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Demonstração do teorema da divergência (parte 1)

  • 0:00 - 0:05
    RKA22JL - Olá! Tudo bem com você?
    Vamos começar agora mais uma aula de matemática.
  • 0:05 - 0:10
    E, nessa aula, vamos começar a conversar
    sobre o teorema da divergência.
  • 0:10 - 0:12
    Mas o que é o teorema da divergência?
  • 0:12 - 0:19
    O teorema da divergência realiza uma igualdade
    entre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial
  • 0:19 - 0:26
    e a integral tripla sobre a região tridimensional
    delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial.
  • 0:26 - 0:29
    Ou seja, vamos supor que
    haja um campo vetorial F.
  • 0:29 - 0:37
    A integral dupla sobre a superfície do produto escalar
    entre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície,
  • 0:37 - 0:41
    que representamos
    com um n chapéu, dS,
  • 0:41 - 0:46
    é igual à integral tripla sobre
    a região R do divergente de F, dV,
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    que representa o
    diferencial de volume.
  • 0:49 - 0:53
    O que vamos começar a fazer neste vídeo
    é realizar a demonstração deste teorema,
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    mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando
    com uma região sólida simples
  • 0:58 - 1:01
    e isso significa que, formalmente,
  • 1:01 - 1:06
    estamos pensando em uma região que pode ser
    do tipo um, do tipo dois ou do tipo três.
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    Já existem vídeos nos quais eu falei
    sobre o significado desses tipos de regiões,
  • 1:11 - 1:19
    mas a maioria das formas básicas acabam sendo
    uma dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples.
  • 1:19 - 1:23
    Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram
    em um desses tipos de regiões,
  • 1:24 - 1:27
    mas e quando a região não
    for de nenhum desses três tipos?
  • 1:27 - 1:33
    O ideal é que você faça uma transformação,
    fazendo com que ela se torne uma região simples.
  • 1:33 - 1:37
    Mas vamos supor que estamos
    lidando com uma região sólida simples.
  • 1:37 - 1:43
    Sabendo disso, vamos assumir que o nosso
    campo vetorial F pode ser escrito como:
  • 1:43 - 1:46
    P, que é uma função de x, y e z,
  • 1:46 - 1:52
    vezes i chapéu, mais Q, que também é
    uma função de x, y, z, vezes j chapéu,
  • 1:52 - 1:57
    mais R, que é outra função
    de x, y e z, vezes k chapéu.
  • 1:57 - 2:01
    Feito isso, vamos abrir cada
    um desses lados da igualdade.
  • 2:01 - 2:03
    Primeiro, vamos pensar
    sobre o F escalar, n.
  • 2:04 - 2:05
    Vamos pensar
    um pouco sobre isso.
  • 2:05 - 2:15
    O produto escalar entre F e n é igual a essa componente
    vezes a componente i de n, mais essa componente
  • 2:15 - 2:21
    vezes a componentes j de n, mais essa componente
    vezes a componente k de n.
  • 2:21 - 2:29
    Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses,
    o produto escalar entre i chapéu e n chapéu.
  • 2:29 - 2:33
    Não podemos esquecer que
    i chapéu é um vetor unitário, ok?
  • 2:33 - 2:40
    Precisamos deixar isso bem claro, porque,
    ao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu,
  • 2:40 - 2:44
    teremos apenas a componente i
    do vetor normal n chapéu.
  • 2:44 - 2:49
    E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja,
    basicamente, vamos fazer o produto escalar
  • 2:49 - 2:52
    entre os módulos
    das componentes de x.
  • 2:52 - 2:58
    Somamos isso com o Q vezes j chapéu,
    escalar com n chapéu.
  • 2:58 - 3:02
    Novamente, fazendo o produto escalar
    de j chapéu com n chapéu,
  • 3:02 - 3:06
    teremos o produto escalar entre
    os módulos das componentes j.
  • 3:06 - 3:12
    Isso mais R vezes
    k chapéu escalar, n chapéu.
  • 3:12 - 3:17
    Não costumamos ver dessa forma, mas
    podemos dizer que é razoável pensar assim.
  • 3:17 - 3:23
    Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da
    componente i do vetor normal n,
  • 3:23 - 3:30
    e isso é exatamente o que queremos no produto escalar,
    e o mesmo se aplica à componente j e à componente k.
  • 3:30 - 3:38
    Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual
    a m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu,
  • 3:38 - 3:44
    mais O vezes k chapéu, ou algo parecido,
    e verá que isso funciona muito bem.
  • 3:44 - 3:48
    Enfim, visto isso agora, como
    podemos simplificar essa expressão?
  • 3:48 - 3:53
    Podemos reescrever o lado esquerdo
    como a integral de superfície de F.
  • 3:53 - 3:59
    Eu vou escrever isso aqui várias vezes.
    Então colocamos F escalar dS, que é igual
  • 3:59 - 4:04
    à integral de superfície de r escalar, n chapéu,
    vezes o escalar dS.
  • 4:04 - 4:10
    Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície
    de tudo isso que escrevi.
  • 4:10 - 4:12
    Eu vou reescrever
    rapidinho novamente, ok?
  • 4:13 - 4:17
    Colocamos tudo isso aqui
    entre parênteses e, no final, o dS.
  • 4:17 - 4:21
    Agora, tudo isso pode ser reescrito como
  • 4:21 - 4:28
    a integral da superfície de P vezes o
    produto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS,
  • 4:28 - 4:36
    mais a integral de superfície de Q, vezes o
    produto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS,
  • 4:36 - 4:44
    mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar
    entre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS.
  • 4:44 - 4:46
    Observe que eu quebrei isso aqui.
  • 4:46 - 4:48
    Eu estava fazendo
    a integral dessa forma.
  • 4:48 - 4:55
    Agora, o que temos aqui é a soma das integrais,
    e tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência.
  • 4:55 - 4:57
    Agora, vamos pensar
    sobre o lado direito.
  • 4:57 - 5:03
    Qual é o divergente de F? O divergente de F,
    baseado nessa expressão de F,
  • 5:03 - 5:11
    será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de
    Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z.
  • 5:11 - 5:20
    Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita
    como a integral tripla da parcial de P em relação a x,
  • 5:20 - 5:26
    mais a parcial de Q em relação a y,
    mais a parcial de r em relação a z.
  • 5:26 - 5:31
    Isso aqui de novo, ao invés de escrever
    como a integral tripla dessa soma,
  • 5:31 - 5:35
    podemos escrever como
    a soma das integrais triplas.
  • 5:35 - 5:42
    Então isso pode ser reescrito como a integral tripla
    sobre a nossa região tridimensional da parcial de P
  • 5:42 - 5:50
    em relação a x, dV, mais a integral tripla
    da parcial de Q em relação a y, dV,
  • 5:50 - 5:55
    mais a integral tripla da parcial
    de r em relação a z, dV.
  • 5:55 - 6:01
    Novamente falando, o teorema da divergência diz
    que isso precisa ser igual a tudo isso aqui.
  • 6:01 - 6:05
    Só escrevemos essa igualdade aqui
    em cima de uma forma diferente.
  • 6:05 - 6:08
    Sendo assim, para provar que
    essa igualdade é verdadeira,
  • 6:08 - 6:13
    temos que mostrar que cada um desses
    termos correspondentes são iguais entre si.
  • 6:13 - 6:18
    Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si,
    que esses aqui são iguais entre si
  • 6:18 - 6:23
    e que esses aqui são iguais entre si.
    O nosso objetivo é provar isso.
  • 6:23 - 6:27
    Claro, nossa região R pode ser do tipo um,
    do tipo dois ou do tipo três,
  • 6:27 - 6:31
    mas, particularmente, vamos fazer isso
    em uma região do tipo um.
  • 6:31 - 6:36
    Porém, você pode utilizar o mesmo argumento
    para regiões do tipo dois e do tipo três.
  • 6:36 - 6:43
    Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro,
    cada um desses termos precisa ser igual.
  • 6:43 - 6:46
    Enfim, eu espero que você
    tenha compreendido tudo direitinho
  • 6:46 - 6:51
    e, mais uma vez, eu quero deixar para você
    um grande abraço e até a próxima!
Titel:
Demonstração do teorema da divergência (parte 1)
Beschreibung:

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Video Language:
Portuguese
Team:
Khan Academy
Projekt:
Accessibility Brazil
Duration:
06:57

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