Imagine we are living in prehistoric times.
Now, consider the following:
How did we keep track of time without a clock?
All clocks are based on some repetitive pattern
which divides the flow of time into equal segments.
To find these repetitive patterns,
we look towards the heavens.
The sun rising and falling each day
is the most obvious [pattern].
However, to keep track of longer periods of time,
we looked for longer cycles.
For this, we looked to the moon,
which seemed to gradually grow
and shrink over many days.
When we count the number of days
between full moons,
we arrive at the number 29.
This is the origin of a month.
However, if we try to divide 29 into equal pieces,
we run into a problem: it is impossible.
The only way to divide 29 into equal pieces
is to break it back down into [29] single units.
29 is a 'prime number.'
Think of it as unbreakable.
If a number can be broken down into
equal pieces greater than one,
we call it a 'composite number.'
Now if we are curious, we may wonder,
"How many prime numbers are there?
– and how big do they get?"
Let's start by dividing all numbers into two categories.
We list the primes on the left
and the composites on the right.
At first, they seem to dance back and forth.
There is no obvious pattern here.
So let's use a modern technique
to see the big picture.
The trick is to use a "Ulam spiral."
First, we list all possible numbers in order
in a growing spiral.
Then, we color all the prime numbers blue.
Finally, we zoom out to see millions of numbers.
This is the pattern of primes
which goes on and on, forever.
Incredibly, the entire structure of this pattern
is still unsolved today.
We are onto something.
So, let's fast forward to
around 300 BC, in ancient Greece.
A philosopher known as Euclid of Alexandria
understood that all numbers
could be split into these two distinct categories.
He began by realizing that any number
can be divided down – over and over –
until you reach a group of smallest equal numbers.
And by definition, these smallest numbers
are always prime numbers.
So, he knew that all numbers are
somehow built out of smaller primes.
To be clear, imagine the universe of all numbers –
and ignore the primes.
Now, pick any composite number,
and break it down,
and you are always left with prime numbers.
So, Euclid knew that every number
could be expressed using a group of smaller primes.
Think of these as building blocks.
No matter what number you choose,
it can always be built with an addition of smaller primes.
This is the root of his discovery,
known as the 'Fundamental Theorem of Arithmetic' –
as follows:
Take any number – say 30 –
and find all the prime numbers
it [can be divided into] equally.
This we know as 'factorization.'
This will give us the prime factors.
In this case 2, 3, and 5 are the prime factors of 30.
Euclid realized that you could then multiply
these prime factors a specific number of times
to build the original number.
In this case, you simply
multiply each factor once to build 30.
2 × 3 × 5 is the prime factorization of 30.
Think of it as a special key or combination.
There is no other way to build 30,
using some other groups of prime numbers
multiplied together.
So every possible number has one –
and only one – prime factorization.
A good analogy is to imagine each number
as a different lock.
The unique key for each lock
would be its prime factorization.
No two locks share a key.
No two numbers share a prime factorization.
تخيل اننا نعيش في مرحله ما قبل التاريخ
الان تامل التالي
كيف نعرف الوقت بدون ساعه
كل الساعات مبنيه على نمط متكرر
الذي يقسم الوقت الكامل الى اقسام متساويه
لكي نجد هذه انماط المتكرره
ننظر الى السماء
اشراق وغروب الشمس هي الحركه الاكثر وضوحا
لكن لكي نعرف فترات زمنيه اطول
ننظر الى دورات زمنيه اطول
لهذا ننظر الى القمر
الذي ينمو ويتقلص على مدى ايام عديده
عندما نعد الايام بين البدور
نصل للرقم 29
هذا مصدر الشهر
لكن اذا نحاول ان نقسم الرقم 29 الى اقسام متساويه
نواجه مشكله : ذللك مستحيل
الطريقه الوحيده التي نستطيع ان نقسم فيها الرقم 29 الى اقسام متساويه
هي ان نقسم الى احاد
29 رقم جذري
فكر فيه كانه غير قابل للكسر
اذا نستطيع ان نقسم رقم الى اقسام متساويه اكثر من واحد
نسمي هذا الرقم رقم مركب
الان اذا لدينا فضول قد نفكر
كم يوجد من الاعداد الجذريه
والى اي حد تكبر
فلنبدا في تقسيم كل الارقام الى قسمين
نعد الارقام الجذريه على اليسار
والرقم المركب على اليمين
في الاول تبدو وكانها تتمايل
لا يوجد نمط واضح هنا
فلنستخدم طريقه حديثه
لكي نرى الصوره الكبيره
الخدعه ان نستخدم دوامه اولام
اولا نعد الارقام الممكنه حسب الترتيب
في دوامه متطوره
ثم نلون كل الارقام الجذريه بلازرق
اخيرا نبعد لكي نرى الملاين من الارقام
هذا نمط الجذور
الذي يستمر الى الابد
العجيب هو ان مبنى هذا النمط
غير محللول الى اليوم
لكننا على شيئ
فلنسابق في الزمن الى
حوالي 300 ق.م في يونان القديمه
فيلسوف معروف كاقليدس الاكسندري
فهم ان كل الارقام
تقسم الى هاذين القسمين المختلفين
بدا بادراك ان اي رقم
قابل لتقسيم المتكرر
حتى تصل الى مجموعه اصغر ارقام متساويه
وبلتعاريف هذه الارقام الصغيره
دائما جذريه
لذللك عرف ان كل الارقام
بطريقه ما مبنيه من ارقام جذريه اصغر
للتوضيح تخيل كونا من كل الارقام
ثم تجاهل الارقام الجذريه
الان اختر اي رقم مركب وقسمه
دائما تتبقى لديك الارقام الجذريه
لذا اقليدس عرف ان كل رقم
مكون من مجموعه ارقام جذريه اصغر
فكر فيها كانها كتل بنائيه
بلرغم من اي رقم تختار
دائما نستطيع ان نبنيه بسلسله ارقام جذريه اصغر
هذا اصل هذا الاكتشاف
المعروف بلنظريه الاساسيه للحساب
كلتالي , خذ اي رقم مثل 30
وجد كل الارقام الجذريه
تقسم فيها بالتساوي
هذا معروف بلتحليل الى عوامل
هذا يعطينا الارقام الجذريه
في هذه الحاله 2 , 3, و5 هي الارقام الجذريه للرقم 30
اقليدس ادرك انك تستطيع ان تضرب
هذه العوامل الجذريه رقم محدد
لكي تبني الرقم الاصلي
في هذه الحال ببساطه
تضرب كل عامل لكي تبني الرقم 30
235 هي التحاليل الجذري ل 30
فكر فيه كانه مفتاح خاص او تركيبه
لا توجد طريه اخرى لبناء 30
باستخدام مجموعه اخرى من الارقام الجذريه
بضربها ببعض
لذللك كل رقم محتمل لديه عامل جذري واحد
وفقط واحد
تشبيه جيد هو ان تتخيل كل رقم
كقفل مختلف
المفتاح الخاص لقفلها
هي عواملها الجذريه
لا يوجد قفلان لديهما نفس المفتاح
لا يوجد رقمان لديهما نفس العوامل الجذريه
Представи си, че живеем в праисторически времена.
Нека се замислим над следното:
как сме измервали времето без часовник?
Всички часовници се основават на повтаряща се схема,
която разделя времето на равни части.
За да открием тази повтаряща се схема,
ще погледнем към небесата.
Най-очевидната схема е изгряването и залязването на слънцето всеки ден.
За да измерваме по-дълги периоди от време обаче
се нуждаем от по-дълги цикли.
Затова, поглеждаме към луната,
която постепенно расте и се смалява в продължение на дни.
По този начин, като броим дните между пълнолунията,
достигаме до числото 29.
Това е първообразът на месеца.
Ако се опитаме да разделим 29 на равни части,
достигаме до извода, че е невъзможно.
Единстеният начин да разделим 29 на равни части
е да го разделим на отделни единици.
29 е просто число.
Приеми, че е неделимо.
Ако едно число може да бъде разделено на равни части,
по-големи от единица, го наричаме "съставно" число.
Ако сме любопитни, ще се замислим:
колко на брой са простите числа
и колко големи могат да станат?
Нека първо разделим всички числа на две групи.
Ще записваме простите вляво
и съставните – вдясно.
Първоначално изглежда, че се редуват вляво и вдясно.
В действителност, няма такава зависимост.
Нека използваме по-модерна техника, за да видим голямата картинка.
Номерът е да използваме спиралата на Улам.
Първо подреждаме положителните числа в спирала.
След това, оцветяваме простите числа в синьо.
Като се отдалечим, ще видим милиони числа.
Това е схемата на простите числа,
която продължава до безкрайност.
Интересното е, че структурата на тази схема
все още не е разгадана.
Вече сме по следите на нещо.
Нека се пренесем в Древна Гърция 300 години пр. Хр.
Философът Евклид от Александрия
открил, че всички числа могат да бъдат разделени
единствено в тези две категории.
Евклид първо достигнал до извода,
че всяко число може да бъде разделяно,
докато се достигне група от най-малките еднакви числа.
По определение, тези най-малки числа
са винаги прости.
Така че, Евклид е знаел, че всички числа
са изградени от по-малки прости такива.
За да ти стане по-ясно, представи си вселената
от всички числа без простите.
Вземи кое да е съставно и го разделяй, докато можеш.
Винаги ще стигнеш до прости числа.
С други думи, всяко число
може да се представи като група от прости числа
Представи си ги като градивни блокчета.
Независимо кое число избереш,
то може да се представи чрез група от по-малки прости числа.
Това е същината на откритието,
известно като "основна теорема на аритметиката".
Нека вземем кое да е число, например 30
и намерим всички прости числа,
които го разделят на равни части.
Известно е като "разлагане на прости множители (или делители)".
Това ни дава простите множители на числото.
В нашия случай 2, 3 и 5 са простите множители на 30.
Евклид е осъзнал още, че простите множители
могат да се умножат определен брой пъти
и да се получи първоначалното число.
В този случай, просто умножаваме
всеки от множителите веднъж, за да получим 30.
2 по 3 по 5 дава числото 30.
Представи си го като специален ключ или комбинация.
Няма друг начин, по който да се получи 30,
с помощта на друга група от прости числа, умножени заедно.
Следователно, всяко възможно число има
единствена разбивка на прости множители.
като различна ключалка.
Уникалният ключ за нея би бил съставен
от простите множители на числото.
Всеки две числа имат различни прости множители.
Добра аналогия е да си представим всяко число
Всеки два катинара имат различен ключ.
মনে কর আমরা প্রাগৈতিহাসিক যুগে বাস করছি।
এখন, নিম্নোক্ত বিষয়গুলো বিবেচনা করঃ
ঘড়ি ছাড়া সময়ের হিসাব কীভাবে রাখা যায়?
সব ঘড়ি কিছু পুনরাবৃত্তিমূলক প্যাটার্নের উপর গঠিত
যা সময়ের প্রবাহকে সমান অংশে ভাগ করে।
এই পুনরাবৃত্তিমূলক প্যাটার্ন বের করতে
আমরা আকাশের দিকে তাকাই।
প্রতিদিন সূর্য উঠা এবং অস্ত যাওয়া হল
সবচেয়ে সুস্পষ্ট প্যাটার্ন।
যাই হোক, দীর্ঘ সময়ের ব্যপ্তির হিসাব রাখতে,
আমরা দীর্ঘ চক্রের দিকে তাকাই।
এই জন্য, আমরা চাঁদের দিকে তাকাই,
যা বহু দিন ধরে ধীরে ধীরে
বড় হয় এবং ছোট হয়।
যখন আমরা পূর্ণিমার মধ্যবর্তী
দিনের সংখ্যা গণনা করি,
আমরা ২৯ সংখ্যায় পৌঁছাই।
এটা একটি মাসের সূচনা।
যা হোক, যদি আমরা ২৯ কে সমান ভাগে ভাগ করার চেষ্টা করি,
আমরা একটি সমস্যায় পতিত হবোঃ এটা অসম্ভব।
২৯ কে সমান ভাগে ভাগ করার একমাত্র উপায়
হলো এটাকে [২৯] টি একক ইউনিট এ ভাগ করা
২৯ হলো ‘মৌলিক সংখ্যা’।
মনে কর এটা অবিভাজ্য।
যদি একটি সংখ্যা একের থেকে বড় সংখ্যায়
সমান ভাগে ভাগ হতে পারে,
আমরা তখন এটাকে ‘যৌগিক সংখ্যা’ বলি।
এখন আমরা যদি জানতে চাই, আমরা বিস্মিত হবো,
“সেখানে কতগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে?
এবং তারা কত বড় হতে পারে?”
চল আমরা সব সংখ্যাকে দুটি ভাগে ভাগ করতে শুরু করি।
বাম পাশে মৌলিক সংখ্যা এবং
ডান পাশে যৌগিক সংখ্যার তালিকা করি।
প্রথমে, মনে হয়েছে তারা সামনে পেছনে খেলছে।
এখানে সুস্পষ্ট কোন প্যাটার্ন নেই।
তাহলে আমরা বড় ছবিটি দেখতে
একটি আধুনিক কৌশল ব্যবহার করি।
এই কৌশল হল “ইউলাম স্পাইরাল” ব্যবহার করা।
প্রথমে, আমরা সম্ভাব্য সকল সংখ্যাকে
একটি ক্রমবর্ধমান সর্পিল আকারে তালিকা করবো।
এরপর, আমরা মৌলিক সংখ্যাগুলোকে নীল রঙ করবো।
সবশেষে, আমরা লক্ষ লক্ষ সংখ্যা দেখার জন্য ছোট করবো।
এটাই মৌলিক সংখ্যার প্যাটার্ন
যা সবসময় চলতেই থাকে।
অবিশ্বাস্যভাবে, এই প্যাটার্নের সমগ্র গঠন
আজ পর্যন্ত অসমাপ্ত।
আমরা কিছুটা পেছন ফিরে দেখি।
প্রায় ৩০০ খ্রীষ্টাব্দের
প্রাচীন গ্রীসের কথা।
আলেকজান্দ্রিয়ার ইউক্লিড নামে পরিচিত একজন দার্শনিক
বুঝেছিলেন, সকল সংখ্যাকে
এই দুটি স্বতন্ত্র বিভাগে বিভক্ত করা যায়
তিনি নিরূপন করেছিলেন যে, কোন সংখ্যা
শেষ পর্যন্ত ভাগ হতেই থাকবে
যতক্ষন না তুমি সমান সংখ্যার ক্ষুদ্রতম একটি দলে পৌঁছাবে।
এবং সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাগুলো
সবসময় মৌলিক সংখ্যা হবে।
সুতরাং, তিনি জানতেন যে, সকল
সংখ্যা কোন না কোন ভাবে ভাবে ছোট মৌলিক সংখ্যা থেকে তৈরি।
স্পষ্ট করে বললে, বিশ্বের সকল সংখ্যা কল্পনা কর
এবং মৌলিক সংখ্যাগুলো অগ্রাহ্য কর।
এখন, যে কোন একটি যৌগিক সংখ্যা বাছাই কর,
এবং এটাকে ভাঙো,
এবং অবশিষ্ট হিসেবে তুমি সবসময় মৌলিক সংখ্যা পাবে।
ইউক্লিড জানতেন, প্রতিটি
সংখ্যাকে ছোট মৌলিক সংখ্যার দল ব্যবহার করে প্রকাশ করা যায়।
এগুলোকে বিল্ডিং ব্লক হিসেবে চিন্তা কর।
তুমি কোন সংখ্যা পছন্দ করবে তা বিষয় নয়
এটা সবসময় ছোট মৌলিক সংখ্যার যোগে গঠিত হতে পারে।
এটাই তার আবিষ্কারের মূলবিষয়,
যা 'গাণিতিক মৌলিক উপপাদ্য' হিসেবে পরিচিত-
যা নিম্নরূপ:
যে কোন সংখ্যা নাও- মনে কর ৩০-
এবং সব মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের কর
[এটা সমান অংশে বিভক্ত হতে পারে]।
আমরা এটাকে 'মৌলিক উৎপাদক ' হিসেবে চিনি।
এটা আমাদের মৌলিক গুণক দিবে।
এক্ষেত্রে, ৩০ এর মৌলিক উৎপাদক হল ২,৩ ও ৫।
ইউক্লিড বুঝেছিল, তুমি এরপর প্রকৃত সংখ্যা
গঠনে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা পর্যন্ত এই
মৌলিক উৎপাদককে গুণ করতে পারবে।
এক্ষেত্রে, তুমি
৩০ গঠন করতে প্রত্যেক উৎপাদককে একবার গুণ করতে পারো।
৩০ এর মৌলিক উৎপাদক হল ২ × ৩ × ৫।
এটাকে একটি বিশেষ চাবি বা কম্বিনেশন হিসেবে চিন্তা কর।
৩০ গঠন করার আর কোন উপায় নেই,
অন্য গ্রুপের মৌলিক উৎপাদক
একসাথে গুণ করা ছাড়া।
তাহলে প্রত্যেক সম্ভাব্য সংখ্যার শুধু একটি
এবং শুধু একটিই মৌলিক উৎপাদক আছে।
একটি ভালো উপায় হলো প্রত্যেক সংখ্যাকে
একটি ভিন্ন তালা হিসেবে মনে করা।
প্রত্যেক তালার একমাত্র বিশেষ চাবি
হবে এর মৌলিক উৎপাদক।
দুইটি তালার একটি চাবি থাকবে না।
দুইটি সংখ্যার একটি মৌলিক উৎপাদক থাকবে না।
Představte si, že žijeme v pravěku.
A teď přemýšlejte o následujícím:
Jak se zaznamenával čas bez hodin?
Všechny hodiny jsou založeny na opakujícím se jevu,
který dělí čas na stejné části.
Abychom tyto jevy našli,
díváme se na nebe.
Východu a západu Slunce si všimneme hned.
Abychom však dokázali pracovat s delšími obdobími,
potřebujeme delší cykly.
Proto se díváme na Měsíc,
který během několika dnů postupně roste a pak zase ubývá.
Když spočítáme dny mezi úplňky,
dostaneme se na číslo 29.
Proto rok dělíme i na měsíce.
Pokud ale chceme rozdělit číslo 29 na stejné části,
tak narazíme na problém. Je to nemožné.
29 se dá rozdělit pouze jedním způsobem,
na 29 stejných částí.
29 je prvočíslo.
Můžeme o něm přemýšlet jako o čísle nerozbitném.
Pokud se dá číslo rozdělit na stejné části větší než 1,
tak ho nazýváme číslem složeným.
Pokud jsme zvědaví, tak nás možná napadne otázka:
Kolik prvočísel existuje?
A jak velké mohou být?
Nejdříve rozdělíme čísla na 2 skupiny.
Prvočísla dáme nalevo
a složená čísla napravo.
Ze začátku se zdá, že čísla přeskakují sem a tam.
Není tam žádný vzor.
Tak použijme moderní techniku
a podíváme se na to z jiné perspektivy.
Pomůže nám Ulamova spirála.
Nejdříve seřadíme všechna čísla podle velikosti do spirály.
Pak označíme prvočísla modrou.
Nakonec se podíváme na miliony čísel.
Zde vidíme vzorec prvočísel,
který pokračuje donekonečna.
Je neuvěřitelné, že celková struktura tohoto obrazce
je dodnes nevyřešena.
Na něco jsme narazili.
Nyní se přesuneme do starodávného Řecka, zhruba do roku 300 p. n. l.
Filozof známý jako Eukleidés z Alexandrie pochopil,
že všechna čísla mohou být rozdělena do dvou oddělených kategorií.
Začal si uvědomovat, že jakékoli číslo může být děleno znovu a znovu,
dokud se nedostaneme ke skupině nejmenších stejných čísel.
A tato nejmenší čísla jsou podle definice vždy prvočísla.
Takže věděl, že všechna čísla jsou poskládaná z menších prvočísel.
Představte si vesmír všech čísel a ignorujte prvočísla.
Nyní si vyberte složené číslo a rozložte jej.
Vždy vám zůstanou prvočísla.
Eukleidés tedy věděl,
že každé číslo se dá vyjádřit pomocí menších prvočísel.
Prvočísla jsou jako stavební kostky.
Je jedno, jaké číslo si vyberete,
vždy se dá poskládat z menších prvočísel.
Toto je základ objevu známého jako Základní věta aritmetiky.
Postup je následující: Vezmeme například číslo 30
a najdeme všechna prvočísla, do kterých lze číslo rovnoměrně rozdělit.
Tomu se říká prvočíselný rozklad (faktorizace).
Ukáže nám to prvočíselné dělitele.
V tomto případě jsou 2, 3 a 5 prvočíselnými děliteli 30.
Eukleidés si uvědomil, že pokud určité mocniny těchto prvočísel vzájemně vynásobíme,
tak sestaví původní číslo.
Aby vzniklo číslo 30, tak stačí umocnit každý dělitel jednou.
2 krát 3 krát 5 je prvočíselný rozklad 30.
Představte si to jako speciální klíč nebo kombinaci.
Neexistuje totiž jiný způsob jak poskládat 30 násobením jiné skupiny prvočísel.
Takže každé číslo má jeden
a pouze jeden prvočíselný rozklad.
Každé číslo si můžeme představit jako jiný zámek.
Jedinečným klíčem pro tento zámek by byl jeho prvočíselný rozklad.
Neexistují dva zámky se shodným klíčem.
Žádná 2 čísla nemají stejný prvočíselný rozklad.
Lad os forestille os, at vi levede for lang, lang tid siden.
Lad os prøve at tænke over,
hvordan vi holdt styr på tiden uden et ur.
Alle ure er baseret på et gentagende mønster,
der deler hele tiden op i lige store dele.
For at finde de gentagende mønstre
kigger vi på himlen.
Det er klart, at solen står op og ned hver dag,
men når vi skal holde styr på længere tidsrum,
skal vi kigge efter længere cyklusser.
Vi kan kigge på månen,
der ser ud til gradvist at vokse og skrumpe over mange dage.
Når vi tæller antallet af dage mellem fuldmåne,
finder vi ud af, at der er 29.
Det er sådan, man opfandt en måned.
Når vi skal prøve at dele 29 op i lige store dele,
finder vi ud af, at det er umuligt.
Den eneste måde, vi kan dele 29 op i lige store dele
er ved at splitte det op i grupper af 1.
29 er nemlig et primtal.
Vi kan tænke på det som udeleligt.
Hvis et tal kan blive delt op i lige store dele, der er større end 1,
kalder vi det et sammensat tal.
Hvis vi er nysgerrige, kommer vi måske til at tænke på,
hvor mange primtal, der er,
og hvor store de bliver.
Lad os starte med at dele alle tal ind i 2 kategorier.
Vi sætter primtallene til venstre
og de sammensatte tal til højre.
Til at starte med ser de ud til at være lidt her og der.
Der ser ikke ud til at være et mønster.
Lad os bruge en moderne teknik
til at se det fulde billede.
Teknikken er at bruge Ulam-spiralen.
Først stiller vi alle tal i rækkefølge
i en voksende spiral.
Så farver vi alle primtallene blå.
Til sidst formindsker vi billedet, så vi kan se millioner af tal.
Det her er primtallenes mønster,
der bliver ved og ved for evigt.
Utroligt nok er hele det her mønsters struktur
stadig ikke løst i dag.
Vi har fundet noget.
Lad os spole tiden frem
til omkring 300 år før vor tidsregning i det gamle Grækenland.
En filosof kendt som Euclid fra Alexandria
forstod, at alle tal
kunne blive delt op i de her 2 kategorier.
Han begyndte ved at finde ud af,
at alle tal kan blive divideret igen og igen,
indtil man når en gruppe af de mindste, lige store tal.
Per definition er de her små tal
altid primtal.
Han vidste altså,
at alle tal på en måde er bygget ud af mindre primtal.
For at gøre det klart kan vi forestille os et univers
med alle tal og ignorere primtallene.
Vi kan vælge et hvilket som helst sammensat tal
og dividere det ned, og vi vil altid stå tilbage med et primtal.
Euclid vidste altså, at ethvert tal kan udtrykkes
ved at bruge en gruppe af mindre primtal.
Vi kan tænke på de her som byggeklodser.
Ligemeget hvilket tal vi vælger,
kan vi altid bygge det med nogle mindre primtal.
Det er roden til opdagelsen,
vi kalder den fundamentale teori om aritmetik.
Vi kan vælge ethvert tal. Lad os for eksempel tage 30.
Nu kan vi finde alle de primtal,
der går op i det uden rest.
Det hedder faktorisering.
Det vil give os primtallene.
I det her tilfælde er 2, 3 og 5 primfaktorerne til 30.
Euclid fandt ud af, at man kan gange
primfaktorerne et vist antal gange
og på den måde bygge det oprindelige tal.
I det her tilfælde ganger vi bare
hver faktor med hinanden 1 gange for at bygge tallet 30.
2 gange 3 gange 5 er primfaktoriseringen for 30.
Vi kan tænke på det som en særlig nøgle eller kombination.
Der er ingen anden måde at bygge tallet 30 på
ved at bruge andre tal
ganget sammen.
Ethvert tal har altså 1,
og kun 1, primfaktorisering.
Man kan altså forestille sig,
at alle tal har en forskellig lås.
Den unikke nøgle til låsen
er dens primfaktorisering.
Der er ikke 2 låse, der har den samme nøgle.
Der er ikke 2 tal, der har samme primfaktorisering.
Stell dir vor, wir leben in prähistorischen Zeiten.
Jetzt bedenke Folgendes:
Wie haben wir die Zeit im Blick behalten, ohne Uhr?
Alle Uhren funktionieren mit Mustern, die sich wiederholen.
Dadurch wird die ganze Zeit in gleiche Einheiten geteilt.
Um diese wiederholenden Muster zu finden
schauen wir zum Himmel.
Die Sonne, die jeden Tag auf- und untergeht ist das Offensichtlichste.
Um auch längere Zeitabschnitte im Blick zu behalten,
schauen wir nach längeren Zyklen
Dazu schauen wir zum Mond,
der von Tag zu Tag schrittweise zu wachsen und zu schrumpfen scheint.
Wenn wir die Tage zwischen zwei Vollmonden zählen,
kommen wir auf die Zahl 29.
Das ist der Ursprung eines Monats.
Wenn wir aber versuchen 29 in gleiche Teile zu unterteilen,
stoßen wir auf ein Problem: Es ist unmöglich.
Die einzige Möglichkeit die Zahl 29 in gleiche Teile zu unterteilen,
besteht darin, sie in unterschiedliche Einheiten zu unterteilen.
29 ist eine Primzahl.
Also ist sie unteilbar.
Wenn eine Zahl in größere Stücke als eins unterteilt werden kann
nennen wir sie zusammengesetzte Zahl.
Wenn wir jetzt neugierig sind, könenn wir uns fragen:
Wie viele Primzahlen gibt es
und wie groß werden sie?
Beginnen wir damit, alle Zahlen in zwei Kategorien zu trennen.
Wir schreiben die Primzahlen nach links
und die zusammengesetzten nach rechts.
Zuerst scheinen sie hin- und herzutanzen.
Es gibt kein offensichtliches Muster.
Verwenden wir mal eine moderne Technik,
um das gesamte Bild zu sehen
Der Trick ist es, die Ulam-Spirale zu verwenden.
Zuerst schreiben wir alle möglichen Zahlen der Reihe nach
in eine wachsende Spirale.
Dann färben wir alle Primzahlen blau ein.
Schließlich zoomen wir heraus, um Millionen von Zahlen zu sehen.
Das ist das Muster der Primzahlen,
das immer weitergeht.
Unglaublich, die gesamte Struktur dieses Musters
ist heute noch ungelöst.
Wir sind da an etwas dran.
Also schnell weiter
nach Griechenland, etwa im Jahr 300 v. Chr.
Ein philosoph namens Euklid von Alexandria
hat verstanden, dass alle Zahlen
in diese zwei Kategorien aufgeteilt werden können.
Er hat zuerst verstanden, dass jede Zahl
solange geteilt werden kann,
bis man eine Gruppe von kleinsten gleichen Zahlen erreicht.
Und per Definition
snd diese kleinsten Zahlen immer Primzahlen.
Folglich wusste er, dass alle Zahlen
irgendwie aus kleineren Primzahlen aufgebaut sind.
Um dir das klarzumachen, stell dir ein Universum aus allen Zahlen vor
und ignoriere die Primzahlen!
Φανταστείτε ότι ζούμε σε προϊστορικoύς χρόνους.
Τώρα, σκεφτείτε το εξής:
Πώς μετρούσαμε το πέρασμα του χρόνου χωρίς ρολόι;
Όλα τα ρολόγια βασίζονται σε κάποιο επαναλαμβανόμενο μοτίβο
το οποίο μοιράζει την ροή του χρόνου σε ίσα μέρη.
Για να βρούμε αυτά τα επανα- λαμβανόμενα μοτίβα,
κοιτάμε προς τον ουρανό.
Ο ήλιος που ανατέλει και δύει κάθε μέρα
είναι το προφανές μοτίβο.
Ωστόσο, για να μετρήσουμε το πέρασμα του χρόνου για μεγαλύτερες περιόδους
κοιτάμε για μεγαλύτερης διάρκειας κυκλικά φαινόμενα.
Γι'αυτό, κοιτάξαμε προς το φεγγάρι
το οποίο μοιάζει να μεγαλώνει και να μικραίνει
σταδιακά σε διάστημα πολλών ημερών.
Όταν μετράμε τις μέρες
ανάμεσα σε δύο πανσελήνους,
βρίσκουμε τον αριθμό 29.
Αυτός ο αριθμός είναι η προέλευση του μήνα.
Ωστόσο, αν προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε το 29 σε ίσα μέρη,
πέφτουμε πάνω σε ένα πρόβλημα: είναι αδύνατο.
Ο μόνος τρόπος να χωρίσουμε το 29 σε ίσα μέρη
είναι να το χωρίσουμε σε μονάδες.
Το 29 είναι πρώτος αριθμός.
Θεωρείστε τον ως αδιάσπαστο.
Άν ένας αριθμός μπορεί να διασπαστεί
σε ίσα μέρη μεγαλύτερα του ενός,
τότε τον λέμε σύνθετο.
Τώρα αν είμαστε περίεργοι, μπορεί να αναρωτηθούμε:
"Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν;
και πόσο μπορούν να αυξηθούν;"
Ας αρχίσουμε διαιρώντας όλους τους αριθμούς σε δύο κατηγορίες.
Παραθέτουμε τους πρώτους στα αριστερά
και τους σύνθετους στα δεξιά.
Αρχικά, μοιάζουν να χορεύουνε πέρα δώθε.
Δεν υπάρχει κάποιο προφανές μοτίβο εδώ.
Οπότε ας χρησιμοποιήσουμε μία σύγχρονη τεχνική
για να δούμε τη μεγαλύτερη εικόνα.
Το κόλπο είναι να χρησιμοποιήσουμε το σπιράλ του Ulam.
Πρώτα παραθέτουμε όλους του αριθμούς στη σειρά
σε αυξανόμενο σπιράλ.
Μετά, χρωματίζουμε όλους τους πρώτους αριθμούς με μπλε.
Τέλος, απομακρυνόμαστε και βλέπουμε εκατομμύρια αριθμούς.
Αυτό είναι το μοτίβο των πρώτων αριθμών
το οποίο συνεχίζεται για πάντα.
Είναι απίστευτο ότι η συνολική δομή αυτού του μοτίβου
δεν έχει λυθεί μέχρι σήμερα.
Υπάρχει λοιπόν κάτι ενδιαφέρον.
Ας μεταφερθούμε λοιπόν
γύρω στο 300 π.χ. στην Αρχαία Ελλάδα.
Ένας φιλόσοφος ονόματι Ευκλείδης ο Αλεξανδρινός
κατάλαβε ότι όλοι οι αριθμοί
μπορούσαν να χωριστούν σε αυτές τις δύο κατηγορίες.
Συνειδητοποίησε ότι κάθε αριθμός
μπορεί να χωριστεί ξανά και ξανά
μέχρι να φτάσουμε σε ένα σύνολο από ίσους μικρούς αριθμούς.
Εξ΄ορισμού, αυτοί οι μικροί αριθμοί
είναι πάντα πρώτοι αριθμοί.
Έτσι, ήξερε ότι όλοι οι αριθμοί
είναι κάπως φτιαγμένοι από μικρότερους πρώτους.
Για να είμαστε ξεκάθαροι, φανταστείτε ένα σύμπαν από όλους τους αριθμούς
και αγνοήστε τους πρώτους.
Τώρα, διαλέξτε έναν σύνθετο αριθμό,
χωρίστε τον σε μικρότερους,
και θα καταλήγετε πάντα με πρώτους αριθμούς.
Έτσι, ο Ευκλείδης ήξερε ότι κάθε αριθμός
μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας ένα σύνολο από μικρότερους πρώτους.
Σκεφτείτε τους ώς ένα σύνολο δομικών στοιχείων.
Ανεξάρτητα με το ποιον αριθμό θα διαλέξεις,
αυτός μπορεί πάντα να κατασκευαστεί με την προσθήκη μικρότερων πρώτων.
Αυτή είναι η βάση αυτής της ανακάλυψης,
γνωστή ώς το " Θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής"
οπώς ακολουθεί:
Διαλέξτε εναν αριθμό, ας πούμε το 30,
και βρείτε όλους τους πρώτους αριθμούς
στους οποίους διαιρείται σε ίσα μέρη.
Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ώς παραγοντοποίηση.
Μας δίνει όλους τους πρώτους παράγοντες,
σε αυτή την περίπτωση, το 2, 3 και 5 είναι οι πρώτοι παράγοντες του 30.
Ο Ευκλείδης συνειδητοποίησε ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε
αυτούς τους πρώτους παράγοντες συγκεκριμένες φορές
για να βρούμε τον αρχικό αριθμό.
Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλά
να πολλαπλασιάσουμε κάθε παράγοντα μία φορά για να κατασκευάσουμε το 30.
2 φορές το 3 φορές το 5, είναι η παραγοντοποίηση του 30.
Σκεφτείτε το σαν ένα ειδικό κωδικό ή συνδυασμό.
Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να κατασκευάσουμε το 30
χρησιμοποιώντας κάποιο άλλο συνολο απο πρώτους αριθμούς
και πολλαπλασιάζοντάς τα μαζί.
Οπότε κάθε αριθμός έχει μία
και μόνο μία παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.
Μία καλή αναλογία είναι να φανταστούμε κάθε αριθμό
σαν μία διαφορετική κλειδαριά.
Το κλειδί που ανοίγει αυτή την κλειδαριά
είναι η παραγοντοποίησή του.
Δεν υπάρχουν δύο κλειδαριές που να ανοίγουν με το ίδιο κλειδί.
Δεν υπάρχουν δύο αριθμοί που να έχουν την ίδια παραγοντοποίηση.
Imaginemos que estamos viviendo en la prehistoria.
Ahora, consideremos lo siguiente:
¿Cómo hemos llegado a estimar el tiempo sin reloj?
Todos los relojes se basan en un patrón repetitivo
que divide la totalidad del tiempo en segmentos iguales.
Para encontrar estos patrones repetitivos,
miramos hacia el cielo.
El sol sube y baja cada día
es el más obvio, sin embargo, no perder de vista
períodos más largos en el tiempo miramos para ciclos más largos.
Para ello, miramos hacia la Luna, que
parece crecer poco a poco y disminuyendo a lo largo de muchos días.
Cuando tenemos que contar el número de días entre
lunas llenas, llegamos al número 29.
Este es el origen de un mes.
Sin embargo, si tratamos de dividir 29 en partes iguales,
nos encontramos con un problema: es imposible.
La única forma de dividir el número 29 en partes iguales
es dividirlo en unidades individuales.
29 es un número primo.
Piense en ello como irrompible.
Si un número se puede dividir en partes iguales
mayor que uno, lo llamamos un número compuesto.
Ahora bien, si nos pica la curiosidad, podemos preguntarnos:
cuántos números primos hay y
qué tan grandes pueden ser?
Vamos a empezar por dividir todos los números en dos categorías.
Se recogen los números primos a la izquierda y los
compuestos a la derecha.
En un primer momento, parecen bailar de ida y vuelta.
No existe un patrón obvio aquí.
Así que vamos a utilizar una técnica moderna
para ver el panorama completo.
El truco es usar la espiral de Ulam.
En primer lugar, una lista de todos los números posibles en
orden en una espiral creciente.
Luego, pintar todos los números primos de color azul.
Por último, alejar el zoom para ver a millones de números.
Este es el patrón de los números primos, que
sigue y sigue para siempre.
Increíblemente, toda la estructura de este patrón
sigue sin resolverse en la actualidad.
Estamos en lo cierto.
Por lo tanto, vamos a avanzar rápidamente en torno a la
300 aC en la antigua Grecia.
Un filósofo conocido como Euclides de
Alejandría entiende que todos los números
se puede dividir en estas dos categorías separadas.
Empezó por darse cuenta de que cualquier número
se puede dividir una y otra vez hasta
llegar a un grupo de pequeños números iguales.
Y por definición, estos números más pequeños
siempre son los números primos.
Por lo tanto, sabía que todos los números
de alguna manera se construyen a partir de pequeños primos.
Para ser claros, imaginar un universo de
todos los números y pasar por alto los números primos.
Ahora, elegir cualquier número compuesto y descomponerlo
y siempre se queda con los números primos.
Por lo tanto, Euclides sabía que todos los números
podrían expresarse a partir de un grupo de pequeños primos.
Piense en estos como piezas de construcción.
No importa cuál sea el número que usted elija
siempre se puede construir como una adición de pequeños primos.
Esta es la raíz del descubrimiento
conocido como el teorema fundamental de la aritmética.
En la siguiente manera, podrá tomar cualquier número, por ejemplo 30,
y encontrar todos los números primos
en que se puede dividir.
Esto es lo que conocemos como factorización.
Esto nos dará los factores primos,
en este caso 2, 3 y 5 son los factores primos de 30.
Euclides dio cuenta de que usted podría multiplicar
estos factores primos un número determinado de veces
para construir el número original.
En este caso, basta con multiplicar cada
factor de una vez para construir 30.
2 por 3 por 5 es la factorización prima de 30.
Piense en ello como una clave especial o una combinación.
No hay otra manera de construir 30
utilizando algún otro grupo de
números primos multiplicados entre sí.
Por lo tanto todos los números posibles tiene una
y sólo una descomposición en factores primos.
Una buena analogía es imaginar cada
número como una cerradura diferente.
La clave única para su bloqueo
sería su descomposición en factores primos.
No hay dos cerraduras que compartan la misma clave.
No hay dos maneras de compartir una descomposición en factores primos.
Kujuta ette, et me elame eelajaloolisel ajal.
Nüüd, arvesta järgnevat:
Kuidas me arvestasime aega ilma kellata?
Kõik kellad põhinevad mingil korduval mustril,
mis jagab aja voolu võrdseteks segmentideks.
Et leida neid korduvaid mustreid,
vaatame me taevasse.
Päikese tõus ja loojang iga päev
on kõige lihtsamini märgatav[muster].
Kuid, et jälgida pikemaid aja perioode,
otsisime pikemaid tsükleid.
Selleks, vaatasime kuud,
mis tundus järk-järgult kasvavat
ja kahanevat paljude päevade jooksul.
Kui me lugesime päevade arvu
täiskuude vahel,
jõudsime arvuni 29.
See on kalendrikuu aluseks.
Kuid, kui me üritame jagada 29 võrdseteks tükkideks,
komistame probleemi otsa: see on võimatu.
Ainuke võimalus jagada 29 võrdseteks juppideks
on murda see [29] üksikuteks tükkideks.
29 on algarv
Mõtle sellest, kui lõhkumatust.
Kui arvu saab lõhkuda
võrdseteks ühest suuremateks juppideks,
kutsume seda 'kordarvuks.'
Nüüd, kui oleme uudishimulikud, võime mõelda,
"Kui palju algarve on olemas?
- ja kui suureks nad lähevad?"
Alustame sellega, et jagame kõik arvud kahte kategooriasse.
Reastame algarvud vasakule
ja kordarvud paremale.
Esmalt tunduvad nad tantsivat edasi-tagasi.
Ilmset siin mustrit ei ole .
Niisiis, kasutame kaasaegset tehnikat,
et näha suuremat pilti.
Trikk seisneb "Ulami spiraali" kasutamises.
Esmalt joondame kõik võimalikud arvud järjest
kasvavasse spiraali.
Siis värvime kõik algarvud siniseks.
Lõpuks, vähendame, et näha miljoneid arve.
See on algarvude muster
mis läheb edasi ja edasi, igavesti.
Hämmastavalt on selle mustri terve struktuur
veel tänapäevalgi lahendamata.
Me oleme millegi jälil
Niisiis, kiirendame edasi
aastasse 300 eKr., Vana-Kreekasse.
Filosoof nimega Eculid Alexandriast
mõistis, et kõik arvud
saab jagada kahte selgesse kategooriasse.
Ta alustas taipamisega, et iga arvu
saab jagada, - uuesti ja uuesti -
kuni sa jõuad väikseimate võrdsete arvude grupini.
Ja tähenduselt, need väikseimad arvud
on alati algarvud.
Niiet ta teadis, et kõik arvud
on kuidagi ehitatud väiksematest algarvudest.
Lihtsamalt, kujuta kõikide arvude universium- -
ja eira kõiki algarve.
Nüüd, vali ükskõik milline kordarv,
ja murra see katki-
sul jäävad järgi ainult algarvud.
Euclid teadis, et iga arvu
saab väljendada kasutades gruppi väiksemaid algarve.
Mõtle neist kui ehituskividest.
Pole vahet, mis arvu sa valid,
seda saab alati ehitada väiksemate algarvudega.
See on tema avastuse põhi.
Tuntud ka kui 'Fundamentaalne Aritmeetika Teroreem' -
Järgnevalt:
Võta ükskõik mis arv - ütleme 30 -
ja leia kõik algarvud
milleks saab seda jagada võrdselt.
Seda teame kui 'tegurdamine.'
See annab meile algarvulised tegurid.
Antud juhul 2, 3, ja 5 on 30 algarvulised tegurid.
Euclid sai aru, et siis sa võid korrutada
neid algarvulisi tegureid, kindel arv kordi
et ehitada algne arv.
Antud juhul, lihtsalt
korruta iga tegurit korra, et saada 30.
2 × 3 × 5 on algarvuline tegurdamine 30-st.
Mõtle sellest kui erilisest võtmest või kombinatsioonist.
Muud moodi ei ole võimalik ehitada 30,
kasutades mõnda teist algarvude gruppi
üksteisega korrutatud.
Niisiis, igal võimalikul arvu on üks -
ja ainult üks - algarvuline tegurdus.
Hea analoogia on kujutada igat arvu
kui erinevat lukku.
Unikaalne võti igale lukule
oleks selle algarvuline tegurdus.
Mitte ühelgi lukul pole sama võtit.
Mitte ühelgi lukul pole sama algarvulisi tegureid.
Imaginons que nous vivons dans la préhistoire.
Maintenant, demandons-nous :
Comment compter les heures sans horloge ?
Toutes les horloges utilisent un phénomène répétitif
qui divise le temps en segments égaux.
Pour identifier ces phénomènes,
nous nous tournons vers le ciel.
Le soleil qui se lève et se couche chaque jour
est le plus évident.
Cependant, pour de plus longues périodes de temps,
il faut trouver des cycles plus longs.
Pour cela, nous avons regardé la Lune,
qui semble grossir progressivement
puis diminuer pendant plusieurs jours.
Si nous comptons le nombre de jours
entre deux pleines lunes,
nous obtenons le nombre 29.
Ceci est l'origine du mois.
Toutefois, si nous essayons de diviser 29 en morceaux égaux,
nous nous trouvons face à un problème : c'est impossible.
La seule manière de diviser 29 en morceaux égaux
c'est de le ramener à des morceaux de 1.
29 est un 'nombre premier'.
On pourrait dire 'incassable'.
Si un nombre peut être séparé
en morceaux égaux plus grands que 1,
nous l'appelons 'nombre composé'.
Par curiosité, nous pourrious nous demander
"Combien de nombres premiers existent-ils ?
Et quels sont les plus grands ?"
Commençons par séparer les nombres en deux catégories.
Mettons les nombres premiers sur la gauche,
et les composés sur la droite.
À première vue, ils semblent aller et venir.
Il n'y a pas de structure apparente.
Alors utilisons une technique moderne
pour aller plus loin.
L'astuce est d'utiliser une 'spirale Ulam'.
D'abord, nous inscrivons tous les nombres dans l'ordre
dans une spirale.
Ensuite, nous marquons les nombres premiers en bleu.
Enfin, nous reculons pour voir des millions de nombres.
Ceci est la structure des nombres premiers
qui continue encore et encore sans s'arrêter.
Étonnamment, la structure de ce motif
est encore incomprise de nos jours.
Il y a quelque chose là-dessous.
Dirigeons nous donc vers 300 avant JC
dans la Grèce antique.
Un philosophe du nom d'Euclide d'Alexandrie
comprit que tous les nombres
pouvaient être séparés en deux catégories distinctes.
Il nota tout d'abord que chaque nombre
pouvait être divisé, et re-divisé,
jusqu'à atteindre un groupe de plus petits nombres égaux.
Et par définition, ces plus petits nombres
sont toujours des nombres premiers.
Donc il savait que tous les nombres sont construits
d'une façon ou d'une autre de nombres premiers plus petits.
Plus clairement, imaginez l'ensemble de tous les nombres,
et ignorez les nombres premiers.
Maintenant, choisissez un nombre composé
et divisez-le
et vous finissez toujours avec des nombres premiers.
Euclide savait que chaque nombre
pouvait être représenté par un groupe de nombres premiers plus petits.
Ils peuvent être vus comme des briques.
Quel que soit le nombre choisi,
il peut être obtenu par une somme de nombres premiers plus petits.
C'est l'essence de sa découverte
connue sous le nom de 'théorème fondamental de l'arithmétique'
comme suit :
Prenez n'importe quel nombre, par exemple 30,
et trouvez tous les nombres premiers
qui peuvent le diviser.
Cela s'appelle la factorisation.
Cela nous donne les facteurs premiers,
ici, 2, 3 et 5 sont les facteurs premiers de 30.
Euclide a réalisé que l'on pouvait ensuite multiplier
ces facteurs premiers un certain nombre de fois
pour obtenir le nombre de départ.
Ici, on multiplie juste
chaque facteur une seule fois pour avoir 30.
2 x 3 x 5 est la factorisation en nombres premiers de 30.
Vous pouvez considérer ceci comme une clé ou une combinaison.
Il n'y a pas d'autre façon de construire 30
en utilisant d'autres nombres premiers
et en les multipliant.
Donc chaque nombre imaginable a une, et seulement une,
factorisation en nombres premiers.
Par analogie on peut imaginer les nombres
comme de différentes serrures.
La clé unique pour chaque serrure
serait sa factorisation en nombres premiers.
Il n'y a pas deux serrures qui ont la même clé.
Il n'y a pas deux nombres qui ont la même factorisation en nombres premiers.
דמיינו כי אנו חיים בזמן פרה-היסטורי.
כעת, נסו לשער:
איך יכולנו לנהל את זמננו בלי שעון?
כל השעונים מבוססים על איזושהי תבנית החוזרת על עצמה
המחלקת את הזמן למקטעים שווים.
למצוא את התבניות החוזרות
אנו מתבוננים לשמים.
הכי ברורה היא השמש הזורחת ושוקעת בסוף כל יום
אולם לעקוב אחר פרקי זמן ארוכים יותר
אנו מחפשים מחזורים ארוכים יותר.
לשם כך, אנו מתבוננים בירח
הגדל בהדרגה ואחר כך מצטמק לאורך ימים רבים.
כאשר אנו סופרים את מספר הימים בין מופעי ירח מלא
אנו מגיעים למספר 29.
זהו מקורו של מושג החודש.
אבל, אם ננסה לחלק 29 למקטעים שווים
ניקלע לבעיה: הדבר בלתי אפשרי.
הדרך היחידה לחלק 29 למקטעים שווים
היא לפרקו חזרה ליחידות בודדות...
29 הוא מספר ראשוני.
חישבו עליו כעל "בלתי פָּרִיק".
אם מספר יכול להתפרק לחלקים שווים הגדולים מ-1,
אנו מכנים אותו "מספר פָּרִיק".
אם אנו סקרנים, נוכל לתהות:
כמה מספרים ראשוניים קיימים,
ולאיזה גודל הם יכולים להגיע?
הבה נתחיל על ידי חלוקה של כל המספרים לשני סוגים.
נרשום את כל הראשוניים בצד שמאל
ואת הפריקים בימין.
תחילה נדמה שהם קופצים לסירוגין בין הטורים.
אין תבנית ברורה.
אז הבה נשתמש בשיטה מודרנית
לראות את התמונה הגדולה.
הטריק הוא להשתמש ב"ספירלת אולם" (Ulam)
תחילה נרשום את כל המספרים לפי סדר עולה
בצורת ספירלה.
עכשיו נצבע את כל הראשוניים בכחול.
ולבסוף נעשה "זום החוצה" לראות מיליוני מספרים.
זוהי תבנית הראשוניים
הממשיכה עוד ועוד לנצח.
באופן מדהים, המבנה המלא של תבנית זו
עדיין לא מפוענח עד היום.
אנו בדרך למשהו...
הבה נתקדם בזמן
לשנת 300 לפני הספירה ביוון העתיקה.
פילוסוף בשם אוקלידס מאלכסנדריה
הבין שאת כל המספרים
אפשר לחלק לשני הסוגים הללו.
תחילה הוא הבין שכל מספר
אפשר לחלק שוב ושוב
עד שמגיעים לקבוצה של מספרים אותם לא ניתן לחלק יותר
ובהגדרה, המספרים הקטנים הללו
הם תמיד מספרים ראשוניים.
אם כן, אנו יודעים שכל המספרים
איכשהו בנויים מראשוניים קטנים מהם.
להבהרה, דמיינו עולם מלא מספרים
(התעלמו לרגע מהראשוניים).
כעת קחו מספר פָּרִיק כלשהו ופרקו אותו לגורמיו
ותמיד תישארו עם מספרים ראשוניים.
אוקלידס ידע שכל מספר
אפשר לבטא בעזרת מספרים ראשוניים קטנים יותר.
נחשוב עליהם כעל אבני בניין.
לא משנה באיזה מספר תבחרו
תמיד אפשר יהיה לבנותו בעזרת ראשוניים קטנים ממנו.
זהו היסוד של התגלית
הידועה בשם "המשפט היסודי של האריתמטיקה".
לדוגמא בחרו במספר כלשהו, נניח 30,
ומצאו את כל המספרים הראשוניים
אליו הוא מתפרק.
תהליך זה ידוע בשם "פירוק לגורמים".
נקבל את הגורמים הראשוניים,
ובמקרה שלנו 2, 3 ו-5 הם הגורמים הראשוניים של 30.
אוקלידס הבין שאפשר להכפיל
גורמים ראשוניים אלה מספר מסויים של פעמים
כדי לבנות את המספר המקורי.
במקרה שלנו, פשוט
מכפילים כל גורם פעם אחת כדי לבנות את 30.
2 כפול 3 כפול 5 הוא הפירוק הראשוני של 30.
חישבו על זה כעל מפתח או צירוף מיוחד.
אין שום דרך אחרת לבנות 30
באמצעות קבוצה אחרת של מספרים ראשוניים
אותם נכפיל אחד בשני.
כלומר לכל מספר בעולם יש רק
פירוק לגורמים ראשוניים אחד ויחיד.
למשל, ניתן לחשוב על כל מספר
כעל מנעול יחידני.
המפתח המיוחד למנעול זה
יהיה הפירוק שלו לגורמים ראשוניים.
לאף שני מנעולים לא יהיה אותו מפתח.
לאף שני מספרים אין את אותו פירוק לגורמים ראשוניים.
Պատկերացրեք ապրում ենք նախապատմական ժամանակաշրջանում:
Հիմա մտածեք
Ինչպե՞ս էինք ժամանակին հետևում առանց ժամացույցի:
Բոլոր ժամացույցները հիմնված են կրկնվող օրինաչափության վրա, որը բաժանում է
ժամանակը երկու հավասար սեգմենտների:
Այս օրինաչափությունները գտնելու համար
նայում ենք դրախտի կողմը:
Արևը, որը ծագում և մայր է մտնում ամեն օր
ամենապարզն օրինաչափությունն է:
Չնայած, ավելի երկար ժամանակը հետևելու համար,
մենք ավելի երկար ցիկլեր փոձեցինք գտնել:
Սրա համար, նայեցինք լուսնին,
որը աստիճանաբար մեծանում էր
և ապա կորչում:
Երբ հաշվում ենք լիալուսինների
միջև եղած ժամանակը
ստանում ենք 29:
Սա է ամիսների հիմքը:
Չնայած, եթե փորձենք 29-ը հավասար մասերի բաժանել
մենք խնդրի առաջ կկանգնենք. դա հնարավոր չէ:
Միակ ձև այն հավասար մասերի բաժանելու,
այն պետք է 29 միավորների բաժանել:
29-ը պարզ թիվ:
Այն չի կարող "մասնատվել":
Եթե թիվը կարող է բաժանվել
մեկից մեծ թվերի
այն կոչվում է բաղադրյալ:
Եթե հետաքրքրասեր ենք, կցանկանք իմանալ
Ընդամենը քանի՞ պարզ թիվ կա,
և ինչքա՞ն են մեծանում:
Դասակարգենք բոլոր թվերը երկու կատեգորիայի:
Պարզ թվերը գրում ենք ձախի վրա,
իսկ բաղադրյալները՝ աջի:
Սկզբից դրանք հետ ու առաջ են թռնում:
Ոչ մի բացահայտ օրինաչափություն չկա:
Օգտագործենք ժամանակակից մեթոդ
ամբողջական պատկերը տեսնելու համար:
Պետք է օգտագործել "Ուլամի պարույրը":
Սկզբից մեծացող
պարույրի մեջ հերթով թվում ենք
բոլոր թվերը:
Ապա, բոլոր պարզ թվերը ներկում ենք կապույտ:
Վերջում հեռվացնում, որ տեսնենք միլիոնավոր թվերը:
Սա պարզ թվերի օրինաչափությունն է, որն
անվերջ շարունակվում է:
Այս կառուցվածքի օրինաչափությունը մինչ օրս
էլ շարունակում է մնած չլուծված:
Immaginate di vivere nella preistoria.
Ora, considerate quanto segue:
come segnamo il tempo, senza un orologio?
Tutti gli orologi sono basati su un qualche schema ripetitivo
che divide il totale del tempo in segmenti uguali.
Per trovare questi schemi ripetitivi,
guardiamo il cielo.
Il sole che sorge e tramonta ogni giorno
è il più ovvio; tuttavia per tenere il conto di
periodi più lunghi cerchiamo cicli più lunghi.
Perciò, ci rivolgiamo alla luna che
sembra crescere e decrescere gradualmente in uno spazio di molti giorni.
Quando contiamo i giorni tra
due lune piene, raggiungiamo il numero di 29.
Questa è l'origine del mese.
Tuttavia, se proviamo a dividere 29 in parti uguali,
riscontriamo un problema: è impossibile.
L'unico modo per dividere 29 in parti uguali
è ri-spezzettarlo in singole unità.
29 è un numero primo.
Immaginate che sia indistruttibile.
Se un numero più essere spezzato in parti uguali
maggiori di 1, lo chiamiamo numero composto.
Se siamo curiosi, possiamo chiederci:
quanti numeri primi ci sono e
quanto grandi possono diventare?
Iniziamo dividendo i numeri in due categorie.
Incolonniamo i numeri primi a sinistra e
i composti a destra.
All'inizio, sembrano andare avanti e indietro.
Non c'è uno schema logico.
Usiamo una tecnica moderna
per vedere il quadro d'insieme.
Il trucco è usare la spirale di Ulam.
Primo, scriviamo tutti i numeri possibili in ordine
crescente in una spirale dall'interno verso l'esterno.
Poi, coloriamo di blu i numeri primi.
Infine, zummiamo all'indietro per vedere milioni di numeri.
E' lo schema di numeri primi che
continua all'infinito.
L'intera struttura dello schema
non è stata ancora risolta.
Siamo sulle tracce di qualcosa.
Saltiamo in avanti, attorno al
300 a.C. in antica Grecia.
Un filosofo noto come Euclide
di Alessandria capì che tutti i numeri
potevano essere divisi in queste due categorie separate.
Iniziò accorgendosi che qualsiasi numero
poteva essere diviso e suddiviso fino
a un gruppo di numeri uguali più piccoli.
E per definizione, questi numeri più piccoli di tutti
sono sempre numeri primi.
Seppe così che tutti i numeri sono
in qualche modo formati da numeri primi più piccoli.
Immaginate un universo di
tutti i numeri e togliete i numeri primi.
Prendete un qualsiasi numero composto e suddividetelo:
rimarrete sempre con dei numeri primi.
Euclide sapeva che qualsiasi numero
poteva essere espresso usando un gruppo di numeri primi più piccoli.
Pensate a dei mattoni da costruzione.
Non importa che numero scegliete
può sempre essere costruito con una quantità di numeri primi più piccoli.
Questo sta alla radice della scoperta
nota come il Teorema Fondamentale dell'Aritmetica.
Così: prendete qualsiasi numero, tipo 30,
e trovate tutti i numeri primi
uguali in cui può dividersi.
E' chiamata riduzione in fattori.
Questo ci dà i fattori primi,
in questo caso 2, 3 e 5: sono i numeri primi fattori di 30.
Euclide si accorse che si possono moltiplicare
questi fattori primi un numero preciso di volte
per costruire il numero originario.
In questo caso, moltiplicate semplicemente ciascun
fattore una volta per fare 30.
2 volte 3 volte 5 è la riduzione in fattori primi di 30.
Pensatela come una conbinazione speciale.
Non c'è altro modo di fare 30
con un altro gruppo di
numeri primi moltiplicati tra loro.
Ogni numero possibile ha una
e una sola riduzione in fattori primi.
Una buona analogia è immaginare ciascun
numero come un lucchetto diverso.
L'unica combinazione per il lucchetto
è la sua riduzione in fattori primi.
Non ci sono due lucchetti con la stessa combinazione.
Né due numeri con la stessa riduzione in fattori primi.
紀元前に来たと想像しましょう。
さて、以下のこと考えてください。
時計なしでどのように時間をはかればいいでしょうか？
すべての時計は、時間を均等に分けた
パターンの反復によって作られています。
この反復のパターンを見つけるため、
空を見上げてみます。
太陽が毎日 出没するパターンは
とても明白です。
しかし、より長期の時間を計るには
より長い周期が必要です。
そこで月を観察します。
日ごとに少しずつ、大きくなっては
小さくなります。
満月から次の満月までの
日にちを数えると、
２９という数字にたどりつきます。
これが「月」の起源です。
しかし、２９を等分に分けようとすると
問題が発生します。これは不可能です。
２９を等分に分ける唯一の方法は、
１づつに分けることです。
つまり、２９は「素数」なのです。
これは、等分に分けられないものです。
１より大きい数で
複数に分割できる数字は、
「合成数」と呼ばれます。
ここで興味深い疑問が生じます。
素数はいくつあるのでしょう？
どのくらい大きな数字になるのでしょう？
ここで、まず数字を二つに分類します。
素数を左に、
合成数を右に置きます。
始めのうちは、行ったり来たりして、
特にパターンはないようです。
では、近代の技術を使用して
より大きい外観を見てみましょう。
ウラムの螺旋と呼ばれるものを描きます。
まず、すべての数字を螺旋状に
書いてきます。
そして、すべての素数を青で示します。
最後に、何百万もの数字を見てみましょう。
これが、素数のパターンで
永遠に続きます。
驚くことに、このパターンの全体像は
未だに解かれていません。
けれど、何かの手がかりはあります。
つぎに、紀元前３００年の
古代ギリシャに行ってみましょう。
アレキサンドリアの哲学者 ユークリッドは、
すべての数字が
２つのカテゴリーに分類されることを示しました。
彼は、いかなる数字でも
最小限の等分の数字のグループに至るまで、
繰り返し、分割できることに気がつきました。
そして、これらの最小限の数字が
「素数」です。
つまり、すべての数字は
それより小さい素数からつくられているのです。
簡素に考えるために、素数を除いたすべての数字を考えます。
任意の合成数を選んでみます。
これを分けつづけると
かならず、「素数」に行きつきます。
ユークリッドは、すべての数字は
それより小さな素数を使って表わせることを見つけました。
これを、基本ブロックと考えます。
どの数字を選んでも
それより小さい素数の和で作られています。
これが、この発見の基礎で
算術の基礎定理と呼ばれています。
任意の数字、例えば、３０を等分できる素数をすべて見つけてみましょう。
これを因数分解と言います。
これで「素因数」を得られます。
この場合は、２、３、５が３０の「素因数」です。
ユークリッドは、素因数を特定の回数任意の数字を
かけ合わせることで
元の数字が得られることを見つけました。
この場合、これらの素因数を一度ずつかければ、３０が得られます。
２x３x５ が３０の因数分解です。
これは、特定の鍵の組み合わせのようなものです。
これ以外に、他の素数を使って
３０を構築する方法は
ありません。
ですから、それぞれの数字に
ただ一つの因数分解が存在します。
各数字は、それぞれ違う鍵のようなものなのです。
それぞれの特定の鍵に
特定のコードである因数分解が存在します。
同一のコードを持つ鍵はありません。
いかなる数字でも、同じ因数分解を持つことはありません。
წარმოიდგინეთ, რომ პრეისტორიულ დროში ვცხოვრობთ.
ახლა კი დაფიქრდით,
როგორ გავიგებდით რა დროა საათის გარეშე?
ყველა საათი ეფუძნება რაღაც განმეორებად კანონზომიერებას, რომელიც
დროის დინებას ტოლ ნაწილებად ყოფს.
ამ განმეორებადი კანონზომიერების საპოვნელად
ცაში ვიყურებით.
მზის ამოსვლა ყოველდღიურად ყველაზე აშკარა კანონზომიერებაა.
დროის უფრო გრძელი პერიოდების აღსაქმელად, უფრო გრძელ ციკლებს ვაკვირდებოდით.
ამისთვის ვუყურებდით მთვარეს.
რომელიც იზრდება და მცირდება დღეების განმავლობაში.
სავსე მთვარეებს შორის დღეების რაოდენობის დათვლისას,
მივდივართ რიცხვ 29-სთან.
ესაა თვის საწყისი.
თუმცა, თუ 29-ის ტოლ ნაწილებად დაყოფას ვცდით,
პრობლემას წავაწყდებით: ამის გაკეთება შეუძლებელია.
ერთადერთი გზა, რომ 29 ტოლ ნაწილებად დავყოთ,
არის მისი 29 ერთეულად დაყოფის გზა.
29 მარტივი რიცხვია.
დავარქვათ მას 'დაუშლელი'.
თუ რიცხვი შეიძლება დავყოთ როლ ნაწილებად,
რომლებიც ერთზე მეტია, მაშინ ის შედგენილი რიცხვია.
თუ ცნობისმოყვარეები ვართ, შეიძლება დავინტერესდეთ,
რამდენი მარტივი რიცხვი არსებობს და რამდენად დიდი შეიძლება იყოს მარტივი რიცხვი.
მოდით, რიცხვები დავყოთ ორ კატეგორიად.
მარცხნივ მარტივი რიცხვები ჩამოვწეროთ,
მარჯვნივ კი შედგენილები.
თავიდან მოგვეჩვენება, რომ კანონზომიერება არ არსებობს.
მოდით, თანამედროვე ტექნიკა გამოვიყენოთ, რათა
დიდი სურათი დავინახოთ.
ამისთვის "ულამის სპირალი" გამოვიყენოთ.
თავიდან ყველა შესაძლო რიცხვს ვწერთ მიმდევრობით
ზრდადი სპირალის სახით.
შემდეგ ცისფრად ვაფერადებთ მარტივ რიცხვებს.
ბოლოს ვაშორებთ მხედველობით ველს, რომ მილიონი ციფრი დავინახოთ.
ესა მარტივი რიცხვების კანონზომიერება,
რომელიც ასე გრძელდება უსასრულოდ.
ამ კანონზომიერების მთლიანი სტრუქტურა ჯერაც ამოუხსნელია.
რაღაც მნიშვნელოვანის აღმოჩენის გზაზე ვართ.
მოდით, გადავიდეთ ძვ. წ. 300 წელში, ძველ საბერძნეთში.
ფილოსოფოს ევკლიდე ალექსანდრიელს ესმოდა, რომ
ყველა ციფრი შეიძლება დაიყოს ამ ორ კატეგორიად.
მან დაიწყო იმის გააზრებით, რომ ნებისმიერი რიცხვი
შეიძლება დაიყოს, სანამ უმცირეს ტოლ რიცხვებამდე არ დავა.
განმარტების მიხედვით უმცირესი რიცხვები მარტივი რიცხვებია.
ანუ მან იცოდა, რომ რიცხვები უფრო მცირე მარტივი რიცხვებისგან შედგებოდა.
წარმოიდგინეთ ყველა რიცხვისგან შემდგარი სამყარო და
მარტივ რიცხვებს ყურადღება არ მიაქციოთ.
ახლა აირჩიეთ ნებისმიერი შედგენილი რიცხვი და
დაშალეთ - ყოველთვის მარტივ რიცხვებს მიიღებთ.
ანუ ევკლიდემ იცოდა, რომ ყველა რიცხვი შეიძლება
გამოისახოს უფრო მცირე მარტივი რიცხვების ჯგუფით.
ისინი აგურებად წარმოვიდგინოთ.
არ აქვს მნიშვნელობა, რომელ რიცხვს აირჩევთ,
ის ყოველთვის შეიძლება აშენდეს უფრო მცირე მარტივი რიცხვების ჯამით.
ეს არის მისი აღმოჩენის მთავარი იდეა, რომელსაც ჰქვია
"არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემა":
აიღეთ ნებისმიერი რიცხვი, მაგალითად 30,
და იპოვეთ ყველა მარტივი რიცხვი,
რომლებადაც ის ტოლად დაიშლება.
ამას ჩვენ მარტივ მამრავლებად დაშლას ვუწოდებთ.
მარტივ მამრავლებს გვაძლევს.
ამ შემთხვევაში ორი, სამი და ხუთი 30-ის მარტივი მამრავლებია.
ევკლიდე ხვდებოდა, რომ შემდეგ ამ მარტივი რიცხვების
კონკრეტულ რიცხვზე გამრავლებით, საწყისი რიცხვი მიიღებოდა.
ამ შემთხვევაში, თითოეული მამრავლი
შეგვიძლია ერთხელ გავამრავლოთ 30-ის მისაღებად.
ორჯერ სამჯერ ხუთი 30-ის მარტივ მამრავლებად დაშლაა.
წარმოიდგინეთ ეს, როგორც განსაკუთრებული კომბინაცია.
30-ის მიღების სხვა გზა არ არსებობს -
სხვა მარტივი მამრავლების ჯგუფის გადამრავლებით, 30-ს ვერ მივიღებთ.
ანუ ნებისმიერი რიცხვი იშლება კონკრეტულ მარტივ მამრავლებად.
კარგი ანალოგიაა თითოეული რიცხვის განსხვავებულ საკეტად წარმოდგენა.
თითოეულის უნიკალური გასაღები იქნება
მისი მარტივ მამრავლებად დაშლა.
არცერთი ორი საკეტი არ იზიარებს საერთო გასაღებს.
არცერთი ორი რიცხვი არ იზიარებს მარტივ მამრავლებს.
우리가 선사 시대에 살아 있다고 상상해 봅시다
다음 상황을 고려해 봅시다
어떻게 시계 없이 시간을 추척 할수 있을까요?
모든 시계는 시간의 흐름을 동등한 세그먼트로 나누는
일부 반복적인 패턴에 기반을 두고 있습니다
이런 반복적인 패턴을 찾기 위해
우린 하늘 방향을 바라봅니다
매일 해가 뜨고 지는것은
가장 명백한 패턴입니다
하지만 더 오랜 시간을 기록하기 위해
우리는 좀 더 긴 주기를 기대합니다
이를 위해 우리는 수년간 서서히
커지고 작아지는
달을 바라 봅니다
우리가 보름달 사이의
날 수를 계산 할때
29를 얻게 됩니다
이것이 한달의 기원 입니다
그러나 29를 같은 크기로 나누려고 하면
우리는 문제에 즉면하게 됩니다: 불가능합니다
29를 동일하게 나누는 유일한 방법은
[29]을 단일 단위로 쪼개는 것입니다
29는 소수입니다
이건 깨질수 없는거라고 생각 하십시오
만약 숫자를 1보다 큰 동일한 수로
분해 할수 있다면
우리는 그것을 '합성수' 라고 부른다
만약 우리가 궁금해 한다면,
소수가 몇개 있는지 궁금해 할수 있을겁니다
그리고 얼마 까지 커 질수 있는지?
두 가지의 법주로 모든 숫자를 나뉘어 봅시다
소수를 왼쪽 편에
합성수는 오른쪽에 나열합시다
처음에는 앞뒤로 춤을 추는 것 같을 겁니다
명맥한 패턴이 안 보일 겁니다
그래서 큰 그림을 보기 위해
현대적인 기술을 사용해 봅시다
이 방법은 "Ulam spiral"를 사용하는 겁니다
우선 모든 가능한 숫자를 커져가는 나선형
순서대로 나열 합니다
그리고 나서, 모든 소수를 파란 색을 색칠 합니다
마지막으로 수많은 수를 보기 위해 축소를 해봅니다
이것이 계속 영원히 가는
소수의 패턴입니다
놀랍게도 이 패턴의 구조는 여전히
오늘날에도 풀리지 않았습니다
우리는 뭔가 이뤄 낼 것입니다
그래서 약 300BC고대 그리스로
돌아 가 봅시다
철학자로 알려진 유클리드 알렉산드리아는
모든 숫자는 이 두가지의 뚜렷한 범주로
나눌수 있다는 걸 이해했습다.
그는 어떤 숫자든 가장 작은 동일한 수가 될때까지
반복해서 나눌수 있다고
인식하기 시작했습니다
그리고 정의를 하자면, 제일 작은 수는
항상 소수입니다
그래서 그는 모든 수는 어찌됐든 제일 작은 소수에서
만들어졌다는 것을 알게 되었습니다
명확하게 하기 위해, 세상의 모든 수를 상상해 보세요
그리고 소수들을 무시해 보세요
이제 아무 합성수를 골라 보세요
그리고 그 수를 쪼개어 보세요
그러면 항상 소수가 남게 됩니다
그래서 유클리드는 모든 수는 작은 소수들의 그룹을
이용하여 표현될수 있다는 것을 알았습니다
빌딩블럭으로 생각해봅시다
어떤 숫자를 고르더라도
항상 더 작은 소수를 추가하여 만들수 있습니다
이것이 발견의 근원입니다.
산술의 기본 정리로 알려졌지요
다음과 같습니다:
아무 숫자를 고르세요 - 30 이라 합시다
그리고 이것의 소수를 다 찾아 보세요
똑같이 나누어질 수 있어요
이것을 소인수분해라고 하지요
이것들이 소인수 입니다
이경우, 2,3,5 가 30의 소인수 입니다
유클리드는 그다음엔 소인수들를
특정한 횟수로 곱해
원래의 숫자로 만들수 있다고 인식했습니다
이 경우에는, 단순하게
각 소수들 한번만 곱해서 30을 만들어 봅시다
(2 X 3 X 5) 가 30의 소인수 입니다
이것을 특별한 키 나 조합이라 생각해 보세요
30을 만드는 다른 방법은 없습니다
다른 소인수들 사용하거나
곱하기를 해도
그래서 각 수는 하나, 오직 하나의
소인수를 가지고 있습니다
좋은 비유는 각 수를 서로 다른
자물쇠라고 생각해 보세요
각 자물쇠의 고유의 키가
각 수의 소인수 입니다
어떤한 두개의 자물쇠도 키를 공유하지 않습니다
어떤한 두 수도 소인수를 공유하지 않습니다
ငါတုိ႔ဟာကမာၻဦးအစကုိေရာက္ေနတယ္လုိ႔စိတ္ကူးၾကည့္လုိက္ပါ
အခု ေအာက္ပါ အခ်က္ေတြကုိ စဥ္းစားၾကည့္ရေအာင္
နာရီမပါဘဲနဲ႔ အခ်ိန္ေတြကုိ ဘယ္လုိ မွတ္သားခဲ့ၾကသလဲ
နာရီေတြအားလံုးဟာ အခ်ိဳ႕ေသာ ထပ္တလဲလဲျဖစ္စဥ္ေတြကုိ အေျခခံပါတယ္
အဲဒီျဖစ္စဥ္ေတြဟာ အခ်ိန္စီးဆင္းမႈေတြကုိ တူညီတဲ့ အပုိင္းအျခားေတြအျဖစ္ စိတ္ျဖာေစပါတယ္
အဲဒီ ထပ္တလဲလဲျဖစ္စဥ္ေတြကုိ ရွာေဖြဖုိ႔အတြက္
ကာင္းကင္ဘံုနဲ႔ ရင္ဆုိင္ရပါမယ္
ေနဟာ တစ္ေန႔တစ္ခါ ထြက္ၿပီး ျပန္၀င္တယ္
ဆုိတဲ့အျဖစ္ဟာ ထင္ရွားပါတယ္ (ျဖစ္စဥ္)
ဒါေပမယ့္ ရွည္ၾကာတဲ့ အခ်ိန္ေတြကုိ ေစာင့္ၾကည့္သိရွိဖုိ႔ဟာ
ငါတုိ႔ဟာ ပုိရွည္တဲ့ ပံုမွန္ျဖစ္ပ်က္မႈ အစီအစဥ္ေတြကုိ ၾကည့္ရပါတယ္
အဲဒီအတြက္ ငါတုိ႔ လ ကုိ ၾကည့္ခဲ့ၾကတယ္
လဟာ တျဖည္းျဖည္းၾကီးလာတယ္လုိ႔ ထင္ရတယ္
ၿပီးေတာ့ ရက္ေတြၾကာလာတာနဲ႔ အမွ် ျပန္ေသးသြားတယ္လုိ႔ထင္ရတယ္
လျပည့္ေန႔ တစ္ခုနဲ႔ တစ္ခုၾကားက ရက္ေတြကုိ ေရတြက္ၾကည့္လုိက္တဲ့အခါ
နံပါတ္ ၂၉ ကုိ ေရာက္တာေပါ့
အဲဒါဟာ လတစ္လရဲ႕ မူလအစပဲ
ဒါေပမယ့္ ၂၉ကုိ တူညီတဲ့ အပုိင္း၂ ပုိင္းခဲြဖုိ႔ ႀကိဳးစားမယ္ဆုိရင္
ဒုကၡမ်ားသြားမွာေပါ့။ အဲဒါ မျဖစ္ႏုိင္ပါဘူး။
၂၉ ကုိ တူညီတဲ့ အပုိင္း ၂ပုိင္းခဲြဖုိ႔ တစ္ခုတည္းေသာ နည္းလမ္းကေတာ့
သူ႔ကုိ ၂၉ ခုျဖစ္ေအာင္ ခဲြလုိက္ဖုိ႔ပဲ
၂၉ ဟာ သုဒၶကိန္းျဖစ္တယ္
သူ႔ကုိ ခဲြလုိ႔ မရဘူးလုိ႔ စဥ္းစားလုိက္ပါ
တကယ္လုိ႔ နံပါတ္တစ္ခုကုိ
၁ ထက္ႀကီးတဲ့ တူညီတဲ့ အပုိင္းေလးေတြ အျဖစ္ ခဲြလုိ႔ရမယ္ဆုိရင္
အဲဒါကုိ ေပါင္းစပ္ကိန္း လုိ႔ေခၚတယ္
အခု ငါတုိ႔ ေလ့လာမယ္ဆုိရင္
သုဒၶကိန္း ဘယ္ႏွစ္လံုးရွိမလဲ?
သူတုိ႔ ဘယ္ေလာက္ႀကီးႀကီးရွိႏုိင္မလဲ?
နံပါတ္အားလံုးကုိ ၂မ်ိဳးခဲြၾကည့္ၾကရေအာင္
သုဒၶကိန္းေတြကုိ ဘယ္ဘက္မွာထားမယ္
ေပါင္းစပ္ကိန္းေတြကုိ ညာဘက္မွာထားမယ္
အစေတာ့ ဟုိဘက္ ဒီဘက္ ခဲြရခက္ေနလိမ့္မယ္
ဒီမွာ ထင္ရွားတဲ့ ျဖစ္စဥ္မရွိဘူး
ဒါေၾကာင့္ ေခတ္သစ္နည္းပညာသံုးၿပီး
ပံုေဖာ္ၾကည့္ရေအာင္
Ulam spiral ကုိ သံုးၾကည့္မယ္
အရင္ဆံုး ျဖစ္ႏုိင္တဲ့ ဂဏန္းေတြအားလံုးကုိ အစဥ္အတုိင္း
ခရုပတ္ထဲမွာ ထားမယ္
သုဒၶကိန္းေတြကုိ အျပာေရာင္ျခယ္လုိက္မယ္
ေနာက္ဆံုးမွာ ခ်ဲ႕ၾကည့္လုိက္ရင္ သန္းေပါင္းမ်ားစြာေသာဂဏန္းေတြကုိ ျမင္ရမယ္
အဲဒါ သုဒၶကိန္းျဖစ္စဥ္ပဲေပါ့
အဲဒီျဖစ္စဥ္ဟာ အျမဲတမ္းျဖစ္ေနတာပါ
မယံုႏုိင္ေလာက္ေအာင္ပဲ ဒီျဖစ္စဥ္ တည္ေဆာက္ပံု တစ္ခုလံုးကုိ
ဒီေန႔အထိ မေျဖရွင္းႏုိင္ေသးဘူး
La oss forestille oss, at vi levde for lang, lang tid siden.
La oss prøve å tenke over,
hvordan vi holdt styr på tiden uten klokke.
Alle klokker er basert på et gjentatt mønster,
som deler hele tiden opp i like store deler.
For å finne de gjentatte mønstrene
ser vi på himmelen.
Det er klart, at solen står opp og ned hver dag,
men når vi skal holde styr på lengre tidsrom,
skal vi se etter lengre sykluser.
Vi kan se på månen,
det ser ut som den vokser og minsker over mange dager.
Når vi teller antallet av dager mellom fullmåne,
finner vi ut av at, det er 29.
Det er sånn, man fant opp en måned.
Når vi skal prøve å dele 29 opp i like store deler,
finner vi ut av, at det er umulig.
Den eneste måneden, vi kan dele opp 29 i like store deler
er ved å splitte det opp i grupper av 1.
29 er nemlig et primtall.
Vi kan tenke på det som udelelig.
Hvis et tal kan bli delt opp i like store deler, som er større enn 1,
kaller vi det et sammensatt tall.
Hvis vi er nysgjerrige, kommer vi kanskje til å tenke på,
hvor mange primtall, det er,
og hvor store de blir.
La oss starte med å dele alle tall inn i 2 kategorier.
Vi setter primtallene til venstre
og de sammensatte tallene til høyre.
Til å starte med ser de ut til å være litt her og der.
Det ser ikke ut som det er et mønster.
La oss bruke en moderne teknikk
til å se det fulle bildet.
Teknikken er å bruke Ullam-spiralen.
Først stiller vi alle tall i rekkefølge
i en voksende spiral.
Så farger vi alle primtallene blå.
Til slutt forminsker vi bildet, så vi kan se millioner av tall.
Det her er primtallenes mønster,
som fortsetter og fortsetter for evig.
Utrolig nok er hele det her mønsterets struktur
fremdeles ikke løst i dag.
Vi har funnet noe.
La oss spole tiden frem
til omkring 300 år før vår tidsregning i gamle Grekenland.
En filosof kjent som Euclid fra Alexandria
forstod, at alle tall
kunne bli delt opp i de her 2 kategoriene.
Han begynte ved å finne ut av,
at alle tall kan bli dividert igjen og igjen,
inntil man når en gruppe av de minste, like store tall.
Per definisjon er de her små tallene
alltid primtall.
Han viste altså,
at alle tall på en måte er bygget ut av mindre primtall.
For å gjøre det klart kan vi forestille oss et univers
med alle tall og ignorere primtallene.
Vi kan velge et hvilket som helst sammensatt tall
og dividere det ned, og vi vil alltid stå tilbake med et primtall.
Euclid visste altså, at ethvert tall kan uttrykkes
ved å bruke en gruppe av mindre primtall.
Vi kan tenke på de her som byggeklosser.
Uansett hvilket tall vi velger,
kan vi alltid bygge det med noen mindre primtall.
Det er roten til oppdagelsen,
vi kaller den fundamentale teori om aritmetikk.
Vi kan velge ethvert tall. La oss for eksempel tal 30.
Nå kan vi finne alle de primtallene,
som går opp i det uten rest.
Det heter faktorisering.
Det vil gi oss primtallene.
I det her tilfelle er 2, 3 og 5 primfaktorene til 30.
Euclid fant ut av, at man kan gange
primfaktorene et vist antall ganger
og på den måten bygge et opprinnelige tall.
I det her tilfelle ganger vi bare
hver faktor med hverandre 1 gang for å bygge tallet 30.
2 ganger 3 ganger 5 er prim faktoriseringen for 30.
Vi kan tenke på det som en særlig nøkkel kombinasjon.
Det er ingen annen måte å bygge tallet 30 på
ved å bruke andre tall
ganget sammen.
Ethvert tall har altså 1,
og kun 1, prim faktorisering.
Man kan altså forestille seg,
at alle tall har en forskjellig lås.
Den unike nøkkelen til låsen
er den primfaktorisering.
Det er ikke 2 låser, som har den samme nøkkelen.
Det er ikke 2 tall, som har samme primfaktorisering.
Wyobraźcie sobie, że żyjemy w czasach prehistorycznych. Zastanówcie się:
jak, bez zegara, mierzymy czas? Wszystkie zegary działają
w oparciu o powtarzalny wzór, dzielący czas na równe segmenty.
Aby znaleźć te powtarzalne wzory, patrzymy w niebo.
Najbardziej oczywiste są wschody i zachody Słońca.
Dla dłuższych okresów szukamy dłuższych cykli.
Patrzymy więc na Księżyc,
który wydaje się stopniowo rosnąć i maleć z nocy na noc.
Licząc dni między pełniami, dochodzimy do 29.
Stąd się wziął miesiąc.
Ale próbując podzielić 29 na równe części większe od 1,
napotkamy problem. To wprost niemożliwe!
Nie podzielimy 29, chyba że częściami nie będą pełne jednostki.
29 to liczba pierwsza. Inaczej mówiąc, niepodzielna.
Liczbę, którą można podzielić na równe części większe od 1,
nazywamy liczbą złożoną. Może was ciekawi,
ile jest liczb pierwszych i jak duże osiągają wartości.
Najpierw podzielmy liczby na dwie kategorie.
Liczby pierwsze wypiszemy po lewej stronie, a złożone po prawej.
Z początku wydają się tańczyć tam i z powrotem.
Nie wyłania się wyraźny wzór. Skorzystajmy z nowoczesnej techniki,
by spojrzeć z perspektywy. Pomoże nam spirala Ulama.
Najpierw wypiszmy wszystkie możliwe liczby w kolejności rosnącej, spiralnie.
Potem liczby pierwsze zaznaczmy na niebiesko.
I wreszcie spójrzmy z oddali na miliony liczb.
To jest układ liczb pierwszych, ciągnący się w nieskończoność.
Co niesłychane, jego struktura do dziś pozostaje nieodgadniona.
Jest co badać!
Cofnijmy się do roku 300 p.n.e. w starożytnej Grecji.
Filozof Euklides z Aleksandrii rozumiał, że każdą liczbę
można zakwalifikować do jednej z tych dwu kategorii.
Uświadomił też sobie, że każdą liczbę można dzielić
aż do osiągnięcia grupy najmniejszych równych czynników.
A ten najmniejsze czynniki to, z definicji, zawsze liczby pierwsze.
Euklides wiedział, że wszystkie liczby składają się
z mniejszych liczb pierwszych.
Wyobraźcie sobie wszechświat wszystkich liczb
i zignorujcie liczby pierwsze.
A teraz wybierzcie dowolną liczbę złożoną
i dzielcie ją do oporu…
a zawsze na końcu zostaną liczby pierwsze.
Euklides wiedział, że każdą liczbę naturalną
można wyrazić jako grupę mniejszych liczb pierwszych. Cegiełek.
Niezależnie, którą liczbę wybierzecie,
zawsze można ją zbudować z mniejszych liczb pierwszych.
To jest jego odkrycie, znane jako podstawowe twierdzenie arytmetyki.
Weźcie dowolną liczbę, np. 30, i znajdźcie wszystkie liczby pierwsze,
przez które dzieli się bez reszty. To rozkład na czynniki pierwsze.
Uzyskamy czynniki pierwsze.
W tym przypadku liczby 30 te czynniki to 2, 3 i 5.
Euklides zdał sobie sprawę, że, mnożąc te czynniki pierwsze
określoną liczbę razy, uzyskamy daną liczbę.
W tym przypadku, aby uzyskać 30, każdy czynnik pomnożycie raz.
2 razy 3 razy 5 to rozkład 30 na czynniki pierwsze.
Uznajcie to za klucz, kombinację.
Nie da się zbudować 30 z innych grup liczb pierwszych mnożonych przez siebie.
Każda liczba ma jeden i tylko jeden rozkład na czynniki pierwsze.
Można sobie wyobrazić, że każda liczba to inny zamek.
A jedyny klucz do każdego zamka jest rozkładem na czynniki pierwsze.
Żadne dwa zamki nie mają jednego klucza;
żadne dwie liczby nie mają takiego samego rozkładu.
Imaginem que vivemos na pré-história.
Agora pensem no seguinte:
Como anotaríamos a passagem do tempo sem um relógio?
Todos os relógios se baseiam num padrão repetitivo
que divide o tempo em partes iguais.
Para encontrar esses padrões repetitivos
olhamos para os céus.
O nascer e o pôr do Sol em cada dia é o mais óbvio.
Contudo, para anotar a passagem de períodos mais longos de tempo
temos de procurar ciclos mais longos.
Para isso observamos a Lua,
que parece crescer e diminuir ao longo de vários dias.
Quando contamos o número de dias entre duas luas cheias
notamos que são 29.
Foi assim que se "inventou" o mês.
No entanto, se tentarmos dividir 29 em partes iguais
temos um problema: não é possível.
A única maneira de dividir 29 em partes iguais
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
29 é um número primo.
Pensem nele como sendo inquebrável.
Se um número pode ser dividido em partes iguais maiores que a unidade
chamamos-lhe número composto.
Nesta altura, se formos curiosos poderemos perguntar-nos:
quantos números primos há
e qual é o maior deles?
Comecemos por separar todos os números em duas categorias.
os números primos à esquerda,
e os números compostos à direita.
Ao princípio parecem dançar para cá e para lá.
Não se nota um padrão óbvio, aqui.
Então vamos usar uma técnica moderna
para vermos o quadro geral.
O truque é usar a espiral Ulam.
Primeiro ordenamos todos os números possíveis
numa espiral crescente.
Depois pintamos os números primos de azul.
Finalmente, olhámos de longe para vermos milhões de números.
Este é o padrão dos números primos,
que continua ininterruptamente.
Inacreditàvelmente, ainda não se conseguiu,
até hoje, conhecer toda a estrutura deste padrão.
Estamos a chegar a alguma coisa.
Então saltemos até cerca do
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
Um filósofo conhecido como Euclides de Alexandria
percebeu que todos os números
podiam ser separados nestas duas categorias.
Começou por tomar consciência de que qualquer número
pode ser dividido sucessivamente
até se chegar a um grupo de pequenos números.
E, por definição, esses pequenos números
são sempre números primos.
Ou seja: ele descobriu que todos os números são, de algum modo,
formados a partir de pequenos úmeros primos
Vamos esclarecer. Imagine um universo de todos os números
E ignore os números primos.
Agora escolha um número composto e decomponha-o
e vai acabar por ficar com números primos.
Portanto, Euclides sabia que qualquer número
podia ser expresso usando um grupo de pequenos números primos.
Pense neles como sendo tijolos.
Seja qual for o número que escolhamos
ele pode, sempre, ser construído com um agrupamento de pequenos números primos
Esta é a raiz da descoberta conhecida como
Teorema Fundamental da Aritmética.
Para continuar, tomemos um número, por exemplo, 30
e encontremos os números primos
que o constituem.
É o que chamamos factorização.
Com isto vamos encontrar os factores primos,
Neste caso 2, 3 e 5 são os factores primos de 30.
Euclides descobriu que podemos multiplicar
estes factores primos de uma maneira específica
para construir o número original
Neste caso basta
multiplicar uma vez cada um dos factores para obter 30:
2 vezes 3 vezes 5 é a factorização de 30.
Imaginemos que esse produto é uma chave especial, ou uma combinação
Não há outra maneira de refazer 30
usando o produto de qualquer
outro grupo de números primos.
Portanto, qualquer número tem uma
única factorização em números primos.
Uma boa analogia é imaginar que cada número
é um cadeado diferente.
A única chave para este cadeado
será a sua factorização.
Não há dois cadeados com a mesma chave
Não há dois números com a mesma factorização.
Uma boa analogia é imaginar cada número
como um cadeado diferente.
A unica chave para cada cadeado
seria sua fatorização prima
Nenhum cadeado divide uma chave com outro.
E nenhum número divide sua fatorização prima.
Imaginem que vivemos na pré-história.
Agora considerem o seguinte:
Como anotaríamos a passagem do tempo sem um relógio?
Todos os relógios se baseiam em um padrão repetitivo
que divide o tempo em partes iguais.
Para encontrar esses padrões repetitivos
olhamos para os céus.
O nascer e o pôr do Sol em cada dia é o mais óbvio.
Contudo, para anotar a passagem de períodos mais longos de tempo
temos de procurar ciclos mais longos.
Para isso observamos a Lua,
que parece crescer e diminuir gradualmente ao longo de vários dias.
Quando contamos o número de dias entre duas luas cheias
notamos que são 29.
Essa foi a "origem" do mês.
No entanto, se tentarmos dividir 29 em partes iguais
temos um problema: não é possível.
A única maneira de dividir 29 em partes iguais
é "parti-lo" nas suas unidades unitárias.
29 é um número primo.
Pensem nele como sendo inquebrável.
Se um número pode ser dividido em partes iguais maiores que a unidade
chamamos ele de "número composto".
Agora, se formos curiosos, podemos nos perguntar:
quantos números primos existem
e quão grande eles podem ser?
Comecemos por separar todos os números em duas categorias.
os números primos à esquerda,
e os números compostos à direita.
Ao princípio parecem dançar para cá e para lá.
Não se nota um padrão óbvio, aqui.
Então vamos usar uma técnica moderna
para vermos o quadro geral.
O truque é usar a espiral de Ulam.
Primeiro ordenamos todos os números possíveis
numa espiral crescente.
Depois pintamos os números primos de azul.
Finalmente, olhamos de longe para vermos milhões de números.
Este é o padrão dos números primos,
que continua ininterruptamente.
Inacreditavelmente, ainda não se conseguiu,
até hoje, conhecer toda a estrutura deste padrão.
Estamos chegando em algum lugar.
Então saltemos até cerca do
ano 300 A.C., na Grécia Antiga.
Um filósofo conhecido como Euclides de Alexandria
percebeu que todos os números
podiam ser separados nestas duas categorias.
Começou por tomar consciência de que qualquer número
pode ser dividido sucessivamente
até se chegar a um grupo de pequenos números.
E, por definição, esses pequenos números
são sempre números primos.
Ou seja: ele descobriu que todos os números são, de algum modo,
formados a partir de pequenos números primos
Para ser claro, imagine um universo de todos os números
E ignore os números primos.
Agora escolha um número composto e decomponha-o
e vai acabar por ficar com números primos.
Portanto, Euclides sabia que qualquer número
podia ser expresso usando um grupo de pequenos números primos.
Pense neles como sendo tijolos.
Seja qual for o número que escolhamos
ele pode, sempre, ser construído com um agrupamento de pequenos números primos
Esta é a raiz da descoberta conhecida como
Teorema Fundamental da Aritmética.
Para continuar, tomemos qualquer número, por exemplo, 30
e encontremos os números primos
que o constituem.
É o que chamamos "fatorização".
Com isto vamos encontrar os fatores primos.
Neste caso 2, 3 e 5 são os fatores primos de 30.
Euclides descobriu que podemos multiplicar
estes fatores primos, um número específico de vezes
para construir o número original
Neste caso basta
multiplicar uma vez cada um dos fatores para obter 30:
2 vezes 3 vezes 5 é a fatorização de 30.
Imaginemos que esse produto é uma chave especial, ou uma combinação
Não há outra maneira de refazer 30
usando o produto de qualquer
outro grupo de números primos.
Portanto, qualquer número tem uma
única fatorização em números primos.
Uma boa analogia é imaginar que cada número
é como um cadeado diferente.
A única chave para este cadeado
seria sua fatorização prima
Não há dois cadeados com a mesma chave
Não há dois números com a mesma fatorização.
(Legendas por Nicolas de Casteja)
Imaginează-ți că trăim în vremuri preistorice.
Acum consideră urmatoarele:
Cum ținem evidența timpului fără un ceas?
Toate ceasurile sunt bazate pe un tipar repetitiv
care împarte scurgerea timpul în segmente egale.
Pentru a găsi aceste tipare repetitive
ne-am uitat către cer.
Soarele care răsare și apune în fiecare zi
era cea mai evidentă metodă.
Dar pentru a ține evidența unor perioade mai lungi
am căutat cicluri mai lungi.
Pentru asta ne-am uitat la lună,
care se mărește si micșorează treptat pe parcursul mai multor zile.
Când numărăm zilele
dintre două luni pline ajungem la numărul 29.
Asta este originea lunii calendaristice.
Totuși dacă încercăm să împărțim 29 în părți egale
dăm de o problemă: este imposibil.
Singura modalitate de a împărți 29 în părți egale
este să îl impărțim în părți unitare (1).
29 este un număr prim.
Gândește-te la el ca fiind imposibil de spart.
Dacă un număr poate fi spart în bucăți egale
mai mari decat 1, îl numim număr compus.
Acum, dacă suntem curioși ne putem intreba
câte numere prime există
și cât de mari pot fi?
Să începem prin a impărți toate numerele in două categorii:
scriem numerele prime în stânga
și cele compuse în dreapta.
La inceput par să danseze înainte și înapoi.
Nu există un tipar evident.
Așa că folosim o tehnică modernă:
pentru a vedea imaginea de ansamblu
Trebuie să folosim spirala lui Ulam
Pentru început scriem toate numerele posibile in ordine crescătoare
în formă de spirală.
Apoi colorăm toate numerele prime cu albastru
și ne îndepărtăm pentru a vedea milioane de numere.
Acesta este tiparul numerelor prime
care continuă la nesfârșit.
Incredibil, intreaga structură a acestui tipar
este nerezolvată până în ziua de astăzi.
Ceva se întâmplă aici.
Haideți să derulăm înainte
până in anul 300 î.e.n. in Grecia Antică.
Un filosof pe nume Euclid din Alexandria
a ințeles că toate numerele
pot fi impărțite în aceste două categorii separate
A început de la realizarea că orice număr
poate fi descompus,
până când se ajunge la un grup de numere egale minime.
Și prin definiție, aceste numere minime
sunt întotdeauna numere prime.
Deci, a știut că toate numerele
sunt cumva alcătuite din numere prime.
În alte cuvinte, imaginează-ți un univers de numere
și ignoră toate numerele prime.
Acum alege orice număr compus și descompune-l;
o să rămâi întotdeauna cu numere prime
Deci Euclid a știut că fiecare număr
poate fi exprimat folosind un grup de numere prime mai mici.
Imaginează-ți-te ca niște cuburi de construit.
Indiferent de ce număr alegi
poate fi construit întotdeauna din numere prime mai mici
Aceasta este baza descoperirii lui
cunoscută ca și Teoria fundamentală a aritmeticii
După cum urmează: ia orice număr, de exemplu 30,
si găsește toate numerele prime
în care se împarte în mod egal.
Asta se numește factorizare
și ne va da factorii primi.
În cazul nostru 2, 3, și 5 sunt factorii primi al lui 30.
Euclid a înțeles că poți înmulți
acești factori primi de un anumit număr de ori
ca să obții numărul original.
În cazul nostru
înmulțesti fiecare factor o singură dată ca să obții 30.
2 x 3 x 5 este factorizarea primă a lui 30.
Imaginează-ți-o ca o cheie sau combinație specială
Nu există altă modalitate de a-l construi pe 30
folosind o altă grupă de numere prime înmulțite.
Deci, fiecare număr posibil
are o singură factorizare primă.
O analogie bună ar fi să ne imaginăm
fiecare număr ca o incuietoare diferită.
Singura cheie pentru această încuietoare
ar fi factorizarea primă.
Nu există două încuietori care să aibă aceeași cheie.
Nu există două numere care să aibă aceeași factorizare primă.
Представьте, что мы живем в доисторические времена.
Рассмотрим следующее:
Как мы можем следить за временем без часов?
Все часы основаны на каком-либо повторяющемся шаблоне,
который делит время на равные части.
Для нахождения этих шаблонов
мы обращаемся к небесам.
Солнце, восходящее и заходящее каждый день -- это
самое очевидное.
Однако, для того, чтобы отслеживать более продолжительные периоды времени,
мы обращаемся к более длинным циклам.
Для этого рассмотрим луну,
которая, похоже, постепенно растет
и уменьшается в течение многих дней.
Подсчитав количество дней
между полнолуниями,
мы получим число 29.
Это то, откуда взялся месяц.
Если мы попытаемся разделить 29 на равные части,
то столкнемся с проблемой -- это невозможно.
Единственный способ разделить 29 на равные части -- это
снова разбить его на отдельные единицы.
29 -- простое число.
Его можно считать неделимым.
Если число можно разбить
на равные части большие единицы,
то такое число называется составным.
Теперь, если мы любопытные, нам захочется узнать
сколько простых чисел существует,
и насколько они велики?
Начнем с разделения всех чисел на две категории.
Простые запишем слева,
а составные справа.
Сначала, кажется, что они скачут туда-сюда,
и никакой закономерности тут нет.
Вернемся к современным техникам,
чтобы увидеть картину целиком.
Весь фокус в использовании Скатерти Улама.
Сначала все числа записываются
по направлению роста спирали.
Затем простые числа выделяются цветом.
И наконец, уменьшим масштаб, чтобы увидеть 3 миллиона чисел.
Это и есть шаблон распределения простых чисел,
который повторяется и повторяется до бесконечности.
Невероятно, но вся структура этой закономерности
не раскрыта до сих пор.
Но мы уже близки.
Но отмотаем назад
до 300 года до нашей эры. В Древнюю Грецию.
Философ, известный как Эвклид Александрийский,
понял, что все числа
могут быть разделены на эти две категории.
Сначала он понял, что любое число
можно делить снова и снова
до тех пор, пока не доберешься до наименьших равных чисел.
И по определению эти наименьшие числа
всегда являются простыми.
Таким образом он знал, что все числа
тем или иным образом состоят из меньших простых.
Чтобы прояснить это, можно представить множество всех чисел,
отбросив простые.
Затем нужно выбрать составное число
и разбить его.
Всегда будут оставаться только простые числа.
Эвклид знал, что каждое число
может быть выражено через набор меньших простых чисел.
Это как строительные блоки.
Без разницы, какое число выбрано.
Его всегда можно представить суммой меньших простых чисел.
В этом самая суть открытия,
известного как основная теорема арифметики.
Таким образом:
Возьмем любое число, к примеру 30,
и найдем все простые числа,
которые делят его поровну.
Это называется разложением на множители.
В результате получим простые множители.
В нашем случае 2, 3 и 5 -- это простые множители 30-ти.
Эвклид понял, что можно перемножить
эти простые множители определенное число раз,
чтобы получить исходное число.
В нашем случае просто
перемножаем все множители по одному разу.
2 x 3 x 5 = 30
Это особая комбинация.
Нет способа получить 30
с помощью перемножения
другого набора простых чисел.
Таким образом каждое возможное число раскладывается,
причем единственным образом, на простые множители.
Хорошая аналогия -- это представить числа
в виде различных замков.
Уникальным ключом для каждого из них
является их разложение на простые множители.
Никакие два замка не откроются одинаковым ключом.
Нет двух чисел, которые раскладываются на одинаковые простые множители.
Predstavte si, že žijeme v praveku.
A uvedomme si toto:
Ako sa zaznamenával čas bez hodín?
Všetky hodiny sú založené na opakujúcom sa jave,
ktorý delí čas na rovnaké časti.
Aby sme tieto javy našli,
pozeráme sa na nebo.
Východ a západ Slnka si všimneme hneď.
Aby sme však dokázali pracovať s väčšími obdobiami,
potrebujeme väčšie cykly.
Preto sa pozeráme na Mesiac,
ktorý počas niekoľkých dní postupne rastie a scvrkáva sa.
Keď spočítame dni medzi splnmi,
skončíme s číslom 29.
Toto je pôvod mesiaca.
Ak ale chceme rozdeliť 29 na rovnaké časti,
narazíme na problém. Je to nemožné.
29 sa dá rozdeliť iba jedným spôsobom,
na 29 rovnakých častí.
29 je prvočíslo.
Akoby sa nedalo rozbiť.
Ak sa dá číslo rozdeliť na rovnaké časti väčšie než 1,
hovoríme, že je zložené.
Ak sme zvedaví, možno nás napadne otázka:
Koľko prvočísel existuje?
A aké veľké môžu byť?
Najskôr rozdeľme čísla na 2 skupiny.
Prvočísla dajme naľavo
a zložené čísla napravo.
Na začiatku akoby tancujú sem a tam.
Nie je tam žiaden obrazec.
Tak použime modernú tachniku
a pozrime sa na to vo veľkom.
Pomôže nám Ulamova špirála.
Najskôr zoradíme všetky čísla
do rastúcej špirály.
Potom označíme prvočísla modrou.
Nakoniec sa pozrieme na milióny čísel.
Tu vidíme obrazec prvočísel,
ktoré pokračuje donekonečna.
Je neuveriteľné, že celková štruktúra tohto obrazca
je dodnes nevyriešená.
Na niečo sme narazili.
Teraz sa presuňme
zhruba do roku 300 p. n. l.
Grécky filozof Euklides z Alexandrie
pochopil, že všetky čísla
sa dajú rozdeliť do týchto 2 kategórií.
Najskôr si uvedomil, že každé číslo
sa dá rozdeliť znova a znova,
kým sa nedostaneme ku skupine najmenších rovnakých čísel.
A tieto najmenšie čísla sú podľa definície
vždy prvočísla.
Takže vedel, že všetky čísla
sú akosi poskladané z menších prvočísel.
Predstavte si vesmír všetkých čísel
a ignorujte prvočísla.
Teraz si vyberte zložené číslo a rozložte ho.
Vždy vám ostanú prvočísla.
Euklides teda vedel, že každé číslo
sa dá vyjadriť pomocou menších prvočísel.
Prvočísla sú ako stavebné kocky.
Je jedno, aké číslo si vyberiete,
vždy sa dá poskladať z menších prvočísel.
Toto je základ objavu
základnej vety aritmetiky.
Postup je takýto. Vezmeme číslo, napríklad 30,
a nájdeme všetky prvočísla,
na ktoré sa dá rozdeliť bez zvyšku.
Tomuto sa hovorí rozklad.
Toto nám dá prvočíselné delitele.
V tomto prípade sú to 2, 3 a 5.
Euklides si uvedomil, že tieto prvočísla
istým počtom násobení
zostavia pôvodné číslo.
V tomto prípade stačí
vynásobiť každý deliteľ, aby na vzniklo 30.
2 x 3 x 5 je prvočíselný rozklad tridsiatich.
Predstavte si to ako špeciálnu kombináciu.
Neexistuje iný spôsob ako poskladať 30
násobením inej
skupiny prvočísel.
Takže každé možné číslo má jeden
a jediný prvočíselný rozklad.
Každé číslo si môžeme predsaviť ako
iný zámok.
Jedinečný kľúč pre zámok
by bol jeho prvočíselný rozklad.
Žiadne 2 zámky nemajú rovnaký kľúč.
Žiadne 2 čísla nemajú rovnaký prvočíselný rozklad.
வரலாற்றுக்கு முந்தைய காலத்தில் நாம் வசிப்பதாகக் கற்பனை செய்துகொள்.
இப்பொழுது இதை எண்ணிப்பார்.
கடிகாரம் இல்லாமல் எப்படி நாம் நேரத்தைக் கணக்கிட்டிருப்போம்.
எல்லா கடிகாரங்களும் ஒரே அமைப்பில்தான் கால
ஓட்டத்தை சமஅளவு பாகங்களாகப் பிரிக்கும்படி உள்ளன.
மீண்டும் மீண்டும் வரும் இந்த முறையைப் பார்க்க
மேலே சொர்க்கத்தைப் பார்த்துக் கொண்டிருக்கிறோம்.
இருந்தபோதிலும் ஒவ்வொரு நாளும் சூரியன் உதிப்பதும்
அஸ்தமிப்பதும் தெளிவான வகை.
நீண்ட காலத்தைக் கணக்கிட நீண்ட
காலச்சுழற்சியை வைத்துக் கொள்கிறோம்.
இதற்காக நாம் நிலவைப் பார்க்கிறோம்.
அது சிறிதுசிறிதாக வளர்ந்து தேய்வதுபோல் தெரிகிறது.
இதற்குப் பல நாட்கள் ஆகின்றன.
இரண்டு முழுநிலவுகளுக்கு இடையே உள்ள
நாட்களை எண்ணினால்
29 நாட்கள் வரும்.
இதுதான் மாதத்தின் தோற்றம்.
29ஐ நாம் சமபங்காகப் பிரிக்கப்போனால் அது நமக்கு
பிரச்சனையாகத்தான் முடியும். அது முடியாது.
29ஐ சமபாகங்களாகப் பிரிக்க அதை 29
தனிஅளவுகளாகப் பிரிக்கவேண்டியதுதான்.
ஏனெனில் 29 பகா எண்.
அதைப் பிரிக்கமுடியாது.
ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஒரு எண்ணை
சமபாகங்களாகப் பிரிக்க முடிந்தால்
அந்த எண்" கூட்டு எண்."
நாம் மிக ஆர்வமாக இருந்தால் பகாஎண்கள்
எவ்வளவு? என்று ஆச்சர்யப்படுவோம்.
பெரிய எண் இதில் எது?
இங்கு எல்லா எண்களையும் இரண்டு வகைகளாகப் பிரிப்போம்.
பகாஎண்களை இடதுபக்கம் வைப்போம்.
கூட்டு எண்களை வலது பக்கம் வைப்போம்.
இவை முன்னும் பின்னும் நடனம் ஆடுவதுபோல் இந்த அமைப்பில் உள்ளது.
இதில் தெளிவான அமைப்பு இல்லை.
ஆகவே,நவீன உத்தியை பெரிய அளவில் .
பார்ப்பதற்கு இதில் மேற்கொள்வோம்
இங்கு என்ன யுக்தி என்றால் 'யுலாம் சுழல்' இதைப் பயன்படுத்துதல்.
முதலில் எண்களை வரிசைப்படி பெரிதாகிக்கொண்டே
போகும் அந்தச் சுழலில் பட்டியலிட வேண்டும்.
பிறகு,அதில் உள்ள பகாஎண்களுக்கு ஊதா வண்ணத்தில் நிறம் கொடுக்க வேண்டும்.
பிறகு நாம் அதைப் பெரிது செய்யும்போது பல மில்லியன் கணக்கில்
பகாஎண்களைப் பார்க்க முடியும்.இவை பகாஎண்களின் வகைகள்.
இதில் இவை போய்க்கொண்டே இருக்கும்.
நம்பமுடியாத அளவுக்கு,இதுவரை அந்த
முழுஅமைப்பு பற்றிய வகையை தீர்க்க முடியவில்லை.
இப்பொழுது ஒன்றைப் பார்ப்போம்.
வேகமாக கி.மு 300க்குச் செல்வோம். பண்டைய
கிரேக்கத்தில்,தத்துவவாதி,அலெக்ஸாண்டிரியா
யூக்ளிட் என்பவர் எல்லா எண்களையும் இரண்டு
வேறுபட்ட வகைகளாகப் பிரிக்க முடியும்
எனப் புரிந்திருந்தார்.
எந்த எண்ணை எடுத்துக்கொண்டாலும் அதை சிறிய எண்ணாக
பிரித்துக் கொண்டே போகலாம்.இறுதியில் அது
அதற்குச் சமமான சிறிய எண்களாக மாறுகிறது.
வரையறைப்படி அந்தச் சிறிய எண்கள்.
எப்பொழுதும் பகாஎண்கள்.
எல்லா எண்களும் பகாஎண்கள் சேர்ந்துதான்
அமைந்துள்ளது என்பதை தெரிந்து வைத்திருந்தார்.
பிரபஞ்சத்தின் அனைத்து எண்களையும்
எடுத்துக்கொண்டு பகாஎண்களை விட்டுவிடு.
இதில் ஏதோ ஒரு கூட்டு எண்ணை தேர்வு செய்.
இதை இப்பொழுது பிரி.
கடைசியில் வருவது பகாஎண்ணில்தான் முடியும்.
எந்த கூட்டு எண்ணையும் பகாஎண்களை வைத்து வெளிப்படுத்தலாம்
என யூகிளிட் தெரிந்து வைத்திருந்தார்.
கட்டிடத் தொகுதிகளை நினைத்துக் கொள்.
எந்த எண்ணை வேண்டுமானாலும் தேர்வு செய்துகொள் கவலையில்லை.
பகாஎண்களின் கூட்டலில்தான் அவை அமைந்திருக்கும்.
அவருடைய கண்டுபிடிப்பின் வேர் இது.
இதுதான்" எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்".
அது பின்வருவது
ஏதாவது ஒரு எண்ணை எடுத்துக்கொள்.30ஐ எடுத்துக்கொள்.
அதற்குச் சமமான எல்லா
பகாஎண்களையும் கண்டுபிடி.
அப்படியென்றால் அந்த எண்ணுக்குக் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
இந்த முறையில் பகாஎண்களைக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.
இங்கு2 ,5 , 6 இவை 30ன் பகாஎண்கள்.
ஒரு எண்ணின் பகாஎண்களையெல்லாம் பெருக்கும்பொழுது
அந்தக் குறிப்பிட்ட எண் வந்துவிடுகிறது என்பதை
யூகிளிட் உணர்ந்திருந்தார்.
இங்கு,இந்தப் பகாஎண்களை ஒருமுறை
பெருக்கும்பொழுது 30 வருகிறது.
2 x 3 x 5 என்பது 30ன் பகாஎண்கள்.
30என்ற எண்ணுக்கு இந்தப் பகா எண்கள் ஒரு
சிறப்பான திறவுகோல் அல்லது ஒரு பிணைப்பு.
30ஐ உண்டாக்க வேறு எந்தப் பகாஎண்களை
வைத்துப் பெருக்கினாலும் வராது.
ஒரு எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால் அதற்கு ஒரே
மாதிரியான பகாஎண்கள்தான் இருக்கும்.
இதை எப்படி கற்பனை செய்யலாம் என்றால் ஒவ்வொரு எண்ணுக்கும்
ஒவ்வொரு மாதிரியான பூட்டு உள்ளது.
ஒவ்வொரு எண்ணின் தனிப்பட்ட சாவி
எதுவென்றால் அதன் பகாஎண்கள்.
இங்கு,இரண்டு பூட்டுகள் ஒரே சாவியைப் பங்கிட்டுக் கொள்ளாது.
அதேபோல் இரண்டு எண்கள் ஒரே மாதிரியான பகாஎண்களை பங்கிட்டுக் கொள்ளாது.
ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในยุคก่อนประวัติศาสตร์
ลองคิดดูว่า
เราสามารถรู้เวลาได้อย่างไร โดยไม่มีนาฬิกา
นาฬิกาทุกเรือนมีพื้นฐานมาจากวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กัน
ซึ่งแบ่งเวลาเป็นส่วนๆ ละเท่าๆ กัน
ในการหาวัฎจักรที่เกิดขึ้นซ้ำๆ กันนั้น
เรามองไปยังท้องฟ้า
เราเห็นดวงอาทิตย์ขึ้น และตกลงในทุกวัน
แต่หากเราต้องการรู้เวลาในระยะยาวกว่านี้
เรามองหาวัฎจักรที่ยาวนานกว่านี้
อย่างเช่น เรามองไปยังดวงจันทร์แทน
ซึ่งรูปร่างหน้าตาจะเปลี่ยนในแต่ละวัน
เมื่อเรานับจำนวนวัน ระหว่างพระจันทร์เต็มดวง
เราจะได้ 29 วัน
ซึ่งนี่คือที่มาของ เดือน
แต่ถ้าเราจะแบ่งตัวเลข 29 เป็นส่วนๆ ที่เท่าๆ กัน
เราจะพบว่ามันเป็นไปไม่ได้
ทางเดียวที่จะแตกเลข 29 เป็นส่วนเท่าๆ กันได้นั้น
คือแตกออกเป็น 1 หน่วย 29 อัน
เพราะ 29 คือจำนวนเฉพาะ
ซึ่งไม่สามารถแตกออกเป็นตัวเลขย่อยๆ ได้
ถ้าตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นส่วนๆ ได้
เราเรียกว่า จำนวนประกอบ
ตอนนี้เราอาจจะสงสัยว่า
มีจำนวนเฉพาะจำนวนกี่ตัว
และมีขนาดใหญ่ได้ขนาดไหน
เราจะเริ่มโดยแบ่งตัวเลขเป็น 2 ประเภท
เราจะให้จำนวนเฉพาะอยู่ทางซ้าย
และจำนวนเฉพาะอยู่ทางขวา
ในตอนแรก เราอาจจะเห็นว่าตัวเลขนั้นไปๆ มาๆ ทั้งสองฝั่ง
เรายังไม่เห็นที่มาของการเรียงลำดับนี้ได้อย่างชัดเจนนัก
ทีนี้ เราจะใช้วิธีสมัยใหม่
เพื่อให้เราเห็นภาพ
ซึ่งเราจะใช้วงเกลียวของ Ulam
ซึ่งเราจะเรียงตัวเลขทุกตัวที่เป็นไปได้
เป็นก้นหอยที่เป็นวงออกไปเรื่อยๆ
แล้วเราจะระบายสีจำนวนเฉพาะเป็นสีน้ำเงิน
ทีนี้ เมื่อเราซูมออกมาจนสามารถเห็นตัวเลขได้เป็นล้านตัว
นี่คือลำดับของจำนวนเฉพาะ
ซึ่งออกไปเรื่อยๆ
ซึ่งโครงสร้างของวงเกลียวนี้
ยังไม่เคยมีใครพิสูจน์ได้
เราจะเริ่มเรื่องของเราแล้ว
ทีนี้เราจะ
ไปในช่วง 300 ก่อนคริสต์กาล ในกรีกโบราณ
นักปรัชญาที่ชื่อว่ายูคลิด
เข้าใจว่าตัวเลขทุกตัวนั้น
สามารถแบ่งออกได้เป็นสองประเภท
เขาเข้าใจว่าตัวเลขทุกตัว
สามารถหารลงไปเรื่อยๆ
จนถึงกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุด
ซึ่งกลุ่มตัวเลขที่เล็กที่สุดนี้
คือจำนวนเฉพาะ
ซึ่งเขากล่าวว่าตัวเลขทุกตัว
นั้นเกิดจากการรวมตัวกันของจำนวนเฉพาะ
เพื่อให้เข้าใจกัน ลองจินตนาการตัวเลขทุกตัว
ที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
ทีนี้ ลองนำจำนวนประกอบตัวใดก็ได้มาแตกออก
แล้วเราจะเหลือไว้แค่จำนวนเฉพาะ
ซึ่งยูคลิดรู้ว่าตัวเลขทุกตัว
สามารถแสดงออกมา โดยกลุ่มจำนวนเฉพาะ
ซึ่งเราสามารถเปรียบเทียบได้ว่ามันคือ โครงสร้าง
ซึ่งตัวเลขทุกตัวที่คุณเลือก
สามารถสร้างขึ้นมาจากกลุ่มจำนวนเฉพาะที่เล็กกว่า
ซึ่งนี่คือที่มาของ
ทฤษฎีพื้นฐานของตัวเลข
แล้วนำตัวเลขอะไรก็ได้ เช่น 30
แล้วหาจำนวนเฉพาะทุกตัว
ที่มันสามารถหารได้ลงตัว
ซึ่งกระบวนการนี้เป็นการแยกตัวประกอบ
จะทำให้เรารู้จำนวนเฉพาะ
ในกรณีนี้ 2, 3 และ 5 เป็นตัวประกอบเฉพาะของ 30
ยูคลิดรู้ว่า คุณสามารถคูณ
ตัวเลขเหล่านี้ในจำนวนครั้งที่ถูกต้อง
เพื่อสร้างตัวเลขเดิม
ในกรณีนี้ คุณเพียงแค่
คูณตัวประกอบเฉพาะแต่ละตัวด้วยกันเพื่อสร้างตัวเลข 30
2 คูณ 3 คูณ 5 คือตัวประกอบเฉพาะของ 30
คิดว่า มันเป็นคีย์พิเศษ
ซึ่งไม่มีวิธีอื่นในการสร้างตัวเลข 30
โดยยนำจำนวนเฉพาะกลุ่มอื่น ๆ
มาคูณเข้าด้วยกัน
ดังนั้นตัวเลขทุกตัวจะมี
วิธีการแยกตัวประกอบเพียง 1 วิธีเท่านั้น
การเปรียบเทียบที่ดีคือ ลองจินตนาการว่าตัวเลขแต่ละตัวเลข
คือล็อคที่แตกต่างกัน
กุญแจของมัน
คือการแยกตัวประกอบที่เฉพาะเจาะจง
ไม่มีล็อคสองอันที่จะใช้กุญแจเหมือนกัน
ไม่มีตัวเลข 2 ตัวที่ใช้วิธีการแยกตัวประกอบเฉพาะเหมือนกัน
Уявімо, що ми живемо в доісторичні часи.
Подумаємо над наступним:
Як ми можемо слідкувати за часом без годинника?
Всі годинники створені на основі шаблону що повторюється,
який ділить час на рівні проміжки.
Для того щоб віднайти данний шаблон
ми спостерыгаємо за небом.
Сонце, що сходить і заходить кожен день - це
найбільш очевидне.
Але для того, щоб відслідковувати триваліші проміжки часу,
ми звертаємось до довших циклів.
Давайте розглянемо для цього місяць,
який, схоже, поступово росте
і зменшується протягом багатьох днів.
Підрахувавши кількість днів
між повним місяцев,
ми отримаємо число 29.
!!!!!!!!!!!!!!
Якщо ми спробуємо розділити 29 на рівні частини,
то зіткнемося з проблемою - це неможливо.
Єдиний спосіб розділити 29 на рівні частини -
знову розбити його на окремі одиниці.
29 - просте число.
Його можна вважати неподільним.
Якщо число можна розбити
на рівні частини більші одиниці.
таке число називається "складеним числом".
Якщо ми допитливі, нам захочеться дізнатися
скільки простих чисел існує,
і наскількі великими вони можуть бути
Почнемо з розділення всіх чисел на дві категорії.
Прості запишемо зліва,
А складені - справа.
Спочатку здається що вони скачуть туди-сюди,
і ніякої закономірності тут немає.
Повернемося до сучасних технік
задля того щоб, побачити картину вцілому.
Весь фокус у використанні спіралі Улама
Спочатку всі числа записуються
у напрямку росту спіралі.
Потім прості числа виділяються кольором,
Нарешті зменшимо масштаб, щоб побачити 3 млн чисел.
Це є шаблон розподілу простих чисел,
який повторюється і повторюється до нескінченності
Неймовірно, але вся структура цієї закономірності
досі не розкрита.
Але ми вже близкі до розгадки.
Повернемося назад
До 300 року до нашої ери. В Древню Грецію.
Філософ, відомий як Евклід Александрійскій,
відкрив, що всі числа
можна розділити на ці дві категорії
Спочатку він зрозумів, що будь-яке число
можна ділити знову і знову
доки не доберешся до найменгших рівних чисел
І за визначенням ці найменші числа
завжди являються простими.
Таким чином він знав, що всі числа
тим чи іншим чином складаються з менших простих.
Щоб прояснити це, можна уявити множину всіх чисел,
відкинувши прості.
Потім треба обрати складене число
і розбити його.
Завжди будуть залишатися тільки прості числа.
Евклід знав, що кожне число
може бути виражене через набір менших простих чисел.
Це як будівельні блоки,
Без різниці яке число обране.
Його завжди можна уявити як суму менших чисел.
В цьому вся суть відкриття,
Відомого як основна теорема арифметики.
Таким чином:
Візьмемо, будь-яке число, нприклад, 30,
і знайдемо всі прості числа
які ділять його порівну.
Це називається розкладанням на множники.
В результаті отримаємо прості множники.
У инашому випадку, 2, 3 і 5 - це прості множники 30-ти.
Евклід зрозумів, що можна перемножити
ці прості множники певне число разів
для того щоб отримати вихідне число.
В нашому випадку просто
перемножаємо всі множники по одному разу.
22 x 3 x 5 = 30
Подумаємо над спеціальним ключем чи комбінацією
Іншого шляху, щоб розкласти 30 немає
використовуючи інші групи простих чисел
перемножених разом.
Унікальним ключем для кожного з них
іншого набору простих чисел.
є їх розкладення на прості множники.
Ніякі два замки не відкриються однаковим ключем.
Таким чином будь-яке число розкладається
на прості множники єдиним чином
Немає двох чисел, які розкладаються на однакові прості множники.
Tasavvur qiling, milodan avvalgi yillar.
Endi o'ylab ko'ring:
Qanday qilib soatsiz vaqtni aniqlashgan?
Barcha soatlar vaqt oqimini teng bo'laklarga bo'luvchi
qandaydir takroriy shaklga asoslangan.
Bunday takroriy shakillarni topish uchun
samolarga yuzlanamiz.
Har kuni, quyoshning chiqishi va botishi
bunday shakllarning eng oddiysidir.
Lekin uzoqroq vaqt bo'lagini kuzatish uchun
uzoqroq takrorlanishlarga e'tibor beramiz.
Buning uchun esa oyga yuzlanamiz.
E'tibor bergan bo'lsangiz,
oy kunlar osha to'lishadi va kichrayadi.
To'lin oylar orasidagi kunlar sonini
sanaydigan bo'lsak,
u 29 kunga teng.
Bir oydagi kunlar soni shundan kelib chiqqan bo'lsa kerak.
Ammo 29 ni teng bo'laklarga bo'lishga harakat qilsak,
bir muammoga duch kelamiz: buning iloji yo'q.
29 ni teng bo'laklarga bo'lishning yagona yo'li
uni 29 ta teng bo'lakka bo'lishdan iborat.
29 soni tub son hisoblanadi.
Uni bo'linmas deb tasavvur qiling.
Agar son birdan boshqa
teng bo'laklarga bo'linsa,
biz uni 'murakkab son' deb ataymiz.
Endi biz qiziqishimiz mumkin,
"Dunyoda nechta tub son bo'lishi mumkin?
Va ularning eng kattasi nechaga teng ekan?"
Keling, barcha sonlarni ikkita guruhga bo'lamiz.
Tub sonlar chap tomonda
va murakkab sonlar o'ng tomonda.
Boshida, u tomondan bu tomonga raqs tushayotganga o'xshaydilar.
Ammo ularning joylashuvida aniq bir shakl mavjud emas.
Keling, bunday shaklni ko'rish uchun
zamonaviy usuldan foydalanamiz.
Bu usul "Ulam spirali" deb nomlanadi.
Boshida, barcha raqamlarni tartib bilan o'sayotgan spiral
ichiga joylab chiqamiz.
Keyin, barcha tub sonlarni ko'k ranga bo'yab chiqamiz.
Nihoyat, biz millionlab raqamlarni ko'rish uchun uzoqlashamiz.
Mana bu tugalmas tub sonlarning
shakli hisoblanadi.
Hayratlanarlisi shuki, bu shaklning tuliq strukturasi
haligacha topilmagan.
Nimanidir kashf etish arafasida turganga o'xshaymiz...
Keling, m.a. 300 yillarga,
Qadimgi Gretsiyaga sayr qilamiz.
Buyuk faylasuf, Aleksandryalik Evklid,
barcha sonlarni
bu ikki guruhga ajralishini anglab yetadi.
Dastlab, u istalgan sonni
kichik bo'linmas teng sonlar guruhlarigacha
bo'lish mumkinligini anglab yetadi.
Va bu eng kichik sonlar esa, har doim
tub sonlardir.
Shunday qilib, u barcha sonlar
tub sonlardan qurilganini tushunib yetadi.
Aniqrog'i, barcha sonlar olamini tasavvur qiling,
tub sonlar haqida unuting.
Endi istalgan murakkab sonni olamiz
va bo'laklarga ajratamiz
va bu bo'laklar, har doim tub sonlardir.
Demak, Evklid istalgan raqam
kichikroq tub sonlar guruhi orqali ifodalanishi mumkinligin tushunib yetgan.
Ularni g'ishtlar deb tasavvur qiling.
Qaysi son bo'lishidan qat'iy nazar,
uni kichiroq tub sonlarni qo'shish bilan yasash mumkin.
Mana shu Evklid kashfiyotining asosi bo'lib,
"Arifmetikaning asosiy nazariyasi" deb nomlanadi.
Unga ko'ra,
istalgan raqamni, aytaylik, 30 ni olamiz
va uning tub ko'paytuvchilarini topamiz.
30 teng bo'linadi.
Buni biz "ko'paytuvchilarga ajratish" deb ataymiz.
Bu bizga tub ko'paytuvchilarni topish imkonini beradi.
Bizning holatda 2,3 va 5 30 ning tub kupaytuvchilaridir.
Evklid yana shuni tushunib yetdiki, sonning tub ko'paytuvchilarini
bir necha bor ko'paytirish orqali
dastlabki sonni keltirib chiqarish mumkin ekan.
30 sonini yasash uchun esa uning tub ko'paytuvchilarini
bir martadan ko'paytirish kifoya.
2 x 3 x 5 30 soning tub kupaytuvchilaridir.
Bularni o'ziga hos kalit yoki kombinatsiya deyish mumkin.
30 sonini boshqa tub son guruhlari
ko'paytmasi orqali yasashning
imkoni yo'q.
Shunday qilib, istalgan son faqat va faqat
bitta yo'l bilan tub ko'paytuvchilarga ajraladi.
Misol uchun, har bir sonni
alohida qulf deb tasavvur qiling.
Har bir qulfning (sonning) kaliti
uning tub ko'paytuvchilari bo'ladi.
Hech bir qulf bir xil kalitga ega emas.
Hech bir son bir xil tub ko'paytuvchilardan tashkil topmaydi.
想像我们生活在史前
考虑下面的情形
没有钟我们如何记录时间？
所有的钟都是基于重复的规律
它将整个的时间分为等份的部分
为了找出重复的规律
我们仰望苍穹
太阳每天升起又落下是最明显的
但是为了记录更长的时间段
我们寻找更长的周期
因此 我们向月亮看去
它逐渐变大又变小 在一些天内
当我们计算满月之间的天数
我们得到29
这就是月的起源
但是 如果我们试图分解29为等份
我们遇到了问题：这不可能
唯一将29分解为等份的方法
是将它分解为一个个单位
29是一个素数
将它看成是不可分解的
如果一个数能被分解为大于一的等份
就可以称它为复合数
如果我们好奇，可以会问
自然界有多少素数？
并且他们有多大？
让我们先将所有数字分为两个类别
将素数列在左边
复合数列在右边
开始 他们好像来回跳跃
没有明显的规律
让我们使用一个现代技术
来看大趋势
诀窍是利用Ulam螺旋
首先我们按顺序列出所有可能的数字
以一种扩展的螺旋展示
然后 将所有素数涂成蓝色
最后我们远离一点 来看屏幕上数以百万的数字
这是素数的规律
它永远在不断扩展
难以置信的是 这个规律的整个架构
至今还是无解
我们撞到了某个东西
让我们快速向前推进
到公元前300年左右的古希腊
一个叫做亚历山大利亚的欧几里德的哲学家
懂得所有数字
能够被分解成两个类别
他最初意识到任何数字
可以不断被分解
直到成为一组最小的相等数字
根据定义 这些最小的数字
总是素数
所以他知道所有的数字是
由素数构成的
说明白点 想像一下数字的宇宙
并且暂时忽略素数
任选一个复合数 将它分解
最后剩下的总是素数
所以 欧几里德知道 每一个数
能够表达成一组较小的素数
将这些素数想像成构件
无论你选择哪个数
它总是由一组较小的素数构成的
这就是这个发现的根源
被称为 算术基础定理
下面 任取一个数 比如30
找出所有的那些素数
30能够相等地被分解成它们
这就是我们所知的因子分解
这将会给我们素数因子
这个特例中 2，3和5 是 30的素数因子
欧几里德意识到 你可以乘以
这些素数 相乘一些次数
来构成原有的数
在这个例子中 你简单地
将每个因子相乘一次 便得到30
2x3x5就是30的素数因子分解
将它想像成一个特殊的钥匙或组合
没有其他方法来构成30
通过其他组合的素数
相乘在一起都不可能
所以 任何一个数有一个
且仅有一个素数因子分解方法
一个好的比喻是将每个数想像成
一个不同的锁
这个锁的唯一的钥匙
就是它的素数因子分解
没有两个锁会有同样的钥匙
没有两个数会分享同一个素数因子分解
想像我們生活在史前
考慮下面的情形
沒有鍾我們如何記錄時間？
所有的鍾都是基於重覆的規律
它將整個的時間分爲等份的部分
爲了找出重覆的規律
我們仰望蒼穹
太陽每天升起又落下是最明顯的
但是爲了記錄更長的時間段
我們尋找更長的周期
因此 我們向月亮看去
它逐漸變大又變小 在一些天內
當我們計算滿月之間的天數
我們得到29
這就是月的起源
但是 如果我們試圖分解29爲等份
我們遇到了問題：這不可能
唯一將29分解爲等份的方法
是將它分解爲一個個單位
29是一個質數
將它看成是不可分解的
如果一個數能被分解爲大於一的等份
就可以稱它爲復合數
如果我們好奇，可以會問
自然界有多少質數？
並且他們有多大？
讓我們先將所有數字分爲兩個類別
將質數列在左邊
復合數列在右邊
開始 他們好像來回豎鍛
沒有明顯的規律
讓我們使用一個現代技術
來看大趨勢
訣竅是利用Ulam螺旋
首先我們按順序列出所有可能的數字
以一種擴展的螺旋展示
然後 將所有質數塗成藍色
最後我們遠離一點 來看屏幕上數以百萬的數字
這是質數的規律
它永遠在不斷擴展
難以置信的是 這個規律的整個架構
至今還是無解
我們撞到了某個東西
讓我們快速向前推進
到公元前300年左右的古希臘
一個叫做亞曆山大利亞的歐幾裏德的哲學家
懂得所有數字
能夠被分解成兩個類別
他最初意識到任何數字
可以不斷被分解
直到成爲一組最小的相等數字
根據定義 這些最小的數字
總是質數
所以他知道所有的數字是
由質數構成的
說明氫脆化 想像一下數字的宇宙
並且暫時忽略質數
任選一個復合數 將它分解
最後剩下的總是質數
所以 歐幾裏德知道 每一個數
能夠表達成一組較小的質數
將這些質數想像成連桿
無論你選擇哪個數
它總是由一組較小的質數構成的
這就是這個發現的根源
被稱爲 算術基礎定理
下面 任取一個數 比如30
找出所有的那些質數
30能夠相等地被分解成它們
這就是我們所知的因子分解
這將會給我們質數因子
這個特例中 2，3和5 是 30的質數因子
歐幾裏德意識到 你可以乘以
這些質數 相乘一些次數
來構成原有的數
在這個例子中 你簡單地
將每個因子相乘一次 便得到30
2x3x5就是30的質數因子分解
將它想像成一個特殊的鑰匙或組合
沒有其他方法來構成30
通過其他組合的質數
相乘在一起都不可能
所以 任何一個數有一個
且僅有一個質數因子分解方法
一個好的比喻是將每個數想像成
一個不同的鎖
這個鎖的唯一的鑰匙
就是它的質數因子分解
沒有兩個鎖會有同樣的鑰匙
沒有兩個數會分享同一個質數因子分解