Let's imagine ourselves in some kind of strange casino
with very strange games
And you walk up to a table, and on that table
there is an empty bag
and the guy who runs the table says, "Look, I've got some marbles here,
three green marbles, two orange marbles, and I'm gonna stick them in the bag
And he literally sticks them into the empty bag
To show you that there is truly three green marbles, and two orange marbles.
And he says, "The game that I want you to play, or if you choose to play,
is you're going to look away, stick your hand in this bag
The bag is not transparent
Feel around the marbles, all the marbles feel exactly the same
And if you're able to pick two green marbles
If you're able to take one marble out of the bag, it's green, you put it down on the table
then put your hand back in the bag
And take another marble, and if that one's also green
Then you're going to win the prize of
You're going to win one dollar if you get two greens.
Well you say, "this sounds like an interesting game,
How much does it cost to play?"
And the guy tells you it is 35 cents to play.
So obviously, fairly low stakes casino.
So my question to you is, would you want to play this game?
And don't put, you know, the fun factor into it
Just economically, does it makes sense for you to actually play this game?
Well let's think through the probabilities a little bit.
So first of all, what's the probability that the first marble you pick is green?
What's the probability that first marble is green?
Actually, just let me write first green
Probability first green
Well, the total possible outcomes
There's 5 marbles here all equally likely
So there's 5 possible outcomes
3 of them satisfy your event that the first is green
So there's a three-fifths probability that the first is green.
So you have a three-fifths chance
Three-fifths probability, I should say
That after that first pick you're kind of still in the game.
Now, what we really care about is your probability of winning the game.
You want the first to be green, and the second green.
Well let's think about this a little bit. What is the probability
that the first is green
I'll just write "g" for green
And the second is green.
Now, you might be tempted to say
"Oh well the second being green is the same probability,
it's three-fifths. I can just multiply three-fifths times three-fifths
And I'll get nine over twenty-five
Seems like a pretty straight-forward thing."
But the realization here is what you do with that first green marble.
You don't take that first green marble out, look at it, and put it back in the bag.
So when you take that second pick, the number of green marbles that are in the bag
depends on what you got on the first pick.
Remember, we take the marble out
if it's a green marble or whatever marble it is
Whatever after the first pick, we leave it on the table.
We are not replacing it, so there's not any replacement here.
So these are not independent events.
Let me make this clear, not independent.
Or in particular, the second pick is dependent on the first.
Dependent on the first pick.
If the first pick is green, then you don't have three green marbles in a bag of five
If the first pick is green, you now have two green marbles in a bag of four
So the way that we would refer to this is the probability of both of these happening
Yes, it's definitely equal to the probability of the first green
times, now this is kind of the new idea, the probability of the second green
given, this little line over here
just this straight up, vertical line just means given
Given, this means given
Given that the first was green.
Now what is the probability that the second marble is green given that the first marble was green?
Well we drew this scenario right over here
If the first marble is green there are four possible outcomes
not five anymore
And two of them satisfy your criteria.
So two of them satisfy your criteria.
So the probability of the first marble being green and the second marble being green
Is going to be the probability that your first is green
So it's going to be three-fifths
Times the probability that the second is green given the first was green.
Now you have one less marble in the bag and we're assuming that the first pick was green
So you only have two green marbles left.
And so what does this give us for our total probability?
Let's see. Three-fifths times two-fourths
well two-fourths is the same thing as one half
This is going to be equal to three-fifths times one half
Which is equal to three tenths
Or we could write that as zero point three zero
Or we could say that there is a 30 percent chance
of picking two green marbles when we are not replacing.
So, given that, let me ask you the question again
Would you want to play this game?
Well if you played this game many, many, many, many times
On average, you have a 30 percent chance
of winning one dollar.
And we haven't covered this yet,
So your expected value is really going to be
30 percent times one dollar
This gives you a little bit of a preview
Which is going to be thirty cents
Thirty percent chance of winning one dollar
You would expect, on average,
if you were to play this many, many, many times
that playing the game is going to give you 30 cents.
Now, would you want to give someone
35 cents to get on average 30 cents?
No! You would not want to play this game.
Now, one thing I will let you think about is
Would you want to play this game
If you could replace the green marble the first pick
After the first pick if you could replace the green marble
Would you want to play the game in that scenario?
Нека си представим, че се намираме някакво странно на вид казино,
с доста странни игри.
Нека си представим, че се намираме в някакво странно казино,
в което се играят доста странни игри.
Приближаваме се до една маса, и на тази маса
има празна торба.
Крупието, което отговаря за масата, казва: "Виж, тук имам няколко топчета,
три зелени топчета и две оранжеви топчета, и ще ги пъхна в торбата."
Буквално ги пъхва в торбата.
За да ти покаже, че действително топчетата са три зелени и две оранжеви,
казва още: "Играта, която ти предлагам, или която избираш да играеш,
се състои в това да погледнеш настрана и да бръкнеш в тази чанта –
чантата не е прозрачна –
опипваш топчетата, те всички се усещат по един и същи начин,
и ако успееш да избереш две зелени топчета –
ако можеш да извадиш от торбата едно топче, което е зелено, слагаш го на масата,
след това бръкваш в торбата
и изваждаш друго топче, и ако и то е зелено,
тогава ще спечелиш награда:
ще спечелиш един долар, ако извадиш две зелени топчета.
И казваш: "това звучи като интересна игра,
колко струва една?"
И момчето ти казва, че цената е 35 цента.
Очевидно това е казино с ниски залози.
А моят въпрос към теб е: би ли искал/а да играеш тази игра?
И не я свързвай със забавление.
От икономическа гледна точка има ли за теб смисъл да играеш тази игра?
Нека малко обмислим вероятностите.
Първо – каква е вероятността първото топче, което изтеглиш, да е зелено?
Каква е вероятността първото топче да е зелено?
Всъщност нека напиша "първо зелено".
Вероятност за първо зелено топче.
Ами, общият брой възможни резултати –
Има 5 еднакви вероятности за 5 топчета.
Т.е. налице са 5 възможни резултата.
3 от тях удовлетворяват нашето събитие първото топче да е зелено.
Т.е. има три пети вероятност първото топче да е зелено.
Така имаме 3/5 вероятност.
3/5 вероятност би трябвало да кажа,
че след този пръв избор ти един вид още си в играта.
Това, което реално ни интересува, е вероятността за победа в играта.
Искаш първото топче да е зелено, и второто да е зелено.
Нека обмислим това. Каква е вероятността
първото топче да е зелено.
Ще напиша "з" за "зелено".
И второто да е зелено.
Сега може да се изкушиш да кажеш,
"О, ами второто да е зелено е със същата вероятност, 3/5.
Мога просто да умножа три пети по три пети.
И ще получа девет върху двадесет и пет.
Изглежда доста просто."
Но тук трябва да се осъзнае какво правим с това първо зелено топче.
Ние не го изваждаме, поглеждаме го и го връщаме обратно в торбата.
Когато вадим втория път, броят на зелените топчета, които са в торбата,
зависи от това какво сме извадили при първото изваждане.
Спомни си, изваждаме топчето,
ако е зелено или каквото там е.
Каквото и да е, след първото изваждане го оставяме на масата.
Не го връщаме, така че тук няма никакво върщане.
И няма независими събития.
Нека да изясним това, не е независимо.
По-точно второто изваждане зависи от първото.
Зависимо е от първото изваждане.
Ако при първото изваждане топчето е зелено, тогава нямаме три зелени топчета в торба с пет топчета.
Ако при първото изваждане топчето е зелено, сега има две зелени топчета в торба с четири топчета.
Така че тук разглеждаме вероятността да се случат две неща.
Да, определено това е равно на вероятността първото топче да е зелено,
умножено по... сега това е един вид новото – по вероятността второто топче
да е зелено... и тази малка черта тук,
тази права черта тук, тя означава "при условие, че".
"При условие, че", това означава "при условие, че".
"При условие, че" първото топче е зелено.
Каква е вероятността второто топче да е зелено, при условие, че първото топче е зелено?
Начертахме тази схема.
Ако първото топче е зелено, има четири възможни резултата,
вече не са пет.
И два от тях удовлетворяват нашите критерии.
Така че вероятността първото топче да е зелено и второто да е зелено
ще е вероятността първото да е зелено –
така че ще имаме три пети, умножено по
вероятността второто топче да е зелено, при условие, че първото е зелено.
Сега имаме едно топче по-малко в торбата и приемаме, че
при първото изваждане топчето е било зелено.
Така че са останали само две зелени топчета.
От тук каква излиза общата вероятност?
Нека видим. Три пети, умножено по две четвърти;
две четвърти са равни на една втора.
Това ще е равно на три пети, умножено по една втора,
което дава три десети.
Или можем да запишем това като 0,30.
Или можем да кажем, че има 30 процента вероятност
да се извадят две зелени топчета, когато не извършваме някаква замяна.
Та при това, което ни е дадено, нека пак ти задам един въпрос.
Ще искаш ли да играеш тази игра?
Ако играеш тази игра много, много, много, много пъти,
горе-долу имаш 30 процента вероятност
да спечелиш един долар.
Още не сме разглеждали този материал,
така че твоята очаквана стойност реално ще е
30 процента, умножени по един долар.
Това ти дава предварителна представа.
Това ще бъдат тридесет цента.
Тридесет процента вероятност да се спечели един долар
можем да очакваме, долу-горе,
ако играем играта много, много, много пъти,
тази игра да ни донесе 30 цента.
Ще дадеш ли на някого
35 цента, за да получиш средно 30 цента?
Не! Няма да искаш да играеш тази игра.
Сега искам да прецениш
дали ще искаш да играеш тази игра,
ако след първото теглене можеш да замениш зеленото топче.
След първото изваждане на топчето, можеш да върнеш зеленото топче .
Ще искаш ли да играеш играта при това условие?
Představme si, že jsme v nějakém podivném kasínu
s podivnými hrami.
A přijdete ke stolu a na tom stole je
prázdná taška.
a muž, který se o ten stůl stará řekne:,, Podívejte, mám tu nějaké kuličky,
3 zelené, 2 oranžové, a dám je do tašky
A vysype je do tašky.
Aby vám ukázal, že jsou tam opravdu 3 zelené a 2 oranžové kuličky.
A řekne:,, Hra, kterou chci, abyste hrál, když budete mít zájem,
spočívá v tom, že se nebudete dívat a strčíte ruku do tašky.
Taška není průhledná.
Všechny kuličky jsou na dotek stejné.
A když budete schopen vybrat 2 zelené kuličky,
tedy když vytáhnete jednu kuličku, ta bude zelená, dáte ji na stůl a
pak znovu zalovíte v tašce,
vytáhnete druhou kuličku a ta bude taky zelená,
tak vyhrajete cenu.
Dostanete 1 dolar, když vytáhnete 2 zelené kuličky.
Vy řeknete: to zní jako dobrá hra.
Kolik stojí si zahrát?
A ten muž řekne, že to stojí 35 centů.
Takže malý risk.
Moje otázka zní, chcete hrát tu hru?
Ale nepočítejte do toho faktor zábavy.
Jen prostě ekonomicky, dává smysl tu hru hrát?
Podíváme se na to trochu pravděpodobnostně.
Jaká je pravděpodobnost, že první kulička bude zelená?
Jaká je pravděpodobnost, že první je zelená?
Napíšu prostě první zelená.
Pravděpodobnost první zelená.
Takže, kolik je možných výsledků?
Je tam 5 kuliček, všechny vytáhneme se stejnou pravděpodobností.
To je celkem 5 možných výsledků.
3 z nich vyhovují scénáři, že první je zelená.
Takže je tam 3/5 pravděpodobnost, že první je zelená.
Máte 3/5 šanci.
3/5 pravděpodobnost, bych měl říct,
že po prvním tahu jste pořád ve hře.
Teď, co nás zajímá, je pravděpodobnost, že vyhrajete.
Chcete, aby první byla zelená a druhá taky zelená.
Tak se nad tím zamysleme. Jaká je pravděpodobnost,
že první je zelená.
napíšu g jako zelená,
a druhá je taky zelená?
Možná vás láká říct,
že druhá bude zelená se stejnou pravděpodobností,
tedy 3/5. Takže můžu prostě vynásobit 3/5 krát 3/5
a dostanu 9/25
Vypadá to jasně.
Ale musíte si uvědomit, co děláte s tou první kuličkou.
Neberete ji ven, díváte se na ni a pak ji zase vracíte.
Takže když pak znovu losujete, počet kuliček v sáčku
záleží na tom, jaký byl první výběr.
Pamatujte, že tu kuličku vyndáme.
ať už je to zelená kulička, nebo ne.
Ať je náš první výběr jakýkoli, necháme kuličku na stole.
Nenahrazujeme to, není tam žádné nahrazení.
Takže tam nejsou nezávislé události.
Tak to ujasním, ne nezávislé.
Nebo konkrétně, druhý výběr je závislý na prvním.
Záleží na prvním výběru.
Když je první kulička zelená, pak nemáte v sáčku 3 zelené kuličky z 5.
Když je první zelená, pak tam budou 2 zelené kuličky ze 4.
Takže bych to nazval pravděpodobností, že se stanou obě tyto věci.
Určitě se to rovná pravděpodobnosti, že první bude zelená, krát...
teď přijde ta nová myšlenka... krát pravděpodobnost, že druhá bude taky zelená.
Tady napíšu malou čárku,
takhle rovná, vertikální čára znamená za podmínky
Za podmínky, že se stalo něco jiného.
Za podmínky, že první kulička byla zelená.
Teď, jaká je pravděpodobnost, že druhá kulička bude zelená, když víme, že první byla zelená?
Nakreslili jsme si tu situaci tady.
Jestliže je první zelená, tak tam jsou další 4 možné výsledky,
už ne 5
A dvě odpovídají kritériu.
Takže 2 z nich odpovídají kritériu.
Takže zkoumáme pravděpodobnost, že první bude zelená a druhá bude taky zelená.
To se bude rovnat pravděpodobnosti, že první je zelená,
což je 3/5,
krát pravděpodobnost, že druhá bude zelená, když první byla zelená.
Takže máme o jednu kuličku míň a předpokládáme, že první byla zelená.
Takže pak tam zbývají jen 2 zelené.
Co nám to dává jako konečnou pravděpodobnost?
Tak se na to podívejme. 3/5 krát 2/4
no, 2/4 je to samé jako 1/2.
To se bude rovna 3/5 krát 1/2
Což se rovná 3/10.
Nebo to můžeme zapsat jako 0,30.
Nebo můžeme říct, že máme 30% šanci
si vybrat zelenou kuličku, když ji nevracíme zpátky do sáčku.
Takže, když tohle víme, zeptám se vás:
Chtěli byste ji hrát?
Když budete tuhle hru hrát hodněkrát,
v průměru, máte 30% šanci
vyhrát 1 dolar.
A o tom jsme se ještě nebavili
Takže vaše předpokládaná hodnota bude
30 % krát 1 dolar
To vám dává trochu předběžný náhled.
To bude 30 centů.
30% šance výhry 1 dolaru.
Předpokládali byste, v průměru,
že když budete hrát hodněkrát, tak vám
ta hra dá 30 centů.
Chtěli byste někomu dát
35 centů, abyste pak dostali v průměru 30?
Ne! Nechtěli byste hrát takovou hru.
Nechám vás, abyste se nad jednou věcí zamysleli sami:
Chtěli byste hrát tuhle hru,
kdybyste mohli vrátit zelenou kuličku po prvním tahu do sáčku?
Po prvním tahu byste ji tam mohli hodit zpátky.
Chtěli byste hrát takovouhle hru?
Lad os forestille os, at vi er på et meget mærkeligt kasino
med nogle underlige spil.
Vi går op til et bord,
og på bordet ligger en tom pose.
Fyren, der styrer bordet siger: "Jeg har nogle glaskugler her.
3 grønne og 2 orange. Jeg putter dem ned i posen."
Så kaster han dem ellers ned i posen.
Der er 3 grønne og 2 orange.
Han siger så: "Vi skal spille et spil,
hvor I skal kigge væk, stikke en hånd ned i posen,
mærke lidt rundt på glaskuglerne,
tage en,
og hvis I får 2 grønne kugler i træk,
vinder I 1 krone."
Vi skal altså stikke hånden ned i posen,
og hvis vi tager 2 grønne i træk 1 ad gangen,
vinder vi 1 krone.
Det er ikke meget, men hvis vi fortsætter længe nok, kan vi vinde mange penge.
Vi spørger ham fyren, hvor meget det koster at prøve.
Det koster 35 øre.
.
Det er altså et ret billigt kasino.
Nu er spørgsmålet så: Er det klogt at gå med i spillet?
Vi skal kun se, om vi kan tjene penge på det.
Giver det mening at spille det?
Lad os udregne nogle sandsynligheder.
Hvad er sandsynligheden for, at den første kugle er grøn?
.
Sandsynligheden for, at den første er grøn.
.
Hvor mange mulige udfald er der i alt?
Der er 5 kugler, og sandsynligheden er lige stor ved dem alle.
Der er altså 5 mulige udfald.
3 af dem er grønne, så 3 opfylder betingelsen.
Der er altså 3/5 chance for, at den første er grøn.
.
Hvis vi starter med en grøn, er vi stadig med i spillet.
Vi vil dog gerne vinde.
Både den første og den anden skal være grønne.
Hvad er sandsynligheden for,
at både den første og den anden
er grønne?
Vi skriver g for grøn.
Måske tænker vi først,
at sandsynligheden ved kugle nummer 2 er den samme.
Så skulle vi gange 3/5 med 3/5,
og det giver 9 over 25.
Det er jo ret let.
Men hvad gør vi med den første grønne kugle?
Vi lægger den jo ikke ned i posen igen bagefter.
Når vi tager den anden kugle,
kommer antallet af grønne kugler tilbage i posen jo an på, hvad vi tog første gang.
Vi tager kuglen op af posen og lægger den på bordet.
Vi lægger
den ikke tilbage igen.
Begivenhederne
er altså ikke uafhængige.
De er afhængige.
Begivenhed nummer 2 er afhængig af begivenhed nummer 1.
Det kommer an på, hvad vi trak i begivenhed nummer 1.
Hvis vi trækker en grøn i første træk, er der ikke længere 3 grønne tilbage i posen.
Så er der kun 2 tilbage.
Sandsynligheden for at trække 2 grønne er altså
lig med sandsynligheden for at trække den første grønne
gange sandsynligheden for at trække endnu en grøn
givet vi trak en grøn i første forsøg.
Den her lodrette streg betyder givet.
Givet betyder, at vi går ud fra det.
.
Hvad er sandsynligheden for, at den anden kugle er grøn givet den første kugle er grøn?
.
Hvis den første kugle er grøn,
er der 4 og ikke 5 mulige udfald tilbage.
2 af dem opfylder betingelsen.
2 af dem er grønne.
Vi skal gange de 2 begivenheders sandsynligheder sammen.
Sandsynligheden for, at den første er grøn,
er 3/5.
Hvad er sandsynligheden for, at den anden er grøn?
Der er 1 kugle mindre i posen. Vi trak jo en grøn i første forsøg.
Der er kun 2 grønne tilbage nu.
.
3/5 gange 2/4.
2/4 er det samme som 1/2.
3/5 gange 1/2.
Det er lig med 3/10.
Det er 0,30.
Det er 30 procent.
Der er altså 30 procent chance for at trække 2 grønne kugler i træk.
Lad os nu vende tilbage til spørgsmålet.
Bør vi spille spillet?
Hvis vi spiller spillet mange gange,
er der gennemsnitligt 30 procent chance
for at vinde 1 krone.
.
Det er altså 30 procent gange 1 krone.
.
Det er 30 øre.
.
Hvert spil giver derfor
gennemsnitligt 30 øre,
når der er 30 procent chance for at vinde 1 krone.
Er det smart
at betale 35 øre for at vinde 30 øre?
.
Nej. Vi bør holde os fra spillet, hvis vi vil tjene penge.
Vi kan tænke over,
om vi vil spille spillet,
hvis vi lægger den grønne kugle tilbage i posen igen
efter første træk.
Måske vil vi så gerne spille spillet?
בואו נדמיין את עצמנו באיזה קזינו מוזר,
שיש בו משחקים מאוד מוזרים.
ואתם ניגשים לשולחן, ועל השולחן
יש שק ריק.
והאיש שמנהל את המשחק אומר "תראה, יש לי כמה גולות כאן,
שלוש גולות ירוקות, שתיים כתומות, ואני הולך לשים אותן בתוך השק",
והוא באמת מכניס אותן לשק הריק
הינה, רק כדי להראות שבאמת יש שלוש גולות ירוקות ושתיים כתומות.
והוא אומר, "המשחק שאני רוצה שתשחק, אם אתה מעוניין,
הוא כזה: אתה תסתכל הצידה, תכניס את היד אל השק,
(השק אינו שקוף)
תמשש את הגולות, כולן מרגישות אותו דבר בדיוק,
ואם תצליח להוציא שתי גולות ירוקות באופן הבא:
אם אתה מצליח להוציא גולה ירוקה אחת אתה מניח אותה על השולחן,
ואז מחזיר את היד לשק
ושולף גולה אחר, ואם גם היא ירוקה
אז אתה תזכה בפרס של...
בפרס של דולר אחד, אם שתי הגולות ירוקות.
אז אתה אומר: "זה נשמע כמו משחק מעניין,
כמה עולה לשחק?"
והבחור עונה לך שעולה 35 סנטים (0.35 דולר) לשחק.
אז בבירור, מדובר בקזינו זול.
אז השאלה שלי אליכם היא, האם אתם רוצים לשחק במשחק הזה?
ובואו לא נחשיב את האלמנט הכיפי של זה,
רק מבחינה כלכלית, האם זה הגיוני עבורך לשחק במשחק הזה?
טוב, בואו נסתכל קצת על ההסתברויות:
אז דבר ראשון, מה ההסתברות שהגולה הראשונה שתוציא תהיה ירוקה?
מה הסיכוי שהגולה הראשונה תהיה ירוקה?
למעשה אני פשוט אכתוב את זה בתור "ראשון ירוק".
זה ייצג את ההסתברות שהשליפה הראשונה תהיה של גולה ירוקה.
ובכן, מספר האפשרויות הכולל
הוא, יש חמש גולות, שלכל אחת מהן הסתברות שווה להישלף,
אז יש חמש אפשרויות,
3 מתוכן מספקות את האירוע בו הגולה הראשונה היא ירוקה.
אז יש סיכוי של 3/5 שהגולה הראשונה ירוקה.
סיכוי של שלוש חמישיות.
אז שלוש חמישיות זו למעשה ההסתברות
שאחרי הפעם הראשונה שאתה שולף אתה עדיין במשחק.
עכשיו, מה שבאמת איכפת לנו ממנו הוא מה ההסתברות לנצח במשחק.
אתה צריך לשלוף את הראשון ירוק, וגם את השני ירוק.
אז בואו נחשוב קצת: מה הסיכוי
שהראשון ירוק
אני פשוט ארשום 'g' בשביל green
וגם השני ירוק.
אולי אתם מתפתים להגיד
"ובכן, ההסתברות שבפעם השנייה תשלוף ירוק היא אותה היסתברות -
שלוש חמישיות. אז אני יכול פשוט להכפיל שלוש חמישיות בשלוש חמישיות,
ואני אקבל תשע חלקי עשרים וחמש.
זה נראה כמו הדבר הנכון."
אבל העניין כאן הוא מה שאתה עושה עם הגולה הראשונה:
אתה לא מוציא את הגולה הראשונה, מסתכל עליה ומחזיר אותה לשק.
אז כאשר אתה שולף בפעם השנייה, המספר של הגולות הירוקות בשק
תלוי בגולה ששלפת קודם.
זיכרו! אנחנו מוציאים את הגולה
ולא משנה אם היא ירוקה או לא,
בכל מקרה אנחנו משאירים אותה על השולחן.
אנחנו לא מחליפים אותה בשום גולה אחרת, אז אין פה החלפה כלשהי.
אז אלו לא אירועים עצמאיים.
תנו לי להבהיר- האירועים לא עצמאיים!
או בפרט, השליפה השנייה תלוייה בראשונה.
תלוייה בראשונה.
אם בהתחלה שלפת ירוק, כבר אין לך שלוש גולות ירוקות בשק של חמש,
אם שלפת ירוק בהתחלה, יש לך עכשיו שתי גולות ירוקות בשק של ארבע גולות.
אז בעצם נתייחס לניצחון בתור הסיכוי ששני אלו יקרו,
אז ההסתברות לנצח שווה לסיכוי לירוק בהתחלה,
כפול , וזה מה שחדש לנו, הסיכוי לירוק בשליפה השנייה,
בהנחה, הקו הקטן הזה כאן
האנך הישר הזה מסמן "בהנחה",
או בהינתן,
בהנחה שראשונה הייתה ירוקה.
אז עכשיו, מה הסיכוי שבפעם השניה תשלוף ירוק, בהנחה שבפעם הראשונה שלפת ירוק?
טוב ציירנו את המקרה הזה ממש כאן
אם הגולה הראשונה היא ירוקה, אז יש רק ארבע אפשרויות לשליפה,
כבר לא חמש.
ומתוכן שתיים מספקות את התנאי שהצבת - ירוק.
אז שתיים עומדות בתנאי.
אז ההסתברות שגם הגולה הראשונה וגם השנייה יהיו ירוקות,
עומדת להיות: ההסתברות שהגולה הראשונה תהיה ירוקה,
אז זה עומד להיות שלוש חמישיות,
כפול ההסתברות שהגולה השנייה תהיה ירוקה בהינתן שהראשונה ירוקה.
עכשיו יש לנו גולה אחת פחות בשק, ואנחנו מניחים שהשליפה הראשונה הייתה של ירוק,
אז נשארו לנו רק שתי גולות יוקות.
אז מה ההסתברות לנצח?
בואו נראה: שלוש חמישיות כפול שני רבעים.
טוב שני רבעים זה כמו חצי,
אז זה יהיה שווה לחצי של שלוש חמישיות,
כלומר שלוש עשיריות.
או שאפשר לרשום אתה בתור 0.30
או בתור סיכוי של 30%
לנצח כאשר אנחנו שולפים שתי גולות ולא מחזירים אותן.
אז בהינתן זאת, תנו לי לשאול אתכם שוב,
האם אתם רוצים לשחק במשחק?
ובכן, אם הייתם משחקים הרבה הרבה הרבה הרבה פעמים
בממוצע, היה לכם סיכוי של 30%
להשיג את הדולר.
עוד לא דיברנו על זה,
אבל בטווח ארוך אתם צריכים לצפות לרווח
של בממוצע 30% של דולר.
אז זה נותן לכם סוג של תצוגה מקדימה.
אז זה יצא 30 סנטים (0.3 דולר)
סיכוי של 30% לזכות בדולר אחד,
היית מצפה שבממוצע
אם היית משחק הרבה הרבה הרבה פעמים
שבכל משחק יהיה לך רווח של 30 סנטים, כלומר תזכה בערך בשלושה מתוך עשרה משחקים.
עכשיו, האם היית רוצה לשלם למישהו
35 סנטים, כאשר הממוצע של הזכייה הוא 30 סנטים?
לא! אז התשובה היא שלא תרצה לשחק במשחק הזה.
עכשיו מה שאני אשאיר אתכם לחשוב עליו הוא,
האם תרצו לשחק את המשחק הזה
אילו הייתם מחזירים את הגולה הירוקה הראשונה ששלפתם,
אם אחרי שהייתם שולפים אותה הייתם יכולים להחזיר אותה לשק.
האם הייתם רוצים לשחק במקרה כזה?
Immaginiamo di essere in un casinò
Pieno di giochi strani
E ci avviciniamo a un tavolo, e su questo tavolo
c'è un sacchetto vuoto
e il ragazzo che gestisce il tavolo dice, "Guarda, ho delle biglie qui"
tre biglie verdi, due biglie arancioni, e ora le infilo nel sacchetto.
E le infila davvero nel sacchetto vuoto.
Per dimostrarti che ci sono veramente tre biglie verdi e due arancioni
lui dice, ŇIl gioco che voglio farti fare, se tu decidi di giocare,
di farti mettere la mano nel sacchetto, mentre guardi da unŐaltra parte,
Il sacchetto non trasparente
Devi sentire bene le biglie, e tutte al tatto sembrano uguali,
Ma se sarai capace di prendere due biglie verdi ,
Cio se sarai capace di estrarre prima una biglia verde, e dopo averla messa sul tavolo,
E dopo aver rimesso la mano nel sacchetto
Se sarai capace di prendere unŐaltra biglia verde,
Allora vincerai un premio
vincerai un dollaro se riuscirai a estrarre due biglie verdi.
Allora che dici, Ň sembra proprio un bel giocoÓ
Quanto costa giocare ?Ó
E il ragazzo ti dice che per giocare gli devi dare 35 centesimi.
Dobbiamo dire che le puntate sono ragionevoli in questo casin.
Allora la mia domanda questa, ti piacerebbe giocare a questo gioco?
Non farti convincere dallŐidea di divertirti.
Valuta solo il fattore economico, vale la pena di partecipare a questo gioco?
Ragioniamo un poŐ in termini di probabilit.
Prima di tutto, quante probabilit hai che la prima biglia che estrai sia verde?
quante probabilit hai che É la prima biglia sia verde?
Dunque , ora scrivo Ňprobabilit prima verdeÓ
ŇProbabilit prima verdeÓ
Allora, i possibili risultati finali
Ci sono cinque biglie tutte estraibili con uguale probabilit
Quindi ci sono cinque possibili risultati
Tre di loro verificano lŐevento che la prima biglia sia verde
Quindi ci sono tre probabilit su cinque che la prima sia verde
Quindi hai tre-quinti delle probabilit
tre quinti delle probabilit, direi che
dopo quella prima scelta il gioco si fa pi difficile.
Ora, ci che realmente ci interessa la tua probabilit di vincere.
Tu vuoi che la prima sia verde, e anche la seconda.
Allora, riflettiamoci un po'. Qual la probabilit
Che la prima sia verde,
Mi limiter a scrivere ŇgÓ per green ŇverdeÓ
E che la seconda sia verde?
Ora, si potrebbe essere tentati di dire
"Allora, la probabilit che la seconda sia verde la stessa,
tre quinti delle probabilit. Posso solo moltiplicare tre quinti per tre quinti
E avr nove venticinquesimi
Sembra una cosa abbastanza automatica
Ma bisogna capire che cosa succede con la prima biglia verde.
Non estrai la prima biglia verde, la guardi, e la rimetti nel sacchetto.
Cos, quando si estrae la seconda biglia, il numero di biglie verdi che si trovano nel sacchetto
dipende da quale biglia hai estratto la prima volta.
Ricorda, quando estrai la biglia,
se verde o di qualunque altro colore,
Comunque dopo la prima estrazione, la lasci sul tavolo.
Non la rimetti nel sacchetto, quindi non c' alcuna reimmissione.
Quindi questi non sono eventi indipendenti.
Voglio chiarire questo punto, non sono indipendenti.
O in particolare, la seconda estrazione dipende dalla prima
Dipende dalla prima estrazione
Se la prima scelta verde, allora non avrai tre biglie verdi in un sacchetto di cinque
Se la prima scelta verde, tu avrai due biglie verdi in una sacchetto di quattro
Cos possiamo dire che la probabilit di estrarre entrambe le biglie verdi
S, sicuramente uguale alla probabilit che la prima biglia sia verde
Per, ora questa unŐ idea un poŐ nuova, la probabilit che la seconda sia verde
Noto che, questa piccola linea qui
Questa linea verticale significa given (noto che, dato che, sapendo che)
Noto che, questo significa noto che
Noto che la prima era verde.
Ora quante probabilit ci sono che la seconda biglia sia verde noto che la prima era verde?
Allora, abbiamo disegnato proprio questo scenario qui
Se la prima biglia verde ci sono 4 possibili risultati
Non pi 5
E 2 di loro soddisfano i tuoi criteri
Cos 2 di loro soddisfano i tuoi criteri
Cos la probabilit che la prima biglia sia verde e che la seconda biglia sia verde
sar la probabilit che la prima sia verde,
Cos sar 3/5
Per la probabilit che la seconda sia verde noto che la prima era verde
Adesso, hai una biglia in meno nel sacchetto e stiamo supponendo che la prima estrazione sia verde
Quindi ora hai solo 2 biglie verdi rimaste.
E cos cosa avremo come probabilit totale?
Vediamo. 3/5 per 2/4
Bene 2/4 lo stessa cosa di 1/2
Questo sar uguale a 3/5 per 1/2
che uguale a 3/10
Oppure potremmo scriverlo come 0,30
Oppure potremmo dire che c' il 30% di probabilit
Di estrarre due biglie verdi quando quella estratta non viene reimmessa.
Quindi, premesso tutto ci, ti rivolgo nuovamente la domanda
Vuoi giocare a questo gioco?
Allora, se giocassi a questo gioco tante,tante,tante,tante volte
In media, avresti il 30 per cento della probabilit
Di vincere un dollaro
E non abbiamo ancora visto questo aspetto
Ma quindi la tua aspettativa di vincita sar
30 per cento per un dollaro
Questo ti permette di vedere
Che potresti vincere trenta centesimi
Trenta per cento di probabilit di vincere un dollaro
Ci si potrebbe aspettare, in media,
se si dovesse giocare molte, molte, molte volte
che potresti ottenere 30 centesimi
Ora, tu daresti
35 centesimi per ricevere in media 30 centesimi?
No! Non vorresti giocare a questo gioco!
Ora, vi lascio facendovi pensare ad una cosa,
Vorresti giocare a questo gioco
Se si potesse reinserire nel sacchetto la biglia verde estratta alla prima scelta?
Dopo la prima estrazione, se si potesse reinserire la biglia verde estratta
Vorresti giocare con questo nuovo scenario?
僕らは今、とあるおかしなカジノにいると考えよう。
とてもおかしなゲームをしているカジノさ。
君はテーブルに近づくと、その上には
空の袋があるんだ。
テーブルを取り仕切る奴はこう言う、「見て、ここにいくつかビー玉がある。
3つの緑色のビー玉と、2つのオレンジ色のビー玉さ。 これを袋に突っ込む。」
その言葉通り、彼はビー玉を空の袋に突っ込んだので
中には3つの緑色のビー玉と2つのオレンジ色のビー玉があることが確実に分かる。
そして彼は言う、 「君にプレイしてもらいたいゲームは、もし君が乗り気ならだけど、
中を見ずに袋に手を入れてもらう。
袋は透明でないし
ビー玉の質感は全く同じだ。
2つの緑色のビー玉を取り出せたら君の勝ち。
まず1回目に取り出したビー玉が緑なら、 それをテーブルの上に置く。
そしてもう一度袋に手を入れ
もう1つビー玉を取り出す。それもまた緑色なら
君は賞金を受け取る。
2つの緑のビー玉を取り出せば 1ドルの賞金だ。」
それで君は答える。
「面白そうなゲームだね。 賭け金はいくら？」
そいつは 35セントだと答える。
言うまでもなく、かなり賭け金の低いカジノだ。
さてここで問題だ、 君はこのゲームをプレイしたいと思うかい？
ただし、面白さについては考慮しないことにしよう。
お金の損得だけを考えた時、 このゲームをプレイするのは理にかなうだろうか？
さて、確率についてしばし考えよう。
まず最初に、1番目に取り出したビー玉が緑色である確率はどのくらいだろう？
1番目のビー玉が緑色である確率は？
おっと、「最初が緑」と略させてもらうよ。
「最初が緑の確率」と。
起こりうる全ての場合の数は、
同様に確からしい5つのビー玉があるから、
全部で5通りある。
そのうち「最初は緑」となる事象は3つだから
最初が緑になる確率は 3/5 だ。
だから君には 3/5 の見込みがあるわけだ。
3/5 の確率、だけど気を付けるべきは
1つ取り出した後もゲームはまだ続いてるってことだ。
今、本当に関心があるのは、ゲームに勝つ確率だ。
1つ目が緑で、さらに2つ目も緑になってほしいのさ。
これについて少し考えよう。 最初が緑になる
確率はどのくらいだろう？
「g」と略して書くことにしよう。
次に2番目が緑になる確率は？
もしかすると、君はこう言いたくなるかもしれない。
「ああきっと、2番目が緑の確率も同じように 3/5 で、
単に 3/5 と 3/5 を掛ければ良いんだよ。
だから 9/25 が答えさ。
簡単なことじゃないか。」
でも、1番目の緑のビー玉の扱いを思い出してほしい。
1番目の緑のビー玉を取り出して、それを見た後、君はそれを袋に戻さない。
だから2回目に取り出す時、袋の中の緑のビー玉の数は
1回目の取り出しによって変わっているんだ。
ビー玉を取り出した時、
それが緑色であろうと、そうでなかろうと、
1回目に取り出したものはテーブルの上に置いておくことに注意しよう。
ビー玉はもとの袋に戻らないから、取り出した分は減ってしまう。
だから1回目と2回目の事象は独立でない。
「独立でない」という言葉の意味を明確にしよう。
言い換えるなら、2回目の取り出しは1回目に依存する。
「1回目に依存」と。
1回目に緑が出た時、バッグの中のビー玉は5つ、うち3つが緑色、というわけではなく
1回目が緑なら、残りのビー玉は4つ、うち緑色なのは2つだ。
これによって、2つの事象が起こる確率が分かる。
そう、最初が緑の確率は常に一定だ。
掛ける、ここが今回の新しい考え方だけど、2回目が緑の確率を求めるには
ある条件を考慮する必要がある。この小さい垂直な線は、
ある条件を満たした上での確率であることを示す。
ここで、条件があることを示すんだよ。
次に条件を書く。ここでは「最初が緑」が条件だ。
最初が緑だったと仮定して、2回目が緑になる確率はいくつだろう？
さて、ここに筋書きを描こう。
1回目のビー玉が緑なら、残りの起こりうる事象は4通りある。
5通りではないよ。
そのうち基準を満たすのは2通りだ。
基準を満たすのは2通りだよ。
だから1回目のビー玉が緑で、さらに2回目のビー玉も緑になる確率は
まず最初が緑になる確率、
つまり 3/5 だね。
掛ける、1回目が緑と仮定した時の、2回目が緑となる確率。
今 袋の中のビー玉は1つ減っていて、1回目が緑だと仮定しているから
残りの緑のビー玉は2つだけだ。
この式によると、最終的な確率はいくつだろう？
ええと、3/5 掛ける 2/4 で、
2/4 は 1/2 と等しいから
3/5 掛ける 1/2 となって
イコール 3/10 だ。
0.30 とも書けるし、
袋に戻すことなく2つの緑のビー玉を取り出すのに
30%の見込みがあるとも言える。
さて、これをもとに、もう一度問題を考えてみよう。
このゲームをプレイしたいと思うかい？
さて、このゲームをとてもとてもたくさんプレイした時、
平均すると30%の確率で
賞金の1ドルを得る。
まだ終わりじゃないよ。
賞金の期待値を計算すると、
30% 掛ける 1ドル、
あくまで目安だけど、
30セントになる。
30%の確率で1ドルを得るから、
ゲームをとてもとてもたくさんプレイした時に
期待できる賞金は
1ゲームあたり平均30セントだ。
さて、君は平均30セントを得るために
35セントを支払いたいと思うかい？
嫌だね。そんなことはしたくない。
ここでもう一つ考えてほしいことがある。
もし最初に緑のビー玉を
取り出した後、それを袋に戻せるなら
そのゲームをプレイしたいと思うかな？
この条件でプレイしたいか、考えてみよう。
우리가 이상한 카지노에 있다고 상상해봅시다.
여기엔 이상한 게임이 있습니다.
당신은 한 탁자로 걸어가고, 탁자 위에는
비어있는 자루가 있습니다.
탁자 관리인이 말하길, "보세요, 제가 구슬을 가지고 있어요,
초록색 3개와 주황색 2개가 있는데, 이걸 다 자루에 넣을 겁니다."
그 사람은 말대로 빈 자루에 그것들을 넣습니다.
정말로 초록 구슬 3개와 주황 구슬 2개가 있다는 걸 보여주기 위해서요.
그리고 그가 말하길, "제가 하고 싶은, 아니면 당신이 원하는 이 게임은,
우선 보지 않고, 손을 자루 안에 넣습니다.
자루는 불투명합니다.
구슬을 한 번 만져보면, 모든 구슬의 촉감은 같습니다.
그리고 만약 당신이 2개의 초록색 구슬을 골라낸다면,
만약 당신이 구슬을 한 개 꺼냈는데 초록색이라면, 탁자에 놓은 후
손을 다시 자루 속으로 넣습니다.
구슬을 한 개 더 꺼내고, 만약 그것도 초록색이라면
당신은 상품을 얻게 될 것입니다.
2개의 초록 구슬을 골라내면 1달러를 받을 것입니다."
당신은 말합니다, "흥미로운 게임 같군요.
게임 비용이 얼마입니까?
그리고 남자가 말하길, 35센트가 든다고 합니다.
확실히, 비교적 낮은 판돈의 카지노 게임이죠.
그래서 제 질문은, 이 게임을 하고 싶으신가요?
그리고 재미요소를 가미해 생각하지 마세요.
경제적으로 생각했을 때, 당신은 이 게임을 하는 것이 좋을까요?
일단, 확률에 대해 조금 생각해봅시다.
우선, 처음 뽑은 구슬이 초록색일 확률은 얼마입니까?
첫 구슬이 초록색일 확률이 얼마인가요?
첫 번째가 초록색이라고 그냥 쓰겠습니다.
첫 번째가 초록색일 확률
가능한 총 경우의 수를 구하자면,
모두 같아 보이는 다섯 개의 구슬이 있죠,
그래서 다섯 가지 가능한 경우가 있습니다.
이 5가지 경우 중 세 가지는 첫 번째가 초록색이라는 사건을 만족시키죠,
따라서 첫 번째가 초록색일 확률은 3/5입니다.
당신은 3/5의 가능성을 갖습니다.
3/5의 확률, 말하자면,
첫 번째를 뽑은 후 당신은 여전히 게임 중이겠지요.
이제, 우리가 정말로 신경쓸 것은 당신이 게임을 이길 확률입니다.
당신은 첫 번째도 초록색, 두 번째도 초록색이길 원합니다.
이것에 대해 조금 생각해봅시다.
첫 번째가 초록색이고,
초록색을 편의상 "g"라고 쓰겠습니다.
그리고 두 번째도 초록색일 확률은 얼마입니까?
이제, 당신은 이렇게 말하고 싶을지도 모릅니다.
"두 번째 뽑은 구슬이 초록색일 확률은 첫 번째와 같겠네요.
3/5겠지요. 따라서, 나는 3/5와 3/5를 곱하기만 하면 되겠죠?
그러면 9/25가 될 거에요.
꽤 간단한 것 같아 보이네요."
하지만 여기서 깨달을 점은 첫 번째 초록색 구슬을 꺼내 무얼 하는지 입니다.
첫 번째 초록색 구슬을 꺼낸 후, 본 뒤, 다시 자루 속으로 넣지 않습니다.
그러므로 두 번째 뽑기를 할 때에는, 자루 속의 초록색 구슬의 개수는
당신이 첫 번째로 어떤 색깔의 구슬을 뽑았는지에 따라 다릅니다.
기억하세요, 우리는 구슬을 꺼내죠,
그것이 초록색이던 무슨 색 구슬이던,
첫 번째 뽑기에서 얻은 구슬의 색에 상관 없이, 그것을 탁자 위에 놓습니다.
우리는 꺼낸 것을 메우지 않으므로, 자루 속에 구슬을 또 넣지는 않습니다.
따라서 이들은 독립 사건이 아닙니다.
이들이 독립적이지 않다는 것을 명확히 합시다.
혹은 특히, 두 번째 뽑기가 첫 번째에 달려 있다는 것을.
첫 뽑기의 결과에 종속적이라는 것입니다.
만약 첫 뽑기에서 초록색 구슬을 얻었다면, 더 이상 5개의 구슬이 든 자루에 3개의 초록색 구슬이 들어있지 않습니다.
첫 번째 구슬이 초록색이라면, 이제 자루에는 총 4개의 구슬이 있고 그 중 2개가 초록색인 것입니다.
그래서 우리는 이 두 가지가 한꺼번에 일어나는 확률을 보아야 합니다.
네, 첫 번째 구슬이 초록색일 확률은 여전히 같습니다.
그리고, 이 것은 새로운 방식인데, 두 번째 구슬이 초록색일 확률을 곱할 것입니다.
여기 있는 이 선이,
이 세로로 세워져 있는 선은 이미 주어진 바를 나타냅니다.
이미 정해진 사건이죠.
첫 번째 구슬이 초록색이라는 사실을 말입니다.
이제, 첫 구슬이 초록색이라 주어졌을 때, 두 번째 구슬이 초록색일 확률은 얼마일까요?
우리는 여기에 이 상황을 그려 놓았죠,
첫 번째 구슬이 초록색일 때, 4가지의 경우의 수가 있습니다.
더 이상 5가지가 아닙니다.
그리고 그 중 두 가지는 초록색 구슬을 뽑는 경우이겠죠.
그러니까 두 가지 경우가 당신의 조건을 만족시킵니다.
따라서, 첫 번째와 두 번째 구슬이 모두 초록색일 확률은
첫 번째 구슬이 초록색인 확률에,
3/5이죠,
첫 번째 구슬이 초록색이라는 조건 하에, 두 번째 구슬이 초록색일 확률을 곱합니다.
이제 자루에 구슬 하나가 줄었고, 우리는 처음 뽑은 구슬이 초록색이라고 가정하기 때문에
이제는 초록색 구슬 중 두 개만 남아 있습니다.
이 사실이 총 확률에 어떤 영향을 미치게 될까요?
봅시다. 3/5 곱하기 2/4,
2/4는 약분하면 1/2와 같죠,
그래서 3/5 곱하기 1/2가 되고요,
그것은 3/10이 됩니다.
혹은 소수로 0.30이라 쓸 수 있고,
또는 30%의 확률이 있다고 할 수 있겠죠,
뽑은 구슬의 자리를 메우지 않을 때 두 개의 초록색 구슬을 뽑을 확률 말입니다.
이 사실이 주어졌으니, 질문을 다시 해보겠습니다.
이 게임을 하고 싶습니까?
만약 당신이 이 게임을 아주 많이 해 보았다면,
평균적으로, 당신은 30%의 확률으로
게임을 이겨서 1달러를 받을 수 있습니다.
그리고, 아직 우리는 이 부분은 다루지 않았으나,
당신의 기대값은 사실상,
1달러에 30%를 곱한 것일 것입니다.
이것을 통해서 조금 알 수 있듯이,
30센트가 되겠죠.
1달러를 받을 확률은 30%인 것입니다.
당신의 기대치는, 평균적으로,
아주 많이 게임을 한다면
게임을 통해 30센트를 버는 것일 것입니다.
그렇다면, 당신은 누군가에게
평균적으로 30센트를 얻기 위해 35센트를 줄 것인가요?
아니요! 당신은 게임을 하고 싶지 않을 것입니다.
이제, 당신이 한 가지 생각해 보아야 합니다.
이러한 조건에서라면 게임을 하겠습니까?
첫 번째로 뽑은 초록색 구슬을 다시 넣을 수 있다면,
첫 번째 뽑기 후에 초록색 구슬을 다시 넣을 수 있다면,
이러한 상황에서라면 이 게임을 하시겠습니까?
La oss tenke oss at vi er i en veldig merkelig Casino
med noen rare spill.
Vi går opp til et bord,
og på bordet er en tom pose.
Fyren som styrer bordet sier, "Jeg har noen glassperler her.
3 grønne og to oransje. Jeg putter dem i posen. "
Så kaster han dem i posen.
Det er 3 grønne og 2 oransje.
Han sier: "Vi skal spille et spill,
hvor du skal se bort, stikke en hånd ned i posen,
røre litt på glasskulene,
ta en,
og hvis du får 2 grønne kuler på rad,
vinner du 1 krone. "
Vi skal altså stikke hånden ned i posen,
og hvis vi tar 2 grønne på rad, 1 av gangen,
vinner du 1 krone.
Det er ikke mye, men hvis vi fortsetter lenge nok, kan vi vinne mye penger.
Vi spør fyren, hvor mye det koster å prøve.
Det koster 35 øre.
.
Så det er et ganske billig casino.
Nå er spørsmålet: Er det lurt å spille spillet?
Vi skal kun se, om vi kan tjene penger på det.
Er det fornuftig å spille det?
La oss beregne noen sannsynligheter.
Hva er sannsynligheten for at den første ballen er grønn?
.
Sannsynligheten for at den første er grønn.
.
Hvor mange mulige utfall er det totalt?
Det er 5 kuler, og sannsynligheten er like stor på alle av dem.
Så det er 5 mulige utfall.
3 av dem er grønne, så 3 oppfyller betingelsen.
Det er derfor 3/5 sjanse for at den første er grønn.
.
Hvis vi starter med en grønn, er vi fortsatt i spillet.
Men vi ønsker å vinne.
Både den første og den andre skal være grønn.
Hva er sannsynligheten for,
at både den første og den andre
er grønn?
Vi skriver g før grønn.
Kanskje tenker vi først,
at sannsynligheten med kule nummer 2 er den samme.
Så skulle vi gange 3/5 med 3/5,
og det gir 9 over 25.
Det er ganske enkelt.
Men hva gjør vi med den første grønne kulen?
Vi legger den jo ikke ned i posen igjen etterpå.
Når vi tar den andre kulen,
kommer antallet grønne kuler som er igjen i posen an på hva vi trakk første gangen.
Vi tar kulen opp av posen og legger den på bordet.
Vi legger
den ikke tilbake igjen.
Hendelsen
er ikke uavhengig.
De er avhengige.
Hendelse nummer 2 er avhengig av hendelse nummer 1.
Det kommer an på, hva vi trakk i hendelse nummer 1.
Hvis vi trekker grønn i første trekk, er det ikke lenger 3 grønne igjen i posen.
Så det er kun 2 igjen.
Sannsynligheten for å trekke 2 grønne er altså
lik sannsynlighet for å trekke den første grønne
ganger sannsynligheten for å trekke enda en grønn
gitt at vi trakk en grønn på første forsøk.
Denne vertikale linjen betyr gitt.
Gitt betyr at vi antar det.
.
Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er grønn hvis den første kulen er grønn?
.
Hvis den første kulen er grønn,
er det 4 og ikke 5 mulige utfall igjen.
2 av dem oppfyller betingelsen.
2 av de er grønne.
Vi skal gange de 2 betingelsenes sannsynlighet sammen.
Sannsynligheten for at den første er grønn,
er 3/5.
Hva er sannsynligheten for at den andre er grønn?
Det er en kule mindre i posen. Vi trakk jo en grønn på første forsøke.
Det er kun 2 grønne igjen nå.
.
3/5 ganger 2/4.
2/4 er det samme som 1/2.
3/5 ganger 1/2 ganger.
Det er lik 3/10.
Det er 0,30.
Det er 30 prosent.
Så det er 30 prosent sjanse for å trekke 2 grønne kuler på rad.
La oss nå vende tilbake til spørsmålet.
Skal vi spille spillet?
Hvis vi spiller spillet mange ganger,
er i gjennomsnitt 30 prosent sjanse
for å vinne 1 krone.
.
Så det er 30 prosent ganger 1 krone.
.
Det er 30 øre.
.
Hvert spill gir derfor
gjennomsnittlig 30 øre,
når det er en 30 prosent sjanse til å vinne 1 krone.
Er det smart
å betale 35 øre for å vinne 30 øre?
.
Nei. Vi bør holde oss borte fra spillet hvis vi ønsker å tjene penger.
Vi kan tenke over,
om vi ønsker å spille spillet
hvis vi legger den grønne ballen tilbake i posen igjen
etter det første trekket.
Kanskje vi vil spille spillet da?
Wyobraź sobie, że jesteś w pewnym dziwnym kasynie,
w którym są bardzo dziwne gry.
Podchodzisz do stołu, i na tym stole
leży pusty worek
a facet, który kieruje tym stołem mówi: "Mam tutaj kulki -
trzy zielone kulki, dwie pomarańczowe kulki i zamierzam wrzucić je do worka",
po czym wrzuca je do owego pustego worka,
aby pokazać, że naprawdę będą tam tylko trzy zielone i dwie pomarańczowe kulki.
Następnie mówi: "Gra, w którą chcę, abyś zagrał, albo inaczej: gra, w którą chcesz zagrać
polega na tym, że odwracasz wzrok, wkładasz rękę do worka,
(jest on nieprzezroczysty
oraz każda kulka w dotyku jest taka sama)
i jeśli wyciągniesz dwie zielone kulki...
Jeśli wyciągniesz z torby jedną kulkę i będzie zielona, kładziesz ją na stole,
następnie znowu wkładasz rękę do worka
i wyciągasz następną kulkę. Jeśli ona jest także zielona
wygrasz nagrodę...
Wygrasz jednego dolara, jeśli obie kulki będą zielone.
Dobrze, powiesz: "Ta gra wygląda na interesującą,
ale ile kosztuje?"
Mężczyzna odpowiada, że aby zagrać, trzeba zapłacić 35 centów.
Więc oczywiście jest to kasyno o dosyć niskich stawkach.
Mam zatem pytanie: czy chciałbyś zagrać w tę grę?
Nie chodzi oczywiście o zabawę,
lecz o sens ekonomiczny: czy rzeczywiście gra będzie dla ciebie korzystna?
Dobrze, pomyślmy trochę o prawdopodobieństwach.
Na początek zatem: jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kulka, którą wyciągniesz będzie zielona?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kulka jest zielona,
pozwól, że napiszę "pierwsza zielona".
Prawdopodobieństwo, że "pierwsza zielona".
Dobrze, co do możliwych wyników:
mamy 5 kulek, równie prawdopodobnych,
zatem jest 5 możliwych wyników.
3 z nich sprzyjają twojemu zdarzeniu, że pierwsza jest zielona,
zatem prawdopodobieństwo, że pierwsza jest zielona wynosi trzy piąte.
Masz więc trzy piąte szans,
prawdopodobieństwo równe trzy piąte, powinienem raczej powiedzieć,
że po pierwszym ciągnięciu jesteś jakby wciąż w grze.
Tak naprawdę interesuje nas jednak prawdopodobieństwo zwycięstwa w tej grze.
Chcesz, aby pierwsza była zielona i druga również.
Dobrze, pomyślmy nad tym trochę. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że pierwsza jest zielona,
(oznaczę zieloną "g"),
oraz druga jest zielona?
Mógłbyś chcieć powiedzieć:
"och, dobrze, prawdopodobieństwo, że druga jest zielona jest takie samo,
wynosi trzy piąte. Mogę po prostu pomnożyć trzy piąte razy trzy piąte
i dostanę dziewięć dwudziestych piątych,
to wydaje się być proste."
Ale kluczowe tutaj jest to, co robisz z pierwszą zieloną kulką.
Nie jest tak, że wyciągasz kulkę, oglądasz i wrzucasz z powrotem do worka,
więc kiedy ciągniesz kulkę po raz drugi, liczba zielonych kulek w worku
zależy od tego, co wyciągnąłeś za pierwszym razem.
Pamiętaj, wyciągamy kulkę,
jeżeli jest zielona, albo nieważne jaka,
w każdym przypadku po pierwszym ciągnięciu zostawiamy ją na stole.
Nie wrzucamy jej z powrotem, nie ma tu żadnego zwracania,
zatem nie są to zdarzenia niezależne.
Napiszę, żeby było jasne - nie są niezależne
lub, w szczególności, drugie ciągnięcie zależy od pierwszego,
zależy od pierwszego ciągnięcia.
Jeśli wyciągniesz pierwszą kulkę zieloną, to w worku nie ma pięciu kulek, w tym trzech zielonych.
Jeśli pierwsza kulka jest zielona, wtedy masz w worku cztery kulki, z czego dwie zielone.
Zatem musimy rozważać prawdopodobieństwo obu takich zdarzeń.
Tak więc ostatecznie wynosi ono prawdopodobieństwo, że pierwsza zielona
razy (to jest nowy pomysł) prawdopodobieństwo, że druga zielona
pod warunkiem, ta mała kreska tutaj,
prosta pionowa kreska oznacza "pod warunkiem"
pod warunkiem, to oznacza pod warunkiem...
Pod warunkiem, że pierwsza była zielona.
Więc jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kulka jest zielona pod warunkiem, że pierwsza kulka była zielona?
Rozważaliśmy już tutaj taki scenariusz.
Jeżeli pierwsza kulka jest zielona, to istnieją cztery możliwe wyniki,
już nie pięć.
I dwa z nich spełniają twoje kryteria,
więc dwa z nich spełniają twoje kryteria.
Zatem prawdopodobieństwo, że pierwsza kulka jest zielona i druga kulka jest zielona
będzie wynosiło prawdopodobieństwo, że pierwsza jest zielona,
więc to będzie trzy piąte,
razy prawdopodobieństwo, że druga jest zielona pod warunkiem, że pierwsza była zielona.
Teraz masz o jedną mniej kulkę w worku i zakładamy, że pierwsza była zielona,
zatem masz tylko pozostałe dwie zielone kulki.
Więc, jakie to ma znaczenie dla naszego łącznego prawdopodobieństwa?
Zobaczmy. Trzy piąte razy dwie czwarte,
dobrze, dwie czwarte to to samo co jedna druga.
To będzie równe trzy piąte razy jedna druga,
co jest równe trzy dziesiąte.
lub też możemy zapisać to jako zero przecinek trzy zero
albo możemy powiedzieć, że jest 30 procentowa szansa
wyciągnięcia dwóch zielonych kulek bez zwracania.
Więc, wiedząc to, pozwól, że zadam ponownie pytanie:
Czy chciałbyś zagrać w tę grę?
Więc, jeśli grałbyś w tę grę wiele, wiele, wiele, wiele razy,
średnio masz 30 procentową szansę
wygrania jednego dolara.
I, o tym jeszcze nie mówiliśmy,
wartość oczekiwana naprawdę będzie wynosić
30 procent razy jeden dolar,
to jest zapowiedź dalszych tematów,
co będzie równe trzydzieści centów.
Trzydzieści procent szans wygrania jednego dolara, więc
możesz obstawiać, że średnio,
jeżeli grałbyś wiele, wiele, wiele razy,
granie w tę grę daje ci 30 centów.
Teraz, czy chciałbyś dać komuś
35 centów, aby średnio dostać 30 centów?
Nie! Nie chciałbyś grać w tę grę.
Teraz, jedna rzecz, o której dam ci pomyśleć.
Czy chciałbyś grać w tę grę,
gdybyś mógł wrzucić z powrotem zieloną kulkę z pierwszego ciągnięcia,
po pierwszym ciągnięciu, jeśli mógłbyś zwrócić zieloną kulkę,
czy chciałbyś zagrać w tę grę przy takim scenariuszu?
Vamos nos imaginar em algum tipo de casino estranho,
com jogos diferentes.
E você chega em uma mesa
e na mesa há uma bolsa vazia
e o funcionário que cuida da mesa diz "Veja, temos algumas bolinhas aqui,
3 bolinhas verdes, 2 bolinhas laranjas, e vou colocá-las em uma bolsa
- e ele pega a bolsa vazia -
para mostrar a você que são de fato 3 bolinhas verdes e 2 laranjas.
E ele diz: "o jogo que que quero que joguem é
que fechem seus olhos, coloquem a mão nesta bolsa
- a bolsa não é transparente -
sinta que as bolinhas são exatamente iguais,
e veja se consegue pegar 2 bolinhas verdes.
Se você pegar 1 bolinha da bolsa e for verde, você a coloca na mesa,
coloque novamente a sua mão na bolsa
e pegue outra bolinha, e se ela também for verde
então você ganhará o prêmio.
Você ganhará $1 se você pegar 2 bolinhas verdes.
Então você pensa "parece um jogo interessante,
quanto custa jogar?"
E ele te diz que custa $0,35 para jogar.
Então, jogadas baratas.
Então, minha pergunta é "você gostaria de jogar este jogo?"
E não coloque o fator "diversão" nele.
Apenas economicamente, faz sentido jogar este jogo?
Bem, vamos pensar nas probabilidades um pouco.
Em primeiro lugar, qual é a probabilidade que a 1ª bolinha que você pega seja verde?
Qual é a probabilidade que a 1ª bolinha seja verde?
Deixe-me escrever "1ª verde"
"probabilidade de a 1ª ser verde"
Bem, o total de resultados possíveis
São 5 bolinhas aqui com probabilidades iguais
Então, são 5 resultados possíveis.
3 delas satisfazem o evento de a 1ª bolinha ser verde
Então, são 3/5 de probabilidade que a 1ª seja verde.
Você tem 3/5 de chance
probabilidade de 3/5
Depois da 1ª bolinha, você continua no jogo.
E agora, você realmente quer ganhar o jogo.
Você quer que a 1ª seja verde, e que a 2ª seja verde.
Bem, vamos pensar um pouco sobre isso.
Qual é a probabilidade de a 1ª ser verde,
- vou escrever "g" para verde -
e que a 2ª seja verde?
Agora você deve estar tentado a dizer
"a probabilidade de a 2ª bolinha ser verde é a mesma:
3/5. Posso multiplicar 3/5 por 3/5...
... e terei 9/25...
... Parece o melhor a fazer."
Mas perceba aqui o que você faz com a 1ª bolinha verde.
Você não tira a 1ª bolinha, olha e coloca novamente na bolsa.
Então, quando você vai pegar a 2ª bolinha, o número de bolinhas verdes dentro da bolsa
depende do que você pegou na 1ª vez.
Lembre-se que tiramos a bolinha
se for verde ou qualquer que seja
nós a deixamos na mesa.
Nós não a repomos, não há uma reposição aqui.
Então, estes eventos não são independentes.
Deixe-me esclarecer: não-independentes.
Ou seja, a 2ª escolha depende da 1ª.
Dependente da 1ª escolha.
Se a 1ª bolinha a ser pega foi a verde, então você não terá mais 3 bolinhas verdes na bolsa.
Você terá 2 bolinhas verdes em uma bolsa com 4 bolinhas.
Então, você pode se referir à probabilidade de ambas as bolinhas serem verdes
Sim, é definitivamente igual à probabilidade de a 1ª ser verde vezes
- agora é uma nova ideia -
a probabilidade de a 2ª ser verde dado que
- esta linha aqui em cima, esta linha vertical
significa "dado que",
dado que a 1ª foi verde.
Agora, qual é a probabilidade de a 2ª bolinha ser verde, dado que a 1ª bolinha foi verde?
Podemos desenhar este cenário aqui
Se a 1ª bolinha foi verde, há 4 possibilidades,
e não mais 5 possibilidades.
E 2 dessas possibilidades satisfazem os seus critérios.
Então, 2 delas atendem os seus requisitos.
Portanto, a probabilidade de a 1ª bolinha ser verde e de a 2ª bolinha ser verde
será a probabilidade de sua primeira ser verde
E esta probabilidade será de 3/5
vezes a probabilidade de a 2ª ser verde dado que a 1ª foi verde
E agora você tem uma bolinha a menos na bolsa e estamos assumindo que a 1ª bolinha foi verde
Então, você tem apenas 2 outras bolinhas verdes na bolsa.
Qual será a probabilidade total?
Vejamos: 3/5 x 2/4
bem, 2/4 = 1/2
e será 3/5 x 1/2
que é igual a 3/10.
Ou você pode escrever 0.30
Ou ainda, que é uma chance de 30%
de pegar 2 bolinhas verdes quando não há reposição.
Portanto, farei a pergunta novamente
Você quer participar deste jogo?
Bem, se você jogou este jogo muitas, muitas, muitas vezes
na média você terá uma probabilidade de 30%
de ganhar $1.
E ainda não passamos por este ponto,
mas seu valor esperado será
30% vezes $1.
E isso te dá uma previsão
que o valor esperado é $0,30.
30% de chance de ganhar $1,00
Você espera, na média,
se jogar este jogo muitas e muitas vezes,
que este jogo te dê $0,30.
Agora, você gostaria de dar a alguém
$0,35 para na média ficar com $0,30?
Não! Você não vai querer jogar este jogo.
Agora, uma coisa que quero que vocês pensem é:
Você gostaria de jogar este jogo
se você pudesse retornar a 1ª bolinha verde na bolsa?
Se após pegar a 1ª bolinha, você a recolocasse na bolsa?
Você gostaria de jogar se fosse esta situação?
ลองจินตนาการว่าเราอยู่ในคาสิโนประหลาด
ที่มีเกมประหลาดมาก
และคุณเดินเข้าไปที่โต๊ะ, และบนโต๊ะนั้น
มันมีถุงเปล่าอยู่
แล้วก็มีคนเดินมาที่โต๊ะแล้วบอกว่า "ดูนะ, ผมมีลูกหินตรงนี้,
ลูกหินสีเขียว 3 ลูก, ลูกหินสีส้ม 2 ลูก, และผมจะใส่มันลงในถุง
และเขาก็ใส่ลงไปในถุงเปล่านั้น
เพื่อให้คุณเห็นว่ามันมีลูกหินสีเขียว 3 ลูก และลูกหินสีส้ม 2 ลูกจริงๆ
แล้วเขาบอกว่า "เกมที่ผมอยากให้คุณเล่น, หรือถ้าคุณเลือกเล่น,
คุณจะต้องหันไป, แล้วเอามือล้วงถุงนี้
ถุงนี้ไม่ได้โปร่งใส
จับลูกหิน, ลูกหินทุกลูกเหมือนกันหมด
ถ้าคุณหยิบลูกสีเขียวขึ้นมา 2 ลูกได้
ถ้าคุณหยิบลูกสีเขียวขึ้นมาลูกหนึ่ง มันออกมาเป็นสีเขียว คุณวางไว้
บนโต๊ะแล้วใส่มือกลับเข้าไปในถุง
แล้วหินลูกหินอีกลูกหนึ่ง, และถ้ามันเป็นสีเขียวด้วย
คุณจะได้เงินรางวัล
คุณจะได้เงิน 1 ดอลล่าร์ถ้าคุณได้สีเขียว 2 ลูก
คุณก็บอกว่า "มันฟังดูน่าสนใจดีนี่,
ฉันต้องจ่ายเงินเพื่อเล่นเท่าไหร่?"
แล้วคนคนนั้นบอกคุณว่า 35 เซนต์ต่อเกม
แน่นอนว่า, มันเป็นคาสิโนที่ไม่ค่อยเสี่ยงเท่าไหร่
คำถามให้คุณคือว่า คุณจะเล่นเกมนี้หรือเปล่า?
คุณก็รู้, อย่านับเอาความสนุกเข้าไปเกี่ยว
คิดแค่เรื่องเงิน, ว่ามันคุ้มไหมที่คุณจะเล่นเกมนี้?
ทีนี้ลองคิดถึงความน่าจะเป็นสักหน่อย
อย่างแรกเลย, ความน่าจะเป็นที่จะหยิบลูกหินลูกแรกได้เป็นสีเขียวนั้น เป็นเท่าไหร่?
ความน่าจะเป็นที่ลูกหินลูกแรกเป็นสีเขียว เป็นเท่าไหร่?
ที่จริง, ขอผมเขียน เขียวอันแรก
ความน่าจะเป็นที่ได้เขียวอันแรก
ทีนี้, ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
มันมีลูกหินอยู่ 5 ลูกมีโอกาสเกิดขึ้นเท่าๆ กัน
มันมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ 5 อย่าง
3 อันนั้นตรงตามเหตุการณ์ของเรา ว่า อันแรกเป็นสีเขียว
มันมีความน่าจะเป็น 3 ใน 5 ที่ลูกแรกเป็นสีเขียว
คุณจึงมีโอกาส 3 ใน 5
โอกาส 3 ใน 5, ผมควรบอกว่า
หลังจากที่หยิบครั้งแรกแล้ว คุณยังอยู่ในเกม
ทีนี้, สิ่งที่เราสนใจจริงๆ คือความน่าจะเป็นที่จะชนะเกมนี้
คุณอยากได้ลูกแรกเป็นสีเขียว, และลูกที่สองเป็นสีเขียว
ทีนี้ลองคิดสักหน่อย ว่าความน่าจะเป็น
ที่ลูกแรกเป็นสีเขียว
ผมจะเขียน "g" แทนสีเขียว (green)
และลูกที่สองเป็นสีเขียว
ทีนี้, คุณอาจบอกว่า
"ลูกที่สองเป็นสีเขียวก็มีความน่าจะเป็นเท่ากัน
มันคือ 3 ใน 5 ผมก็แค่คูณ 3 ส่วน 5 กับ 3 ส่วน 5
แล้วผมจะได้ 9 ส่วน 25
ดูเป็นเรื่องตรงไปตรงมาดีนี่"
แต่สังเกตตรงนี้ว่า คุณทำอะไรกับลูกหินสีเขียวลูกแรก
คุณไม่ได้เอาลูกสีเขียวลูกแรกออกมา, ดู, แล้วใส่กลับเข้าไปในถุง
ทีนี้เมื่อคุณเลือกลูกที่สอง, จำนวนลูกสีเขียวที่อยู่ในถุง
ขึ้นอยู่กับว่าคุณหยิบได้อะไรในครั้งแรก
จำไว้, เราเอาลูกหินออกมา
ถ้ามันเป็นลูกหินสีเขียว หรือสีอะไรก็ช่าง
ไม่ว่าสีอะไรหลังจากหยิบแล้ว, เราเอามันออกมาไว้บนโต๊ะ
เราไม่ได้ใส่กลับ, เราไม่ได้ใส่กลับลงไปตรงนี้
มันไม่ใช่เหตุการณ์ที่อิสระจากกัน
ขอผมพูดให้ชัด, ไม่อิสระจากกัน
กล่าวให้ชัดคือว่า, การหยิบครั้งที่สอง ขึ้นอยู่กับการหยิบครั้งแรก
ขึ้นอยู่กับการหยิบครั้งแรก
ถ้าการหยิบครั้งแรกได้สีเขียว, แล้วคุณจะไม่มีลูกหินสีเขียวในถุง 5 ลูกอีก
ถ้าครั้งแรกได้สีเขียว, คุณจะเหลือลูกหินสีเขียว 2 ลูกจาก 4 ลูกในถุง
วิธีที่เราบอกคือว่า ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองอย่างเกิดขึ้น
ใช่แล้ว, มันคือความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว
คูณ, ทีนี้ นี่คือแนวคิดใหม่, ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว
เมื่อ, มีเส้นเล็กๆ ตรงนี้
ลากขึ้นตรงๆ, เป็นเส้นตั้งหมายความว่า เมื่อ
เมื่อ, นี่คือ เมื่อ
เมื่อลูกแรกเป็นสีเขียว
ทีนี้ความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว เมื่อลูกหินลูกแรกเป็นสีเขียวนั้น เป็นเท่าไหร่?
เราจะวาดภาพกรณีนี้ตรงนี้
ถ้าลูกแรกเป็นสีเขียว มันมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้แค่ 4 อย่าง
ไม่ใช่ 5 อีกต่อไป
และสองอย่างในนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข
สองอย่างนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข
แล้วความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว และลูกที่สองเป็นสีเขียว
จะเท่ากับความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีเขียว
มันจะเป็น 3 ใน 5
คูณความน่าจะเป็นที่ลูกที่สองเป็นสีเขียว เมื่อลูกแรกเป็นสีเขียว
ทีนี้คุณมีลูกหินน้อยลง 1 ลูกในถุง และเราถือว่าลูกแรกเป็นสีเขียว
คุณจึงมีลูกหินสีเขียวเหลือแค่ 2 ลูก
แล้วความน่าจะเป็นทั้งหมดที่เราได้เป็นเท่าไหร่?
ลองดู 3 ส่วน 5 คูณ 2 ส่วน 4
ทีนี้ 2 ส่วน 4 ก็เหมือนกับ 1 ส่วน 2
นี่จะเท่ากับ 3 ส่วน 5 คูณครึ่ง
ซึ่งเท่ากับ 3 ใน 10
หรือเราอาจเขียนว่า 0.30
หรือเราบอกได้ว่า มีโอกาส 30 เปอร์เซ็นต์
ที่จะได้ลูกหินสีเขียวสองลูก เมื่อเราไม่ใส่คืน
จากข้อมูลนั้น, ขอผมถามคำถามคุณอีกทีว่า
คุณควรเล่นเกมนี้ไหม?
ทีนี้ ถ้าคุณเล่นเกมนี้หลายๆๆๆ ครั้ง
โดยเฉลี่ยแล้ว, คุณจะมีโอกาส 30 เปอร์เซ็นต์
ที่จะได้รางวัล 1 ดอลลาร์
และเรายังไม่ได้พูดถึงเรื่องนี้,
แต่ค่าคาดหวังจะเท่ากับ
30 เปอร์เซ็นต์คูณ 1 ดอลลาร์
นี่เป็นการเกริ่นนำนิดหน่อย
มันก็คือ 30 เซนต์
โอกาส 30 เปอร์เซ็นต์ที่จะได้รางวัล 1 ดอลลาร์
คุณจะคาดหวังว่า, โดยเฉลี่ยแล้ว,
ถ้าคุณเล่นเกมนี้ หลายๆๆ ครั้ง
เกมนี้จะให้เงินคุณ 30 เซ็นต์
ทีนี้, คุณจะยอมจ่ายเงิน
35 เซ็นต์เพื่อให้ได้เงินคืนโดยเฉลี่ย 30 เซ็นต์หรือเปล่า?
ไม่! คุณไม่อยากเล่นเกมนี้แน่ๆ
ทีนี้, ผมจะให้คุณลองคิดอย่างหนึ่งคือว่า
คุณจะอยากเล่นเกมนี้ไหม
ถ้าคุณสามารถใส่ลูกหินสีเขียวที่หยิบมาในตอนแรก
หลังจากหยิบครั้งแรกแล้ว ถ้าคุณใส่ลูกหินสีเขียวกลับเข้าไปได้
คุณจะอยากเล่นเกมในกรณีนั้นหรือเปล่า?
Kendimizi garip oyunların olduğu bir kumarhanede hayal edelim.
-
Bir masaya yaklaşıyorsunuz ve bu masada boş bir torba var.
-
Masadaki krupiye şöyle diyor: " Burada birkaç bilye var, 3 yeşil bilye, 2 turuncu bilye ve bunları boş torbaya koyuyorum."
-
Ve gerçekten 3 yeşil bilye ve 2 turuncu bilye olduğunu size göstermek için bilyeleri torbaya koyar.
-
Ve şöyle devam eder: "Oynamanızı istediğim oyun şöyle. Bakmadan torbaya elinizi daldıracaksınız.
-
Torba şeffaf değil.
Bilyelere dokunabilirsiniz. Bilyeler renk dışında aynı.
İki yeşil bilye seçebilirseniz...
Bir bilye seçtiniz, yeşilse masaya koyarsınız ve torbadan bir bilye daha seçersiniz. Bu da yeşilse, 1 Lira kazanacaksınız."
-
Siz de şöyle diyorsunuz, "İlginç bir oyuna benziyor, oynamak için hangi ücreti ödemem gerekiyor?"
-
Adam 35 kuruş diyor.
Düşük bahisli bir kumarhane.
Şimdi size soruyorum, oyunu oynamak ister miydiniz?
Eğlence etmenini işin içine katmayın.
Ekonomik olarak bu oyunu oynamak mantıklı mı?
Biraz olasılıkları düşünelim.
Öncelikle birinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
Birinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
Birinci yeşil yazayım.
Birincinin yeşil olma olasılığı.
Burada eşit olasılıklı 5 bilye var.
-
Yani 5 olası sonuç.
Bunların 3'ü birinci bilyenin yeşil olma olayını gerçekleştiriyor.
Yani birinci bilyenin yeşil olma olasılığı 3 bölü 5.
5'te 3 şansınız var.
3 bölü 5 olasılık demeliyim.
Bu olasılıkla oyuna devam ediyorsunuz.
Asıl ilgilendiğimiz, oyunu kazanma olasılığınız.
Birincinin ve ikincinin yeşil olmasını istiyorsunuz.
Şimdi bunu düşünelim.
Birincinin ve ikincinin yeşil olma olasılığı nedir?
-
Şöyle demek isteyebilirsiniz:
"İkincinin yeşil olma olasılığı da aynıdır, 3 bölü 5'tir, 3 bölü 5 çarpı 3 bölü 5 eşittir 9 bölü 25 bulurum. Yeterince kolay."
-
Ama ilk yeşil bilyeyle ne yaptığınız fark yaratıyor.
Birinci yeşil bilyeyi çektikten sonra rengine bakıp torbaya geri atmıyorsunuz.
İkinci seçimi yaparken torbadaki yeşil bilyelerin sayısı, birinci seçimde hangi bilyeyi seçtiğinize bağlı.
-
Unutmayın, ilk bilyeyi torbadan çıkarıyoruz.
Yeşil veya herhangi bir renkse.
İlk seçimden sonra bilyeyi masaya bırakıyoruz.
Geri koymuyoruz.
Yani bunlar bağımsız olmayan olaylar.
Bağımsız değil.
İkinci seçim birinci seçime bağlı.
-
Birinci seçim yeşilse, torbada üç yeşil bilye kalmıyor.
Birinci seçim yeşilse, şimdi torbadaki dört bilyeden ikisi yeşil.
Bu ikisinin birden olma olasılığını bulurken birincinin yeşil olma olasılığı çarpı, şimdi yeni bir kavram geliyor, şu küçük çizgi koşullu olasılığı simgeliyor, birincinin yeşil olması koşuluna göre, ikincinin yeşil olma olasılığı, diyoruz.
-
Şimdi birinci bilyenin yeşil olduğunu biliyorsak ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı nedir?
Bu senaryoyu burada çizmiştik.
İlk bilye yeşilse, dört değişik sonuç kalır, beş değil.
-
Bunlardan iki tanesi istediğimiz olaya uyar.
İki tanesi olayımıza uyar.
Birinci bilye ve ikinci bilyenin yeşil olma olasılığı eşittir birincinin yeşil olma olasılığı, bu 3 bölü 5, çarpı birincinin yeşil olması koşuluna göre ikincinin yeşil olma olasılığı.
-
Şimdi torbadaki bilye sayısı 1 eksik ve birinci bilyenin yeşil olduğunu varsayıyoruz.
Yani sadece iki yeşil bilye kaldı.
Sonuç olarak hangi olasılığı elde ederiz?
Bakalım. 3 bölü 5 çarpı 2 bölü 4, 2 bölü 4 1 bölü 2 ile aynı.
-
Yani bu eşittir 3 bölü 5 çarpı 1 bölü 2.
Bu da eşittir 3 bölü 10.
Veya 0,30 olarak da yazabiliriz.
Veya birinciyi yerine koymadan iki yeşil bilye çekme olasılığımızın yüzde 30 olduğunu söyleyebiliriz.
-
Bu sonuca göre, soruyu tekrar soruyorum.
Bu oyunu oynamak ister miydiniz?
Bu oyunu çok çok çok çok defa oynadığınızda, ortalama olarak 1 Lira kazanma şansınız yüzde 30.
-
Bunu daha önce yapmadık, ama beklenen değeriniz yüzde 30 çarpı 1 Lira olacak.
-
Bu biraz ön gösterim gibi.
Sonuç 30 kuruş.
1 Lirayı kazanma şansı yüzde 30 olduğu için, bu oyunu çok defa oynadığınızda, ortalama olarak, 30 kuruş kazanmayı beklersiniz.
-
Peki, ortalama 30 kuruş kazanmak için birisine 35 kuruş ödemek ister miydiniz?
-
Hayır! Bu oyunu oynamak istemezdiniz.
Şimdi şunu düşünmenizi istiyorum.
Birinci seçimdeki yeşil bilyeyi geri koyabilseydiniz oyunu oynamak ister miydiniz?
-
Oyun böyle olsa oynamak ister miydiniz?
Уявімо собі певного роду дивне казино
з дуже дивними іграми у ньому.
Ви підходите до грального столу, а на ньому
лежить порожня торба.
А круп’є вам і каже : "Послухайте, я тут маю трохи крем’яхів -
3 зелені і 2 помаранчеві крем’яхи, і я запхну їх до цієї торби."
І він дійсно кладе їх до даної торби
і при цьому показує вам, що й справді це 3 зелені та 2 помаранчеві крем’яхи.
Згодом він пояснює вам суть даної гри: "Гра у яку ми будемо грати,якщо забажаєте,
полягає у тому, що ви відвернетеся і занурите свою руку до цієї торби,
дана торба непрозора,
намацаєте у ній крем’ях, а усі крем’яхи на дотик однакові,
і якщо при цьому ви витягнете два зелені крем’яхи поспіль,
тобто дістанете спочатку один зелений крем’ях з торби, покладете його на стіл,
згодом занурите знову руку до цієї торби
і витягнете інший крем’ях,що також буде зеленим,
тоді за ці два зелені крем’яхи поспіль ви виграєте приз.
Ви виграєете один долар якщо витягнете два зелені крем’яхи поспіль."
Ви кажете: "Звучить непогано.
Скільки коштує зіграти у цю гру?"
І круп’є каже вам, що ставка становить 35 центів.
Отож вочевидь це казино з низькими ставками.
Отже моє питання таке - Чи забажаєте ви грати у дану гру?
Ви не повинні дивитися на це як на веселощі.
Міркуймо суто економічно - Чи дійсно є сенс грати у цю гру?
Ну, поміркуймо трохи над даними ймовірностями.
Отож перш за все, яка ймовірність того, що першим крем’яхом буде саме зелений?
Яка ймовірність того що ви першим витягнете саме зелений крем’ях?
Запишемо це перший зелений.
Ймовірність першого зеленого.
Загальна ж кількість можливих результатів
це 5 крем’яхів, що мають рівні можливості.
Отож 5 можливих результатів
3 з яких відповідають нашій умові, а саме перший зелений крем’ях.
Отже ймовірність витягання першим зеленого крем’яху дорівнює 3/5.
Отож ви маєте шанс у 3/5.
Краще сказати, ймовірність 3/5.
Але опісля першого витягання ви все ще лишаєтеся у грі.
Нам же треба вирахувати ймовірність виграти у грі загалом.
А для цього потрібно щоб і перший, і другий крем’яхи були зеленими.
Поміркуймо про це. Яка ж ймовірність того,
що витягнуть і перший зелений,
g - це зелений,
і другий зелений.
Тепер можливо у вас з’явиться спокуса сказати:
"Другий зелений має таку ж ймовірність у 3/5.
І мені треба лише помножити 3/5 на 3/5.
І я отримаю 9/25.
Здається, що це цілком зрозуміла річ."
Але це не так. Усвідомте,що саме ви робите із першим зеленим крем’яхом.
Ви ж не просто витягаєте його, дивитесь на нього й кладете його назад. Ні.
Отож коли ви витягаєте вдруге, то кількість зелених крем’яхів у торбі
залежить від того, що ви витягли першим.
Пам’ятайте,що ми витягаємо крем’ях геть.
І будь-який крем’ях опісля витягання
ми лишаємо його на столі.
Ми не повертаємо його назад, отож немає жодного повернення тут.
Отже це не незалежні події.
Зрозумійте - не незалежні.
Іншими словами, друге витягання залежить від першого.
Залежить від першого витягання.
Якщо перший витягли зелений, тоді у торбі вже не 3 зелених до 5 крем’яхів.
Якщо ж першим крем’яхом був зелений, то тепер ви маєте 2 зелених з 4 крем’яхів.
Отже, ми ведемо мову про ймовірність того, що відбудуться обидві ці події.
Так, ось це дійсно ймовірність витягання першим зеленого крем’яху,
тепер же постає нова ідея про ймовірність витягання другого зеленого крем’яху,
ось ця маленька лінія тут,
вертикальна лінія означає,
означає витягання,
витягання першим зеленого крем’яху.
А яка ж ймовірність витягнути другим зелений крем’ях коли й перший був зеленим?
Намалюймо даний сценарій ось тут.
Якщо перший крем’ях зелений, то існує 4 можливих результати.
вже не 5, а 4.
І два з цих результатів задовільняють умовам.
Отож два з них задовільняють вашим умовам.
Отже, ймовірність того що і перший, і другий крем’яхи будуть зеленими.
Ймовірність того,що перший крем’ях буде зеленим
становить 3/5.
Отож знайдемо ймовірність витягання другого зеленого опісля першого.
Тепер ми маємо на один крем’ях менше у даній торбі і припускаємо що це зелений.
Отже лишилося лише 2 зелених крем’яхи.
І як це вплине на нашу загальну ймовірність?
Підрахуймо. 3/5 помножимо на 2/4,
2/4 це те саме що й 1/2.
Отже, множимо 3/5 на 1/2
і це дорівнює 3/10.
Або можна це записати як 0,3.
Або можна сказати, що це шанс у 30% на
витягання двох зелених крем’яхів поспіль без повернення назад.
Отож, я запитаю вас ще раз -
Чи забажаєте ви грати у цю гру?
Ну, якщо ви гратимете у цю гру дуже багато разів,
то усереднено матимете шанс у 30%
виграти один долар.
А це не покриває наших витрат.
Отож, очікуваний вами прибуток буде становити
30% від одного долару,
а це становить
30 центів.
30% шанс виграти один долар,
усереднено очікуваний.
Якщо ви будете грати багато
разів, то виграватимете по 30 центів.
То чи бажаєте ви віддавати комусь
35 центів, аби усереднено отримати назад 30 центів?
Ні! Ви б не забажали грати у таку гру.
А тепер поміркуйте ось над чим -
Чи забажали б ви грати у цю гру
якщо б ви могли повертати назад зелений крем’ях опісля першого витягання?
Опісля першого витягання ви кладете крем’ях назд.
Чи забажали б ви грати у цю гру при такому сценарії?
Переклад на українську: Віталій Данмер, рев’ювер Юлія Гулакова, благодійний фонд “Magneticone.org”
我们想象一下在一个赌场
玩一个很奇怪的游戏
你走到一个桌子边，在桌子上面
有一个空袋子
庄家说：“我这里有一些弹子，
三个绿色的，两个橘色的，我把他们放在一个袋子里
他就把弹子放进那个空袋子里面
给你看里面真的有3个绿弹子和2个橘色弹子。
他说：”我们要玩的游戏或者说你选择玩的游戏
就是你看别的地方，把手伸进这个袋子
袋子是不透明的
感觉一下弹子，所有的弹子都是一模一样的
你能不能拿出2个绿色弹子
如果你拿出1个弹子，是绿色的话就放在桌子上
把手放进袋子
再拿一个弹子，如果这一个也是绿色
你就可以获得奖励
如果你拿两个绿弹子，你就能赢1美元
你就说：“这像是一个很好玩的游戏，
玩一次多少钱？”
那个人说35没法1次。
显然，这是个低赌注的赌场。
所以我的问题是，你愿意玩这个游戏么？
不要考虑好玩的因素
只从经济上考虑，玩这个游戏是有意义的么？
我们来考虑一下概率。
首先，你拿的第一个弹子是绿色的概率是多少？
第一个弹子是绿色的概率是多少？
我写第一 绿色
概率 第一 绿色
所有可能的结果
5个弹子是有相同可能性
所以有5种可能的结果
其中3种符合第一个是绿色的状况
因此第一个是绿色的概率是3/5.
所以你有3/5的机会
我应该说是3/5的概率
你第一次拿出弹子以后你还可以继续玩下去。
选择，我们真正关心的是你能赢这个游戏的概率。
你想要第一个是绿色，而且第二个是绿色。
让我们来想一下，
第一个是绿色的概率
我写“g”代表绿色
而且第二个是绿色。
选择，你可能想说
“哦，第二个是绿色的概率是一样的,
是3/5，我可以用3/5乘以3/5
我得到9/25
看上去很直观的事”
但事实上，你对第一个绿色弹子怎么操作。
你并没有拿出第一个绿弹子，看看，然后放回袋子里面。
因此当你拿第二次的时候，袋子里面绿弹子的数目
取决于你第一次拿出的弹子。
记住，我们拿出弹子
如果是绿色或者无论什么颜色
我们把第一次拿出来的留在桌子上了。
我们没有更新，因此没有替代的弹子。
所以他们不是独立事件。
我们说清楚，不是独立的。
特别说明，第二次拿的弹子是建立在第一次取出的基础上
建立在第一次的基础上。
如果第一次取出绿色，那么你并没有一个袋子，里面5个弹子，其中有3个绿弹子
如果第一次是绿色，你现在有一个袋子，里面有4个弹子，其中有两个绿弹子。
因此我们说的是两者都发生的概率
对，等于第一个是绿色的概率
乘以，这是个新概念，第二个是绿色的概率
条件， 这边的这条线
这条竖直线的意思是条件
条件
第一个是绿色的条件下。
现在，第一个是绿色的条件下，第二个是绿色的概率是什么呢？
我们把这个情况画在这里
如果第一个是绿色，那么有4种结果
不再是5种
其中的2种符合你的标准
2种符合标准
因此第一个是绿色而且第二个是绿色的概率
就是第一个是绿色的概率
是3/5
乘以，第一个是绿色的条件下第二个是绿色的概率
现在你袋子里面少了1个弹子并且我们假定第一个取出的是绿色
因此你只剩下2个绿弹子。
那么最后的概率是什么呢
我们看看，3/5乘以2/4
2/4就是1/2
这就等于3/5乘以1/2
等于3/10
或者我们可以写成0.30
或者我们可以说有30%的几率
当我们没有替代弹子的时候，我们可以取出2个绿色的。
现在我再问你相同的问题
你要玩这个游戏么？
如果你玩很多很多次这个游戏
平均下来，你有30%的机会
赢1美元
我们还没考虑这个
你的期望值实际上是
30%乘以1美元
这给你一些大概的说明
就是30美分
30%的概率赢1美元
平均下来，你就会
如果你玩很多很多次的话
玩这个游戏你可以获得30美分
选择你愿意给别人
35美分去获得30美分么
不，你不会去玩这个游戏的。
现在，我想让你考虑的一件事是
如果你可以替代第一次拿出的弹子的情况下
你愿意玩这个游戏么
第一次取出以后，你可以替换拿出来的绿弹子。
在那种情况下，你愿意玩游戏么？