1
00:00:00,000 --> 00:00:03,218
僕らは今、とあるおかしなカジノにいると考えよう。

2
00:00:03,218 --> 00:00:04,799
とてもおかしなゲームをしているカジノさ。

3
00:00:04,799 --> 00:00:07,455
君はテーブルに近づくと、その上には

4
00:00:07,455 --> 00:00:09,674
空の袋があるんだ。

5
00:00:09,674 --> 00:00:14,819
テーブルを取り仕切る奴はこう言う、「見て、ここにいくつかビー玉がある。

6
00:00:14,819 --> 00:00:19,400
3つの緑色のビー玉と、2つのオレンジ色のビー玉さ。
これを袋に突っ込む。」

7
00:00:19,400 --> 00:00:21,469
その言葉通り、彼はビー玉を空の袋に突っ込んだので

8
00:00:21,469 --> 00:00:30,442
中には3つの緑色のビー玉と2つのオレンジ色のビー玉があることが確実に分かる。

9
00:00:30,442 --> 00:00:35,123
そして彼は言う、
「君にプレイしてもらいたいゲームは、もし君が乗り気ならだけど、

10
00:00:35,123 --> 00:00:38,420
中を見ずに袋に手を入れてもらう。

11
00:00:38,420 --> 00:00:39,738
袋は透明でないし

12
00:00:39,738 --> 00:00:42,769
ビー玉の質感は全く同じだ。

13
00:00:42,769 --> 00:00:45,974
2つの緑色のビー玉を取り出せたら君の勝ち。

14
00:00:45,974 --> 00:00:50,084
まず1回目に取り出したビー玉が緑なら、
それをテーブルの上に置く。

15
00:00:50,084 --> 00:00:52,523
そしてもう一度袋に手を入れ

16
00:00:52,523 --> 00:00:55,405
もう1つビー玉を取り出す。それもまた緑色なら

17
00:00:55,405 --> 00:00:58,769
君は賞金を受け取る。

18
00:00:58,769 --> 00:01:06,890
2つの緑のビー玉を取り出せば 1ドルの賞金だ。」

19
00:01:06,890 --> 00:01:08,305
それで君は答える。

20
00:01:08,305 --> 00:01:10,388
「面白そうなゲームだね。
賭け金はいくら？」

21
00:01:10,388 --> 00:01:15,269
そいつは 35セントだと答える。

22
00:01:15,269 --> 00:01:18,387
言うまでもなく、かなり賭け金の低いカジノだ。

23
00:01:18,387 --> 00:01:23,071
さてここで問題だ、
君はこのゲームをプレイしたいと思うかい？

24
00:01:23,071 --> 00:01:25,286
ただし、面白さについては考慮しないことにしよう。

25
00:01:25,286 --> 00:01:32,350
お金の損得だけを考えた時、
このゲームをプレイするのは理にかなうだろうか？

26
00:01:32,350 --> 00:01:35,368
さて、確率についてしばし考えよう。

27
00:01:35,368 --> 00:01:41,219
まず最初に、1番目に取り出したビー玉が緑色である確率はどのくらいだろう？

28
00:01:41,219 --> 00:01:47,938
1番目のビー玉が緑色である確率は？

29
00:01:47,938 --> 00:01:50,142
おっと、「最初が緑」と略させてもらうよ。

30
00:01:50,142 --> 00:01:54,410
「最初が緑の確率」と。

31
00:01:54,410 --> 00:01:57,151
起こりうる全ての場合の数は、

32
00:01:57,151 --> 00:01:59,188
同様に確からしい5つのビー玉があるから、

33
00:01:59,188 --> 00:02:01,304
全部で5通りある。

34
00:02:01,304 --> 00:02:04,522
そのうち「最初は緑」となる事象は3つだから

35
00:02:04,522 --> 00:02:08,602
最初が緑になる確率は 3/5 だ。

36
00:02:08,602 --> 00:02:10,437
だから君には 3/5 の見込みがあるわけだ。

37
00:02:10,437 --> 00:02:12,460
3/5 の確率、だけど気を付けるべきは

38
00:02:12,460 --> 00:02:15,891
1つ取り出した後もゲームはまだ続いてるってことだ。

39
00:02:15,891 --> 00:02:20,810
今、本当に関心があるのは、ゲームに勝つ確率だ。

40
00:02:20,810 --> 00:02:24,695
1つ目が緑で、さらに2つ目も緑になってほしいのさ。

41
00:02:24,695 --> 00:02:27,606
これについて少し考えよう。
最初が緑になる

42
00:02:27,606 --> 00:02:32,111
確率はどのくらいだろう？

43
00:02:32,111 --> 00:02:32,960
「g」と略して書くことにしよう。

44
00:02:32,960 --> 00:02:38,204
次に2番目が緑になる確率は？

45
00:02:38,204 --> 00:02:41,261
もしかすると、君はこう言いたくなるかもしれない。

46
00:02:41,261 --> 00:02:43,565
「ああきっと、2番目が緑の確率も同じように 3/5 で、

47
00:02:43,565 --> 00:02:47,608
単に 3/5 と 3/5 を掛ければ良いんだよ。

48
00:02:47,608 --> 00:02:49,362
だから 9/25 が答えさ。

49
00:02:49,362 --> 00:02:52,245
簡単なことじゃないか。」

50
00:02:52,245 --> 00:02:56,177
でも、1番目の緑のビー玉の扱いを思い出してほしい。

51
00:02:56,177 --> 00:03:00,037
1番目の緑のビー玉を取り出して、それを見た後、君はそれを袋に戻さない。

52
00:03:00,037 --> 00:03:05,560
だから2回目に取り出す時、袋の中の緑のビー玉の数は

53
00:03:05,560 --> 00:03:07,365
1回目の取り出しによって変わっているんだ。

54
00:03:07,365 --> 00:03:09,044
ビー玉を取り出した時、

55
00:03:09,044 --> 00:03:11,428
それが緑色であろうと、そうでなかろうと、

56
00:03:11,428 --> 00:03:14,175
1回目に取り出したものはテーブルの上に置いておくことに注意しよう。

57
00:03:14,175 --> 00:03:17,413
ビー玉はもとの袋に戻らないから、取り出した分は減ってしまう。

58
00:03:17,413 --> 00:03:20,175
だから1回目と2回目の事象は独立でない。

59
00:03:20,175 --> 00:03:24,556
「独立でない」という言葉の意味を明確にしよう。

60
00:03:24,556 --> 00:03:30,021
言い換えるなら、2回目の取り出しは1回目に依存する。

61
00:03:30,021 --> 00:03:36,890
「1回目に依存」と。

62
00:03:36,890 --> 00:03:41,679
1回目に緑が出た時、バッグの中のビー玉は5つ、うち3つが緑色、というわけではなく

63
00:03:41,679 --> 00:03:47,944
1回目が緑なら、残りのビー玉は4つ、うち緑色なのは2つだ。

64
00:03:47,944 --> 00:03:51,597
これによって、2つの事象が起こる確率が分かる。

65
00:03:51,597 --> 00:03:58,721
そう、最初が緑の確率は常に一定だ。

66
00:03:58,721 --> 00:04:07,185
掛ける、ここが今回の新しい考え方だけど、2回目が緑の確率を求めるには

67
00:04:07,185 --> 00:04:10,057
ある条件を考慮する必要がある。この小さい垂直な線は、

68
00:04:10,057 --> 00:04:12,889
ある条件を満たした上での確率であることを示す。

69
00:04:12,889 --> 00:04:16,425
ここで、条件があることを示すんだよ。

70
00:04:16,425 --> 00:04:19,113
次に条件を書く。ここでは「最初が緑」が条件だ。

71
00:04:19,113 --> 00:04:25,713
最初が緑だったと仮定して、2回目が緑になる確率はいくつだろう？

72
00:04:25,713 --> 00:04:28,177
さて、ここに筋書きを描こう。

73
00:04:28,177 --> 00:04:33,262
1回目のビー玉が緑なら、残りの起こりうる事象は4通りある。

74
00:04:33,262 --> 00:04:34,642
5通りではないよ。

75
00:04:34,642 --> 00:04:39,180
そのうち基準を満たすのは2通りだ。

76
00:04:39,180 --> 00:04:41,507
基準を満たすのは2通りだよ。

77
00:04:41,507 --> 00:04:46,255
だから1回目のビー玉が緑で、さらに2回目のビー玉も緑になる確率は

78
00:04:46,255 --> 00:04:48,400
まず最初が緑になる確率、

79
00:04:48,400 --> 00:04:50,303
つまり 3/5 だね。

80
00:04:50,303 --> 00:04:54,283
掛ける、1回目が緑と仮定した時の、2回目が緑となる確率。

81
00:04:54,283 --> 00:04:58,467
今 袋の中のビー玉は1つ減っていて、1回目が緑だと仮定しているから

82
00:04:58,467 --> 00:05:01,887
残りの緑のビー玉は2つだけだ。

83
00:05:01,887 --> 00:05:05,171
この式によると、最終的な確率はいくつだろう？

84
00:05:05,171 --> 00:05:07,137
ええと、3/5 掛ける 2/4 で、

85
00:05:07,137 --> 00:05:09,340
2/4 は 1/2 と等しいから

86
00:05:09,340 --> 00:05:14,202
3/5 掛ける 1/2 となって

87
00:05:14,202 --> 00:05:16,051
イコール 3/10 だ。

88
00:05:16,051 --> 00:05:20,941
0.30 とも書けるし、

89
00:05:20,941 --> 00:05:25,287
袋に戻すことなく2つの緑のビー玉を取り出すのに

90
00:05:25,287 --> 00:05:29,438
30%の見込みがあるとも言える。

91
00:05:29,438 --> 00:05:31,966
さて、これをもとに、もう一度問題を考えてみよう。

92
00:05:31,966 --> 00:05:35,054
このゲームをプレイしたいと思うかい？

93
00:05:35,054 --> 00:05:38,634
さて、このゲームをとてもとてもたくさんプレイした時、

94
00:05:38,634 --> 00:05:43,871
平均すると30%の確率で

95
00:05:43,871 --> 00:05:47,467
賞金の1ドルを得る。

96
00:05:47,467 --> 00:05:49,021
まだ終わりじゃないよ。

97
00:05:49,021 --> 00:05:52,052
賞金の期待値を計算すると、

98
00:05:52,052 --> 00:05:55,690
30% 掛ける 1ドル、

99
00:05:55,690 --> 00:05:56,754
あくまで目安だけど、

100
00:05:56,754 --> 00:06:01,462
30セントになる。

101
00:06:01,462 --> 00:06:03,021
30%の確率で1ドルを得るから、

102
00:06:03,021 --> 00:06:04,655
ゲームをとてもとてもたくさんプレイした時に

103
00:06:04,655 --> 00:06:06,152
期待できる賞金は

104
00:06:06,152 --> 00:06:11,002
1ゲームあたり平均30セントだ。

105
00:06:11,002 --> 00:06:13,054
さて、君は平均30セントを得るために

106
00:06:13,054 --> 00:06:17,660
35セントを支払いたいと思うかい？

107
00:06:17,660 --> 00:06:21,020
嫌だね。そんなことはしたくない。

108
00:06:21,020 --> 00:06:23,635
ここでもう一つ考えてほしいことがある。

109
00:06:23,635 --> 00:06:24,919
もし最初に緑のビー玉を

110
00:06:24,919 --> 00:06:29,292
取り出した後、それを袋に戻せるなら

111
00:06:29,292 --> 00:06:31,493
そのゲームをプレイしたいと思うかな？

112
00:06:31,493 --> 00:06:36,823
この条件でプレイしたいか、考えてみよう。