0:00:00.000,0:00:03.090
Laten we zeggen dat dit een gelijkzijdige driehoek is.

0:00:03.090,0:00:05.050
en wat ik wil gaan doen is een andere vorm maken

0:00:05.050,0:00:06.540
uit deze gelijkzijdige driehoek.

0:00:06.540,0:00:08.980
En ik ga dat doen door elke zijde van deze driehoek te pakken,

0:00:09.000,0:00:14.540
en het verdelen in drie gelijke secties, in drie gelijke secties.

0:00:14.540,0:00:18.790
Dus mijn gelijkzijdige driehoek was niet ideaal getekend,

0:00:18.790,0:00:20.110
Maar ik denk dat je het begrijpt.

0:00:20.110,0:00:21.430
En in de middelste sectie,

0:00:21.450,0:00:23.290
maak ik nog een andere gelijkzijdige driehoek

0:00:23.290,0:00:25.510
Dus de middelste sectie hier,

0:00:25.540,0:00:28.640
Ik ga een andere gelijkzijdige driehoek maken.

0:00:28.640,0:00:31.550
Dus het zal ongeveer als volgt eruit komen te zien.

0:00:31.550,0:00:33.860
En dan, hier,

0:00:33.860,0:00:37.130
Ik zal een andere gelijkzijdige driehoek plaatsen.

0:00:37.130,0:00:40.320
En dus zo zijn wij beland van de ene gelijkzijdige driehoek

0:00:40.340,0:00:43.320
naar iets als dat lijkt op de ster van David.

0:00:43.370,0:00:45.420
en dan zal ik het nog een keer doen.

0:00:45.420,0:00:48.390
Dus, elke van deze zijdes, ik ga ze verdelen in drie gelijke zijden.

0:00:48.390,0:00:51.490
In de middelste segment, ga ik een gelijkbenige driehoek plaatsen

0:00:51.490,0:00:54.150
Ik zal een gelijkbenige driehoek erin maken

0:00:54.150,0:00:59.280
Dus in de middelste segment, plaats ik een gelijkbenige driehoek.

0:00:59.280,0:01:01.660
Dus ik ga het doen voor elk van deze zijdes.

0:01:01.660,0:01:04.560
Dus laat mij dat hier doen en hier.

0:01:04.560,0:01:10.860
Ik denk wel dat je het idee hebt, maar ik wil het duidelijk maken dus laat me..

0:01:10.860,0:01:16.270
zo dan, zoals dit, en dan, kijk zoals dat, zoals dat.

0:01:16.270,0:01:20.850
En dan bijna klaar voor

0:01:20.850,0:01:22.950
En dan lijkt het op dat.

0:01:22.990,0:01:24.210
Dan kan ik het nog een keer doen

0:01:24.210,0:01:27.020
Ik kan elk van de segmenten verdelen in drie gelijke zijden

0:01:27.020,0:01:28.340
en teken ik nog een andere gelijkzijdige driehoek,

0:01:28.340,0:01:32.210
zoals hier, hier, hier , hier , hier ,hier.

0:01:32.210,0:01:33.270
Ik denk wel dat je kunt zien waar het naar toe gaat.

0:01:33.270,0:01:37.020
En ik kan hier voor altijd mee door blijven gaan.

0:01:37.020,0:01:39.710
Dus wat ik wil doen in deze video is nadenken over

0:01:39.710,0:01:40.860
wat er hier aan de hand is.

0:01:40.860,0:01:42.490
En wat ik eigenlijk aan het tekenen ben,

0:01:42.490,0:01:45.090
zolang we dit blijven doen en blijven doen,

0:01:45.090,0:01:48.100
..., dan kijken we naar elke zijde,

0:01:48.130,0:01:49.520
we verdelen hem in gelijke zijde,

0:01:49.520,0:01:52.460
en dan de volgende, waar drie gelijke segmenten,

0:01:52.460,0:01:53.320
en dan de volgende,

0:01:53.320,0:01:55.480
de middelste segment we kunnen dit ook veranderen in een gelijkzijdige driehoek.

0:01:55.480,0:01:58.240
De vorm dat we hier aan het beschrijven zijn

0:01:58.240,0:02:00.200
heet de Koch Sneeuwvlokje

0:02:00.200,0:02:02.890
En ik weet zeker dat ik het stukje Koch verkeerd uitspreek.

0:02:02.890,0:02:05.180
De Koch Sneeuwvlokje

0:02:05.230,0:02:07.810
en het was als eerst beschreven door deze man hier,

0:02:07.810,0:02:12.490
wie een Zweedse wiskundige was genaamd Niels Fabian Helge von Koch

0:02:12.490,0:02:14.640
Ik weet zeker dat ik het verkeerd uitspreek.

0:02:14.670,0:02:17.250
En dit is een van de eerste beschreven fractals.

0:02:17.270,0:02:19.850
Dus dit is een fractal.

0:02:19.850,0:02:22.000
En de reden waarom dit een fractal is,

0:02:22.000,0:02:23.790
is dat het hetzelfde lijkt,

0:02:23.810,0:02:26.340
het lijkt hetzelfde op elke schaal als je er naar kijk.

0:02:26.340,0:02:29.890
Als je het op deze schaal bekijkt, als je het op deze manier bekijkt,

0:02:29.910,0:02:32.410
dan lijkt het alsof je een aantal driehoek zie met bultjes.

0:02:32.410,0:02:34.890
Maar als je dan hier weer zult inzommen

0:02:34.910,0:02:37.860
dan zie je nog steeds hetzelfde patroon.

0:02:37.860,0:02:39.840
En als je dan weer inzoomt,

0:02:39.860,0:02:41.520
zul je het nog een keer zien en nog een keer.

0:02:41.580,0:02:43.470
Dus een fractal is alles dat, op elke schaal,

0:02:43.470,0:02:46.810
of je inzoomt of uitzoomt, het lijkt allemaal hetzelfde.

0:02:46.810,0:02:48.700
Dat is waarom het een fractal word genoemd

0:02:48.720,0:02:50.150
Wat hier zo interessant aan is,

0:02:50.200,0:02:53.530
en waarom ik het op dit punt in de geometry afspeellijst plaats is,

0:02:53.530,0:02:56.790
is dat dit eigenlijk een oneindige omtrek bevat.

0:02:56.790,0:02:58.330
Als je dit zou blijven doen,

0:02:58.370,0:02:59.900
Als je echt de Koch Sneeuwvlok zou maken

0:02:59.900,0:03:03.260
Waar je een oneindig aantal nummers

0:03:03.280,0:03:05.240
op elke kleinere driehoek hier,

0:03:05.280,0:03:09.910
en je plaats nog een gelijkzijdige driehoek op de zijde.

0:03:09.930,0:03:11.680
En om te laten zien dat het een oneindige omtrek bevat

0:03:11.680,0:03:13.440
laten we dan eens kijken naar deze zijde kijken.

0:03:13.440,0:03:16.000
Dus laten we zeggen dat deze zijde,

0:03:16.000,0:03:18.550
Laten we zeggen we starten hier waar we gestart zijn

0:03:18.550,0:03:20.050
met de originele driehoek, dat is deze zijde.

0:03:20.080,0:03:21.480
En laten we zeggen het heeft de lengte S.

0:03:21.520,0:03:23.930
En dan verdelen we het in drie kleine segmenten.

0:03:23.960,0:03:26.290
We verdelen het in drie gelijke segmenten.

0:03:26.310,0:03:30.810
Dus dit zal zijn S/3, S/3 laat ik het zo opschrijven.

0:03:30.810,0:03:35.940
S/3, S/3 en S/3.

0:03:35.940,0:03:38.820
In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.

0:03:38.820,0:03:41.910
In het middelste segment, kun je een gelijkzijdige driehoek maken.

0:03:41.910,0:03:44.090
Dus elk van deze zijdes zijn S/3.

0:03:44.090,0:03:47.000
S/3, S/3.

0:03:47.000,0:03:50.700
en we weten dat de lengte van dit nieuwe stuk,

0:03:50.700,0:03:53.270
Ik kan het geen lijn meer noemen wat het heeft een bult in zich.

0:03:53.290,0:03:56.880
De lengte van dit stuk hier, deze zijde,

0:03:56.880,0:03:59.110
heeft nu niet de lengte van S.

0:03:59.150,0:04:01.620
Het is nu S/3 * 4.

0:04:01.620,0:04:03.360
Daarvoor was het S/3 * 3

0:04:03.360,0:04:07.550
nu heb je er een, twee, drie, vier segmenten dat S/3 is.

0:04:07.550,0:04:10.500
Dus na een keer, na een pas,

0:04:10.500,0:04:14.930
na een keer een aantal driehoeken plaatsen,

0:04:14.930,0:04:16.300
onze nieuwe zijde,

0:04:16.340,0:04:23.560
nadat we de bult hadden, zal zijn 4 * S/3 wat gelijk is aan 4/3 s.

0:04:23.560,0:04:30.950
Dus als onze originele omtrek toen het nog een driehoek was P sub 0,

0:04:30.950,0:04:34.230
Na een pas, na een set van bulten,

0:04:34.230,0:04:35.670
dan zal onze omtrek zijn,

0:04:35.710,0:04:39.880
Het zal 4/3 * het origineel.

0:04:39.880,0:04:42.660
Want elk van de zijdes zullen 4/3 groter zijn.

0:04:42.660,0:04:44.270
Dus als dit bestond uit drie zijdes

0:04:44.290,0:04:46.690
Nu zal elk van deze zijde groter zijn dan 4/3

0:04:46.690,0:04:48.950
Dus de nieuwe omtrek zal zijn 4/3 keer dat.

0:04:48.950,0:04:51.980
En dan nemen we nog een twee pas.

0:04:51.980,0:04:54.470
Dat word 4/3 de eerste pas.

0:04:54.470,0:04:57.740
Dus elk pas dat je maakt word 4/3 groter.

0:04:57.790,0:05:00.190
Het word gok ik zo een derde groter bij elke stap,

0:05:00.190,0:05:03.550
Het word 4/3 de vorige stap.

0:05:03.610,0:05:05.590
En als je dat doen in ontelbare keer de tijd,

0:05:05.590,0:05:10.740
als je het zou vermenigvuldigen met elk nummer van 4/3 een oneindig aantal keer,

0:05:10.740,0:05:13.760
dan krijg je een oneindig aantal nummers van ! een oneindige lengte.

0:05:13.760,0:05:16.340
Dus, P oneindig, P oneindig,

0:05:16.360,0:05:19.910
De omtrek als je dat een oneindig aantal keer zal doen, is oneindig

0:05:19.940,0:05:22.140
Dus dat bijzichzelf alleen is al cool,

0:05:22.190,0:05:24.300
Door alleen maar te denken over iets dat een oneindig aantal perimter heeft.

0:05:24.300,0:05:28.260
Maar wat eigenlijk leuker is, is dat het een eindige oppervlakte heeft.

0:05:28.260,0:05:30.120
En als ik zeg een oppervlakte dat eindig is,

0:05:30.120,0:05:32.480
dan is het gelimiteerd aan een stuk ruimte.

0:05:32.480,0:05:34.490
Om weer een vorm hiervan te maken

0:05:34.490,0:05:36.340
En dit zal zich nooit uitbreiden buitenom dat.

0:05:36.340,0:05:38.960
En om erover na te denken, ik ga niet een echt bewijs aanleveren,

0:05:38.960,0:05:41.600
Denk maar eens na over wat er gebeurd met elk van deze zijdes.

0:05:41.600,0:05:45.550
Dus in de eerste stap, hebben we deze driehoek dat hier uitspringt.

0:05:45.550,0:05:49.540
En als je erover nadenkt, als je tekent wat er gebeurd,

0:05:49.540,0:05:52.280
de volgende waarmee je deze twee driehoeken hier tekent

0:05:52.310,0:05:53.940
en deze twee figuren hier.

0:05:53.940,0:05:56.230
En dan plaats je een aantal driehoek hier,

0:05:56.260,0:05:59.600
en daar, en daar, en daar, en daar, enz enz enz.

0:05:59.630,0:06:02.520
Maar kijk, je kunt wel steeds meer en meer toevoegen,

0:06:02.520,0:06:04.980
je kunt een oneindig aantal nummers van deze bulten toevoegen,

0:06:05.020,0:06:07.070
maar je zult nooit voorbij dit punt komen.

0:06:07.070,0:06:11.220
En hetzelfde zal ook waar zijn voor deze zijde hier.

0:06:11.220,0:06:13.840
Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.

0:06:13.870,0:06:17.540
Het zal ook waar zijn voor deze zijde hier.

0:06:17.540,0:06:19.550
En het zal waar zijn voor deze zijde hier.

0:06:19.550,0:06:22.330
En dan zal het ook waar zijn voor deze zijde hier.

0:06:22.350,0:06:24.590
Dus ook al zou je dit een oneindig aantal keer doen,

0:06:24.590,0:06:27.120
deze vorm, deze Koch Sneeuwvlok

0:06:27.160,0:06:30.130
zal nooit een grotere oppervlakte hebben dan deze vaststaande hexagon.

0:06:30.130,0:06:32.070
Of het zal nooit een grotere oppervlakte hebben

0:06:32.070,0:06:34.530
dan de vorm dat lijkt op iets als dat.

0:06:34.530,0:06:36.450
En ik teken hier gewoon

0:06:36.450,0:06:38.200
Ik wil het buiten deze hexagon maken

0:06:38.200,0:06:39.780
Ik kan er een cirkel buiten plaatsen.

0:06:39.780,0:06:44.630
Dus dit ding wat ik tekende in het blauw, of deze hexagon wat ik tekende in paars,

0:06:44.630,0:06:46.820
zij hebben een vastgesloten oppervlakte.

0:06:46.820,0:06:49.480
En deze Koch Sneeuwvlok zal altijd vast zitten,

0:06:49.480,0:06:52.450
Ook al voeg je deze bulten een oneindig aantal keren toe.

0:06:52.450,0:06:55.380
Dus een boel coole dingen gebeuren hier.

0:06:55.420,0:06:56.330
Een, het is een fractal.

0:06:56.330,0:06:58.760
Je kunt inzoomen en het blijft hetzelfde.

0:06:58.780,0:07:04.950
Nog een ding is, oneindige perimter en einde oppervlakte.

0:07:04.950,0:07:07.830
Nu zou je kunnen zeggen, wacht, uhm, okay, dit is een abstract ding.

0:07:07.830,0:07:10.120
Dit soort dingen bestaan helemaal niet in de echte wereld.

0:07:10.120,0:07:13.240
En dit hier is een experiment

0:07:13.240,0:07:14.820
waar mensen over praten in de wereld van fracties.

0:07:14.870,0:07:17.770
En dat is het vinden van England,

0:07:17.820,0:07:19.200
Of je kunt het eigenlijk met elke eiland doen.

0:07:19.200,0:07:21.170
En Engeland lijkt dus hierop,

0:07:21.170,0:07:22.730
Weet je ik ben geen expert op de, weet je,

0:07:22.730,0:07:24.230
laten we zeggen het lijkt een beetje op dat.

0:07:24.230,0:07:26.230
Dus ten eerste schat je de omtrek,

0:07:26.230,0:07:27.480
en meet je de afstand.

0:07:27.550,0:07:32.350
Je kunt meten wat deze afstand is + deze afstand

0:07:32.350,0:07:36.070
+ deze afstand + deze afstand + deze afstand + deze afstand.

0:07:36.070,0:07:37.660
Kijk.

0:07:37.660,0:07:38.590
het heeft een eindige perimter.

0:07:38.620,0:07:40.300
Het heeft duidelijk gezien een eindige oppervlakte, maar weet je,

0:07:40.300,0:07:42.300
kijk dat heeft een eindige perimter.

0:07:42.340,0:07:43.720
Maar je zegt, nee, nee dat is niet goed.

0:07:43.750,0:07:45.380
Je moet het iets beter berekenen dan dat.

0:07:45.400,0:07:46.960
In plaats van dat je het losjes doet,

0:07:46.980,0:07:48.680
moet je een aantal smallere lijnen maken.

0:07:48.680,0:07:50.740
Je moet een aantal smallere lijnen maken

0:07:50.770,0:07:52.570
Zodat je de kust een beetje kan

0:07:52.620,0:07:55.010
En dan zeg je, Okay dat is een veel betere schatting.

0:07:55.010,0:07:58.730
Maar dan, laten we zeggen als we op een bepaald stuk inzoomen,

0:07:58.760,0:08:01.780
als we genoeg inzoomen, als we genoeg inzoomen,

0:08:01.780,0:08:03.980
de eigenlijk kustlijn zal iets zijn als dit.

0:08:04.020,0:08:08.190
De werkelijke kustlijn heeft allerlei stukjes in zich

0:08:08.260,0:08:11.150
En wanneer je dit deed,

0:08:11.150,0:08:13.580
was je gewoon aan het meten, je was gewoon aan het meten.

0:08:13.580,0:08:15.740
En dan zeg je. Dat is niet de omtrek van deze kustlijn.

0:08:15.740,0:08:17.620
Je zult meer zijdes moeten doen.

0:08:17.650,0:08:18.850
Je zult iets moeten doen als dit

0:08:18.900,0:08:25.660
om eigenlijk de echte omtrek te krijgen van de kustlijn.

0:08:25.660,0:08:29.150
En dan zeg je hey dat is een goede schatting van de omtrek.

0:08:29.150,0:08:32.190
maar als je in zoomt op dat stuk van de kust

0:08:32.190,0:08:35.050
dan zal het eigenlijk niet zo eruit zien als dat.

0:08:35.050,0:08:37.330
Het zal eigenlijk in en uitkomen als dit.

0:08:37.360,0:08:39.450
Misschien lijkt het als dat.

0:08:39.450,0:08:42.810
Dus in plaats van deze ruige lijnen te hebben, wat het meet als dat.

0:08:42.890,0:08:43.850
Je zult zeggen , Oh wacht,

0:08:43.900,0:08:46.170
nu moet ik er nog iets beter naar kijken.

0:08:46.220,0:08:48.270
En je kunt dit blijven doen

0:08:48.310,0:08:50.150
totdat je op atomisch niveau bezig bent.

0:08:50.150,0:08:54.730
Dus de werkelijke kustlijn van een eiland,

0:08:54.770,0:08:58.790
of een continent, of wat dan ook, is eigenlijk fractisch.

0:08:58.840,0:09:01.210
En het is, je kunt er over nadenken

0:09:01.210,0:09:03.130
als de ultieme oneindige omtrek

0:09:03.180,0:09:04.150
Natuurlijk op een gegeven moment,

0:09:04.220,0:09:05.480
kom je op atomisch gebied uit,

0:09:05.520,0:09:06.610
en zal het niet meer hetzelfde zijn,

0:09:06.660,0:09:08.510
maar het is eigenlijk dezelfde fenomeen.

0:09:08.540,0:09:10.390
het is interessant om erover na te denken.