:39.860 --> 00:02:41.520 zul je het nog een keer zien en nog een keer. 00:02:41.580 --> 00:02:43.470 Dus een fractal is alles dat, op elke schaal, 00:02:43.470 --> 00:02:46.810 of je inzoomt of uitzoomt, het lijkt allemaal hetzelfde. 00:02:46.810 --> 00:02:48.700 Dat is waarom het een fractal word genoemd 00:02:48.720 --> 00:02:50.150 Wat hier zo interessant aan is, 00:02:50.200 --> 00:02:53.530 en waarom ik het op dit punt in de geometry afspeellijst plaats is, 00:02:53.530 --> 00:02:56.790 is dat dit eigenlijk een oneindige omtrek bevat. 00:02:56.790 --> 00:02:58.330 Als je dit zou blijven doen, 00:02:58.370 --> 00:02:59.900 Als je echt de Koch Sneeuwvlok zou maken 00:02:59.900 --> 00:03:03.260 Waar je een oneindig aantal nummers 00:03:03.280 --> 00:03:05.240 op elke kleinere driehoek hier, 00:03:05.280 --> 00:03:09.910 en je plaats nog een gelijkzijdige driehoek op de zijde. 00:03:09.930 --> 00:03:11.680 En om te laten zien dat het een oneindige omtrek bevat 00:03:11.680 --> 00:03:13.440 laten we dan eens kijken naar deze zijde kijken. 00:03:13.440 --> 00:03:16.000 Dus laten we zeggen dat deze zijde, 00:03:16.000 --> 00:03:18.550 Laten we zeggen we starten hier waar we gestart zijn 00:03:18.550 --> 00:03:20.050 met de originele driehoek, dat is deze zijde. 00:03:20.080 --> 00:03:21.480 En laten we zeggen het heeft de lengte S. 00:03:21.520 --> 00:03:23.930 En dan verdelen we het in drie kleine segmenten. 00:03:23.960 --> 00:03:26.290 We verdelen het in drie gelijke segmenten. 00:03:26.310 --> 00:03:30.810 Dus dit zal zijn S/3, S/3 laat ik het zo opschrijven. 00:03:30.810 --> 00:03:35.940 S/3, S/3 en S/3. 00:03:35.940 --> 00:03:38.820 In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken. 00:03:38.820 --> 00:03:41.910 In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken. 00:03:41.910 --> 00:03:44.090 Dus elk van deze zijdes zijn S/3. 00:03:44.090 --> 00:03:47.000 S/3, S/3. 00:03:47.000 --> 00:03:50.700 en we weten dat de lengte van dit nieuwe stuk, 00:03:50.700 --> 00:03:53.270 Ik kan het geen lijn meer noemen wat het heeft een bult in zich. 00:03:53.290 --> 00:03:56.880 De lengte van dit stuk hier, deze zijde, 00:03:56.880 --> 00:03:59.110 heeft nu niet de lengte van S. 00:03:59.150 --> 00:04:01.620 Het is nu S/3 * 4. 00:04:01.620 --> 00:04:03.360 Daarvoor was het S/3 * 3 00:04:03.360 --> 00:04:07.550 nu heb je er een, twee, drie, vier segmenten dat S/3 is. 00:04:07.550 --> 00:04:10.500 Dus na een keer, na een pas, 00:04:10.500 --> 00:04:14.930 na een keer een aantal driehoeken plaatsen, 00:04:14.930 --> 00:04:16.300 onze nieuwe zijde, 00:04:16.340 --> 00:04:23.560 nadat we de bult hadden, zal zijn 4 * S/3 wat gelijk is aan 4/3 s. 00:04:23.560 --> 00:04:30.950 Dus als onze originele omtrek toen het nog een driehoek was P sub 0, 00:04:30.950 --> 00:04:34.230 Na een pas, na een set van bulten, 00:04:34.230 --> 00:04:35.670 dan zal onze omtrek zijn, 00:04:35.710 --> 00:04:39.880 Het zal 4/3 * het origineel. 00:04:39.880 --> 00:04:42.660 Want elk van de zijdes zullen 4/3 groter zijn. 00:04:42.660 --> 00:04:44.270 Dus als dit bestond uit drie zijdes 00:04:44.290 --> 00:04:46.690 Nu zal elk van deze zijde groter zijn dan 4/3 00:04:46.690 --> 00:04:48.950 Dus de nieuwe omtrek zal zijn 4/3 keer dat. 00:04:48.950 --> 00:04:51.980 En dan nemen we nog een twee pas. 00:04:51.980 --> 00:04:54.470 Dat word 4/3 de eerste pas. 00:04:54.470 --> 00:04:57.740 Dus elk pas dat je maakt word 4/3 groter. 00:04:57.790 --> 00:05:00.190 Het word gok ik zo een derde groter bij elke stap, 00:05:00.190 --> 00:05:03.550 Het word 4/3 de vorige stap. 00:05:03.610 --> 00:05:05.590 En als je dat doen in ontelbare keer de tijd, 00:05:05.590 --> 00:05:10.740 als je het zou vermenigvuldigen met elk nummer van 4/3 een oneindig aantal keer, 00:05:10.740 --> 00:05:13.760 dan krijg je een oneindig aantal nummers van ! een oneindige lengte. 00:05:13.760 --> 00:05:16.340 Dus, P oneindig, P oneindig, 00:05:16.360 --> 00:05:19.910 De omtrek als je dat een oneindig aantal keer zal doen, is oneindig 00:05:19.940 --> 00:05:22.140 Dus dat bijzichzelf alleen is al cool, 00:05:22.190 --> 00:05:24.300 Door alleen maar te denken over iets dat een oneindig aantal perimter heeft. 00:05:24.300 --> 00:05:28.260 Maar wat eigenlijk leuker is, is dat het een eindige oppervlakte heeft. 00:05:28.260 --> 00:05:30.120 En als ik zeg een oppervlakte dat eindig is, 00:05:30.120 --> 00:05:32.480 dan is het gelimiteerd aan een stuk ruimte. 00:05:32.480 --> 00:05:34.490 Om weer een vorm hiervan te maken 00:05:34.490 --> 00:05:36.340 En dit zal zich nooit uitbreiden buitenom dat. 00:05:36.340 --> 00:05:38.960 En om erover na te denken, ik ga niet een echt bewijs aanleveren, 00:05:38.960 --> 00:05:41.600 Denk maar eens na over wat er gebeurd met elk van deze zijdes. 00:05:41.600 --> 00:05:45.550 Dus in de eerste stap, hebben we deze driehoek dat hier uitspringt. 00:05:45.550 --> 00:05:49.540 En als je erover nadenkt, als je tekent wat er gebeurd, 00:05:49.540 --> 00:05:52.280 de volgende waarmee je deze twee driehoeken hier tekent 00:05:52.310 --> 00:05:53.940 en deze twee figuren hier. 00:05:53.940 --> 00:05:56.230 En dan plaats je een aantal driehoek hier, 00:05:56.260 --> 00:05:59.600 en daar, en daar, en daar, en daar, enz enz enz. 00:05:59.630 --> 00:06:02.520 Maar kijk, je kunt wel steeds meer en meer toevoegen, 00:06:02.520 --> 00:06:04.980 je kunt een oneindig aantal nummers van deze bulten toevoegen, 00:06:05.020 --> 00:06:07.070 maar je zult nooit voorbij dit punt komen. 00:06:07.070 --> 00:06:11.220 En hetzelfde zal ook waar zijn voor deze zijde hier. 00:06:11.220 --> 00:06:13.840 Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier. 00:06:13.870 --> 00:06:17.540 Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier. 00:06:17.540 --> 00:06:19.550 En het zal waar zijn voor deze zijde hier. 00:06:19.550 --> 00:06:22.330 En dan zal het ook waar zijn voor deze zijde hier. 00:06:22.350 --> 00:06:24.590 Dus ook al zou je dit een oneindig aantal keer doen, 00:06:24.590 --> 00:06:27.120 deze vorm, deze Koch Sneeuwvlok 00:06:27.160 --> 00:06:30.130 zal nooit een grotere oppervlakte hebben dan deze vaststaande hexagon. 00:06:30.130 --> 00:06:32.070 Of het zal nooit een grotere oppervlakte hebben 00:06:32.070 --> 00:06:34.530 dan de vorm dat lijkt op iets als dat. 00:06:34.530 --> 00:06:36.450 En ik teken hier gewoon 00:06:36.450 --> 00:06:38.200 Ik wil het buiten deze hexagon maken 00:06:38.200 --> 00:06:39.780 Ik kan er een cirkel buiten plaatsen. 00:06:39.780 --> 00:06:44.630 Dus dit ding wat ik tekende in het blauw, of deze hexagon wat ik tekende in paars, 00:06:44.630 --> 00:06:46.820 zij hebben een vastgesloten oppervlakte. 00:06:46.820 --> 00:06:49.480 En deze Koch Sneeuwvlok zal altijd vast zitten, 00:06:49.480 --> 00:06:52.450 Ook al voeg je deze bulten een oneindig aantal keren toe. 00:06:52.450 --> 00:06:55.380 Dus een boel coole dingen gebeuren hier. 00:06:55.420 --> 00:06:56.330 Een, het is een fractal. 00:06:56.330 --> 00:06:58.760 Je kunt inzoomen en het blijft hetzelfde. 00:06:58.780 --> 00:07:04.950 Nog een ding is, oneindige perimter en einde oppervlakte. 00:07:04.950 --> 00:07:07.830 Nu zou je kunnen zeggen, wacht, uhm, okay, dit is een abstract ding. 00:07:07.830 --> 00:07:10.120 Dit soort dingen bestaan helemaal niet in de echte wereld. 00:07:10.120 --> 00:07:13.240 En dit hier is een experiment 00:07:13.240 --> 00:07:14.820 waar mensen over praten in de wereld van fracties. 00:07:14.870 --> 00:07:17.770 En dat is het vinden van England, 00:07:17.820 --> 00:07:19.200 Of je kunt het eigenlijk met elke eiland doen. 00:07:19.200 --> 00:07:21.170 En Engeland lijkt dus hierop, 00:07:21.170 --> 00:07:22.730 Weet je ik ben geen expert op de, weet je, 00:07:22.730 --> 00:07:24.230 laten we zeggen het lijkt een beetje op dat. 00:07:24.230 --> 00:07:26.230 Dus ten eerste schat je de omtrek, 00:07:26.230 --> 00:07:27.480 en meet je de afstand. 00:07:27.550 --> 00:07:32.350 Je kunt meten wat deze afstand is + deze afstand 00:07:32.350 --> 00:07:36.070 + deze afstand + deze afstand + deze afstand + deze afstand. 00:07:36.070 --> 00:07:37.660 Kijk. 00:07:37.660 --> 00:07:38.590 het heeft een eindige perimter. 00:07:38.620 --> 00:07:40.300 Het heeft duidelijk gezien een eindige oppervlakte, maar weet je, 00:07:40.300 --> 00:07:42.300 kijk dat heeft een eindige perimter. 00:07:42.340 --> 00:07:43.720 Maar je zegt, nee, nee dat is niet goed. 00:07:43.750 --> 00:07:45.380 Je moet het iets beter berekenen dan dat. 00:07:45.400 --> 00:07:46.960 In plaats van dat je het losjes doet, 00:07:46.980 --> 00:07:48.680 moet je een aantal smallere lijnen maken. 00:07:48.680 --> 00:07:50.740 Je moet een aantal smallere lijnen maken 00:07:50.770 --> 00:07:52.570 Zodat je de kust een beetje kan 00:07:52.620 --> 00:07:55.010 En dan zeg je, Okay dat is een veel betere schatting. 00:07:55.010 --> 00:07:58.730 Maar dan, laten we zeggen als we op een bepaald stuk inzoomen, 00:07:58.760 --> 00:08:01.780 als we genoeg inzoomen, als we genoeg inzoomen, 00:08:01.780 --> 00:08:03.980 de eigenlijk kustlijn zal iets zijn als dit. 00:08:04.020 --> 00:08:08.190 De werkelijke kustlijn heeft allerlei stukjes in zich 00:08:08.260 --> 00:08:11.150 En wanneer je dit deed, 00:08:11.150 --> 00:08:13.580 was je gewoon aan het meten, je was gewoon aan het meten. 00:08:13.580 --> 00:08:15.740 En dan zeg je. Dat is niet de omtrek van deze kustlijn. 00:08:15.740 --> 00:08:17.620 Je zult meer zijdes moeten doen. 00:08:17.650 --> 00:08:18.850 Je zult iets moeten doen als dit 00:08:18.900 --> 00:08:25.660 om eigenlijk de echte omtrek te krijgen van de kustlijn. 00:08:25.660 --> 00:08:29.150 En dan zeg je hey dat is een goede schatting van de omtrek. 00:08:29.150 --> 00:08:32.190 maar als je in zoomt op dat stuk van de kust 00:08:32.190 --> 00:08:35.050 dan zal het eigenlijk niet zo eruit zien als dat. 00:08:35.050 --> 00:08:37.330 Het zal eigenlijk in en uitkomen als dit. 00:08:37.360 --> 00:08:39.450 Misschien lijkt het als dat. 00:08:39.450 --> 00:08:42.810 Dus in plaats van deze ruige lijnen te hebben, wat het meet als dat. 00:08:42.890 --> 00:08:43.850 Je zult zeggen , Oh wacht, 00:08:43.900 --> 00:08:46.170 nu moet ik er nog iets beter naar kijken. 00:08:46.220 --> 00:08:48.270 En je kunt dit blijven doen 00:08:48.310 --> 00:08:50.150 totdat je op atomisch niveau bezig bent. 00:08:50.150 --> 00:08:54.730 Dus de werkelijke kustlijn van een eiland, 00:08:54.770 --> 00:08:58.790 of een continent, of wat dan ook, is eigenlijk fractisch. 00:08:58.840 --> 00:09:01.210 En het is, je kunt er over nadenken 00:09:01.210 --> 00:09:03.130 als de ultieme oneindige omtrek 00:09:03.180 --> 00:09:04.150 Natuurlijk op een gegeven moment, 00:09:04.220 --> 00:09:05.480 kom je op atomisch gebied uit, 00:09:05.520 --> 00:09:06.610 en zal het niet meer hetzelfde zijn, 00:09:06.660 --> 00:09:08.510 maar het is eigenlijk dezelfde fenomeen. 00:09:08.540 --> 00:09:10.390 het is interessant om erover na te denken.