Laten we zeggen dat dit een gelijkzijdige driehoek is.
en wat ik wil gaan doen is een andere vorm maken
uit deze gelijkzijdige driehoek.
En ik ga dat doen door elke zijde van deze driehoek te pakken,
en het verdelen in drie gelijke secties, in drie gelijke secties.
Dus mijn gelijkzijdige driehoek was niet ideaal getekend,
Maar ik denk dat je het begrijpt.
En in de middelste sectie,
maak ik nog een andere gelijkzijdige driehoek
Dus de middelste sectie hier,
Ik ga een andere gelijkzijdige driehoek maken.
Dus het zal ongeveer als volgt eruit komen te zien.
En dan, hier,
Ik zal een andere gelijkzijdige driehoek plaatsen.
En dus zo zijn wij beland van de ene gelijkzijdige driehoek
naar iets als dat lijkt op de ster van David.
en dan zal ik het nog een keer doen.
Dus, elke van deze zijdes, ik ga ze verdelen in drie gelijke zijden.
In de middelste segment, ga ik een gelijkbenige driehoek plaatsen
Ik zal een gelijkbenige driehoek erin maken
Dus in de middelste segment, plaats ik een gelijkbenige driehoek.
Dus ik ga het doen voor elk van deze zijdes.
Dus laat mij dat hier doen en hier.
Ik denk wel dat je het idee hebt, maar ik wil het duidelijk maken dus laat me..
zo dan, zoals dit, en dan, kijk zoals dat, zoals dat.
En dan bijna klaar voor
En dan lijkt het op dat.
Dan kan ik het nog een keer doen
Ik kan elk van de segmenten verdelen in drie gelijke zijden
en teken ik nog een andere gelijkzijdige driehoek,
zoals hier, hier, hier , hier , hier ,hier.
Ik denk wel dat je kunt zien waar het naar toe gaat.
En ik kan hier voor altijd mee door blijven gaan.
Dus wat ik wil doen in deze video is nadenken over
wat er hier aan de hand is.
En wat ik eigenlijk aan het tekenen ben,
zolang we dit blijven doen en blijven doen,
..., dan kijken we naar elke zijde,
we verdelen hem in gelijke zijde,
en dan de volgende, waar drie gelijke segmenten,
en dan de volgende,
de middelste segment we kunnen dit ook veranderen in een gelijkzijdige driehoek.
De vorm dat we hier aan het beschrijven zijn
heet de Koch Sneeuwvlokje
En ik weet zeker dat ik het stukje Koch verkeerd uitspreek.
De Koch Sneeuwvlokje
en het was als eerst beschreven door deze man hier,
wie een Zweedse wiskundige was genaamd Niels Fabian Helge von Koch
Ik weet zeker dat ik het verkeerd uitspreek.
En dit is een van de eerste beschreven fractals.
Dus dit is een fractal.
En de reden waarom dit een fractal is,
is dat het hetzelfde lijkt,
het lijkt hetzelfde op elke schaal als je er naar kijk.
Als je het op deze schaal bekijkt, als je het op deze manier bekijkt,
dan lijkt het alsof je een aantal driehoek zie met bultjes.
Maar als je dan hier weer zult inzommen
dan zie je nog steeds hetzelfde patroon.
En als je dan weer inzoomt,
zul je het nog een keer zien en nog een keer.
Dus een fractal is alles dat, op elke schaal,
of je inzoomt of uitzoomt, het lijkt allemaal hetzelfde.
Dat is waarom het een fractal word genoemd
Wat hier zo interessant aan is,
en waarom ik het op dit punt in de geometry afspeellijst plaats is,
is dat dit eigenlijk een oneindige omtrek bevat.
Als je dit zou blijven doen,
Als je echt de Koch Sneeuwvlok zou maken
Waar je een oneindig aantal nummers
op elke kleinere driehoek hier,
en je plaats nog een gelijkzijdige driehoek op de zijde.
En om te laten zien dat het een oneindige omtrek bevat
laten we dan eens kijken naar deze zijde kijken.
Dus laten we zeggen dat deze zijde,
Laten we zeggen we starten hier waar we gestart zijn
met de originele driehoek, dat is deze zijde.
En laten we zeggen het heeft de lengte S.
En dan verdelen we het in drie kleine segmenten.
We verdelen het in drie gelijke segmenten.
Dus dit zal zijn S/3, S/3 laat ik het zo opschrijven.
S/3, S/3 en S/3.
In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.
Dus elk van deze zijdes zijn S/3.
S/3, S/3.
en we weten dat de lengte van dit nieuwe stuk,
Ik kan het geen lijn meer noemen wat het heeft een bult in zich.
De lengte van dit stuk hier, deze zijde,
heeft nu niet de lengte van S.
Het is nu S/3 * 4.
Daarvoor was het S/3 * 3
nu heb je er een, twee, drie, vier segmenten dat S/3 is.
Dus na een keer, na een pas,
na een keer een aantal driehoeken plaatsen,
onze nieuwe zijde,
nadat we de bult hadden, zal zijn 4 * S/3 wat gelijk is aan 4/3 s.
Dus als onze originele omtrek toen het nog een driehoek was P sub 0,
Na een pas, na een set van bulten,
dan zal onze omtrek zijn,
Het zal 4/3 * het origineel.
Want elk van de zijdes zullen 4/3 groter zijn.
Dus als dit bestond uit drie zijdes
Nu zal elk van deze zijde groter zijn dan 4/3
Dus de nieuwe omtrek zal zijn 4/3 keer dat.
En dan nemen we nog een twee pas.
Dat word 4/3 de eerste pas.
Dus elk pas dat je maakt word 4/3 groter.
Het word gok ik zo een derde groter bij elke stap,
Het word 4/3 de vorige stap.
En als je dat doen in ontelbare keer de tijd,
als je het zou vermenigvuldigen met elk nummer van 4/3 een oneindig aantal keer,
dan krijg je een oneindig aantal nummers van ! een oneindige lengte.
Dus, P oneindig, P oneindig,
De omtrek als je dat een oneindig aantal keer zal doen, is oneindig
Dus dat bijzichzelf alleen is al cool,
Door alleen maar te denken over iets dat een oneindig aantal perimter heeft.
Maar wat eigenlijk leuker is, is dat het een eindige oppervlakte heeft.
En als ik zeg een oppervlakte dat eindig is,
dan is het gelimiteerd aan een stuk ruimte.
Om weer een vorm hiervan te maken
En dit zal zich nooit uitbreiden buitenom dat.
En om erover na te denken, ik ga niet een echt bewijs aanleveren,
Denk maar eens na over wat er gebeurd met elk van deze zijdes.
Dus in de eerste stap, hebben we deze driehoek dat hier uitspringt.
En als je erover nadenkt, als je tekent wat er gebeurd,
de volgende waarmee je deze twee driehoeken hier tekent
en deze twee figuren hier.
En dan plaats je een aantal driehoek hier,
en daar, en daar, en daar, en daar, enz enz enz.
Maar kijk, je kunt wel steeds meer en meer toevoegen,
je kunt een oneindig aantal nummers van deze bulten toevoegen,
maar je zult nooit voorbij dit punt komen.
En hetzelfde zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.
En het zal waar zijn voor deze zijde hier.
En dan zal het ook waar zijn voor deze zijde hier.
Dus ook al zou je dit een oneindig aantal keer doen,
deze vorm, deze Koch Sneeuwvlok
zal nooit een grotere oppervlakte hebben dan deze vaststaande hexagon.
Of het zal nooit een grotere oppervlakte hebben
dan de vorm dat lijkt op iets als dat.
En ik teken hier gewoon
Ik wil het buiten deze hexagon maken
Ik kan er een cirkel buiten plaatsen.
Dus dit ding wat ik tekende in het blauw, of deze hexagon wat ik tekende in paars,
zij hebben een vastgesloten oppervlakte.
En deze Koch Sneeuwvlok zal altijd vast zitten,
Ook al voeg je deze bulten een oneindig aantal keren toe.
Dus een boel coole dingen gebeuren hier.
Een, het is een fractal.
Je kunt inzoomen en het blijft hetzelfde.
Nog een ding is, oneindige perimter en einde oppervlakte.
Nu zou je kunnen zeggen, wacht, uhm, okay, dit is een abstract ding.
Dit soort dingen bestaan helemaal niet in de echte wereld.
En dit hier is een experiment
waar mensen over praten in de wereld van fracties.
En dat is het vinden van England,
Of je kunt het eigenlijk met elke eiland doen.
En Engeland lijkt dus hierop,
Weet je ik ben geen expert op de, weet je,
laten we zeggen het lijkt een beetje op dat.
Dus ten eerste schat je de omtrek,
en meet je de afstand.
Je kunt meten wat deze afstand is + deze afstand
+ deze afstand + deze afstand + deze afstand + deze afstand.
Kijk.
het heeft een eindige perimter.
Het heeft duidelijk gezien een eindige oppervlakte, maar weet je,
kijk dat heeft een eindige perimter.
Maar je zegt, nee, nee dat is niet goed.
Je moet het iets beter berekenen dan dat.
In plaats van dat je het losjes doet,
moet je een aantal smallere lijnen maken.
Je moet een aantal smallere lijnen maken
Zodat je de kust een beetje kan
En dan zeg je, Okay dat is een veel betere schatting.
Maar dan, laten we zeggen als we op een bepaald stuk inzoomen,
als we genoeg inzoomen, als we genoeg inzoomen,
de eigenlijk kustlijn zal iets zijn als dit.
De werkelijke kustlijn heeft allerlei stukjes in zich
En wanneer je dit deed,
was je gewoon aan het meten, je was gewoon aan het meten.
En dan zeg je. Dat is niet de omtrek van deze kustlijn.
Je zult meer zijdes moeten doen.
Je zult iets moeten doen als dit
om eigenlijk de echte omtrek te krijgen van de kustlijn.
En dan zeg je hey dat is een goede schatting van de omtrek.
maar als je in zoomt op dat stuk van de kust
dan zal het eigenlijk niet zo eruit zien als dat.
Het zal eigenlijk in en uitkomen als dit.
Misschien lijkt het als dat.
Dus in plaats van deze ruige lijnen te hebben, wat het meet als dat.
Je zult zeggen , Oh wacht,
nu moet ik er nog iets beter naar kijken.
En je kunt dit blijven doen
totdat je op atomisch niveau bezig bent.
Dus de werkelijke kustlijn van een eiland,
of een continent, of wat dan ook, is eigenlijk fractisch.
En het is, je kunt er over nadenken
als de ultieme oneindige omtrek
Natuurlijk op een gegeven moment,
kom je op atomisch gebied uit,
en zal het niet meer hetzelfde zijn,
maar het is eigenlijk dezelfde fenomeen.
het is interessant om erover na te denken.