Demonstração do teorema da divergência (parte 1)

RKA22JL - Olá! Tudo bem com você?
Vamos começar agora mais uma aula de matemática.

E, nessa aula, vamos começar a conversar
sobre o teorema da divergência.

Mas o que é o teorema da divergência?

O teorema da divergência realiza uma igualdade
entre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial

e a integral tripla sobre a região tridimensional
delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial.

Ou seja, vamos supor que
haja um campo vetorial F.

A integral dupla sobre a superfície do produto escalar
entre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície,

que representamos
com um n chapéu, dS,

é igual à integral tripla sobre
a região R do divergente de F, dV,

que representa o
diferencial de volume.

O que vamos começar a fazer neste vídeo
é realizar a demonstração deste teorema,

mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando
com uma região sólida simples

e isso significa que, formalmente,

estamos pensando em uma região que pode ser
do tipo um, do tipo dois ou do tipo três.

Já existem vídeos nos quais eu falei
sobre o significado desses tipos de regiões,

mas a maioria das formas básicas acabam sendo
uma dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples.

Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram
em um desses tipos de regiões,

mas e quando a região não
for de nenhum desses três tipos?

O ideal é que você faça uma transformação,
fazendo com que ela se torne uma região simples.

Mas vamos supor que estamos
lidando com uma região sólida simples.

Sabendo disso, vamos assumir que o nosso
campo vetorial F pode ser escrito como:

P, que é uma função de x, y e z,

vezes i chapéu, mais Q, que também é
uma função de x, y, z, vezes j chapéu,

mais R, que é outra função
de x, y e z, vezes k chapéu.

Feito isso, vamos abrir cada
um desses lados da igualdade.

Primeiro, vamos pensar
sobre o F escalar, n.

Vamos pensar
um pouco sobre isso.

O produto escalar entre F e n é igual a essa componente
vezes a componente i de n, mais essa componente

vezes a componentes j de n, mais essa componente
vezes a componente k de n.

Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses,
o produto escalar entre i chapéu e n chapéu.

Não podemos esquecer que
i chapéu é um vetor unitário, ok?

Precisamos deixar isso bem claro, porque,
ao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu,

teremos apenas a componente i
do vetor normal n chapéu.

E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja,
basicamente, vamos fazer o produto escalar

entre os módulos
das componentes de x.

Somamos isso com o Q vezes j chapéu,
escalar com n chapéu.

Novamente, fazendo o produto escalar
de j chapéu com n chapéu,

teremos o produto escalar entre
os módulos das componentes j.

Isso mais R vezes
k chapéu escalar, n chapéu.

Não costumamos ver dessa forma, mas
podemos dizer que é razoável pensar assim.

Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da
componente i do vetor normal n,

e isso é exatamente o que queremos no produto escalar,
e o mesmo se aplica à componente j e à componente k.

Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual
a m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu,

mais O vezes k chapéu, ou algo parecido,
e verá que isso funciona muito bem.

Enfim, visto isso agora, como
podemos simplificar essa expressão?

Podemos reescrever o lado esquerdo
como a integral de superfície de F.

Eu vou escrever isso aqui várias vezes.
Então colocamos F escalar dS, que é igual

à integral de superfície de r escalar, n chapéu,
vezes o escalar dS.

Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície
de tudo isso que escrevi.

Eu vou reescrever
rapidinho novamente, ok?

Colocamos tudo isso aqui
entre parênteses e, no final, o dS.

Agora, tudo isso pode ser reescrito como

a integral da superfície de P vezes o
produto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS,

mais a integral de superfície de Q, vezes o
produto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS,

mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar
entre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS.

Observe que eu quebrei isso aqui.

Eu estava fazendo
a integral dessa forma.

Agora, o que temos aqui é a soma das integrais,
e tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência.

Agora, vamos pensar
sobre o lado direito.

Qual é o divergente de F? O divergente de F,
baseado nessa expressão de F,

será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de
Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z.

Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita
como a integral tripla da parcial de P em relação a x,

mais a parcial de Q em relação a y,
mais a parcial de r em relação a z.

Isso aqui de novo, ao invés de escrever
como a integral tripla dessa soma,

podemos escrever como
a soma das integrais triplas.

Então isso pode ser reescrito como a integral tripla
sobre a nossa região tridimensional da parcial de P

em relação a x, dV, mais a integral tripla
da parcial de Q em relação a y, dV,

mais a integral tripla da parcial
de r em relação a z, dV.

Novamente falando, o teorema da divergência diz
que isso precisa ser igual a tudo isso aqui.

Só escrevemos essa igualdade aqui
em cima de uma forma diferente.

Sendo assim, para provar que
essa igualdade é verdadeira,

temos que mostrar que cada um desses
termos correspondentes são iguais entre si.

Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si,
que esses aqui são iguais entre si

e que esses aqui são iguais entre si.
O nosso objetivo é provar isso.

Claro, nossa região R pode ser do tipo um,
do tipo dois ou do tipo três,

mas, particularmente, vamos fazer isso
em uma região do tipo um.

Porém, você pode utilizar o mesmo argumento
para regiões do tipo dois e do tipo três.

Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro,
cada um desses termos precisa ser igual.

Enfim, eu espero que você
tenha compreendido tudo direitinho

e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!