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Problemas de série geométrica: caminhada

  • 0:00 - 0:05
    RKA22JL - Olá, tudo bem? Você vai assistir agora
    a mais uma aula de matemática
  • 0:05 - 0:09
    e, nesta aula, vamos resolver um exemplo
    sobre série geométrica.
  • 0:10 - 0:15
    Esse exemplo diz o seguinte: “Sara realizou
    uma caminhada de 4 dias.
  • 0:15 - 0:20
    A cada dia, ela caminhava 20% a mais do que a distância
    que ela caminhou no dia anterior.
  • 0:21 - 0:24
    Ela caminhou
    27 quilômetros no total (27 km).
  • 0:24 - 0:27
    Qual é a distância que Sara
    andou no primeiro dia da viagem?
  • 0:27 - 0:31
    Arredonde a resposta final
    para o quilômetro mais próximo.
  • 0:31 - 0:34
    Como sempre, pause o vídeo
    e tente encontrar a resposta.
  • 0:34 - 0:37
    Ok. Tentou?
    Vamos fazer juntos agora?
  • 0:37 - 0:42
    Inicialmente, vamos chamar o valor
    que ela caminhou no primeiro dia de "a" ,
  • 0:42 - 0:47
    e, com isso, vamos montar uma expressão
    para determinar o quanto ela caminhou no total.
  • 0:47 - 0:51
    Lembrando que, no total,
    ela caminhou 27 quilômetros.
  • 0:51 - 0:54
    Com essa expressão,
    vamos ver se conseguimos resolver.
  • 0:54 - 0:57
    Então, no primeiro dia,
    ela andou “a” quilômetros.
  • 0:58 - 1:05
    E no segundo dia? Foi dito que, a cada dia, ela caminhou
    20% a mais do que ela caminhou no dia anterior,
  • 1:05 - 1:12
    então, no dia seguinte, ela vai andar 20% a mais
    do que ela caminhou no dia anterior, que foi “a” quilômetros.
  • 1:12 - 1:19
    Então, teremos aqui 1,2 vezes "a" . E quanto ao
    dia depois disso? Ou seja, no terceiro dia?
  • 1:19 - 1:23
    Isso vai ser 1,2 vezes o que
    foi caminhado no segundo dia.
  • 1:24 - 1:33
    Sendo assim, teremos aqui 1,2 vezes 1,2 ou, de forma mais
    simples, podemos dizer 1,2 ao quadrado vezes "a".
  • 1:33 - 1:39
    E quanto no quarto dia? Como vimos, ela realizou
    uma caminhada de 4 dias, então esse é o último dia.
  • 1:39 - 1:43
    Isso vai ser 1,2 vezes o que
    foi caminhado no terceiro dia.
  • 1:43 - 1:47
    Então isso vai ser 1,2 elevado
    à terceira potência vezes "a" .
  • 1:47 - 1:52
    Ótimo. Essa é uma expressão para determinar
    o quanto ela caminhou nos quatro dias,
  • 1:52 - 1:56
    e sabemos que ela caminhou um
    total de 27 quilômetros.
  • 1:56 - 2:00
    Então isso vai ser igual
    a 27 quilômetros.
  • 2:00 - 2:04
    Agora você pode resolver
    isso e encontrar o “a” aqui.
  • 2:04 - 2:14
    Para isso, você pode fatorar o "a", e, com isso,
    ter "a" vezes 1, mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
  • 2:14 - 2:20
    mais 1,2 à terceira potência,
    e tudo isso sendo igual a 27.
  • 2:20 - 2:25
    Dessa forma, teremos aqui
    que a é igual a 27 sobre 1,
  • 2:25 - 2:33
    mais 1,2, mais 1,2 ao quadrado,
    mais 1,2 à terceira potência.
  • 2:33 - 2:37
    Sem dúvida, precisaríamos de uma
    calculadora para fazer o cálculo,
  • 2:37 - 2:41
    mas fazendo assim chegaríamos
    à resposta tranquilamente.
  • 2:41 - 2:49
    O caso é que eu vou usar aqui uma técnica diferente,
    que vai funcionar mesmo quando tivermos 20 termos aqui.
  • 2:49 - 2:57
    Não seria muito difícil fazer o cálculo dessa forma que fiz
    com 20 termos, mas imagine se tivéssemos aqui 200 termos.
  • 2:57 - 3:00
    Isso ficaria incrivelmente
    mais difícil, não é?
  • 3:00 - 3:05
    Com a outra forma, vai ficar bem mais simples.
    Mas que maneira diferente é essa?
  • 3:06 - 3:12
    Podemos resolver esse problema através da fórmula
    de uma série geométrica finita e o que isso faz?
  • 3:12 - 3:19
    Basicamente, isso realiza a soma dos primeiros n termos,
    e, para fazer isso, teremos a seguinte expressão.
  • 3:20 - 3:27
    "a", que vai ser o primeiro termo, menos “a” vezes
    a nossa proporção comum, que chamamos de r,
  • 3:27 - 3:34
    mas em nosso caso é 1,2, já que cada termo sucessivo
    é igual a 1,2 vezes o termo anterior.
  • 3:34 - 3:39
    Sendo assim, podemos colocar aqui o r
    elevado à enésima potência.
  • 3:39 - 3:42
    Tudo isso sobre 1 menos
    a proporção comum, r.
  • 3:43 - 3:45
    Em outros vídeos,
    explicamos de onde vem isso,
  • 3:45 - 3:50
    mas, aqui, estamos apenas utilizando isso
    para resolver um problema de aplicação.
  • 3:50 - 3:54
    Já sabemos o que é o nosso "a", e usei isso aqui
    como a nossa variável.
  • 3:54 - 4:02
    Nossa proporção comum nessa situação vai ser igual a 1,2
    e o nosso n vai ser igual a 4.
  • 4:02 - 4:07
    Outra forma que eu gosto de pensar sobre isso
    é que temos aqui o nosso primeiro termo,
  • 4:07 - 4:10
    que nós vemos aqui,
    e aí isso menos o último termo.
  • 4:10 - 4:17
    Se tivéssemos um quinto termo aqui, o utilizaríamos.
    Tudo isso sobre 1, menos a proporção comum.
  • 4:17 - 4:22
    Com isso, esse lado esquerdo da nossa equação
    pode ser reescrito da seguinte forma:
  • 4:22 - 4:27
    "a" menos "a" vezes 1,2,
    elevado à quarta potência
  • 4:27 - 4:35
    e tudo isso sobre um menos a nossa proporção comum,
    que é 1,2. E isso é igual a 27.
  • 4:35 - 4:38
    Repare que podemos
    simplificar isso aqui um pouco.
  • 4:38 - 4:44
    Aqui no denominador, teremos -0,2 e, no numerador,
    podemos fatorar o "a".
  • 4:44 - 4:51
    Isso vai ser igual a “a” vezes 1, menos 1,2
    elevado à quarta potência.
  • 4:51 - 4:55
    Podemos multiplicar o numerador
    e o denominador por -1.
  • 4:55 - 5:01
    Eu vou colocar aqui o "a" fora da fração.
    Temos aqui o "a" vezes...
  • 5:01 - 5:05
    Eu vou trocar as posições
    para nos livrarmos do negativo.
  • 5:05 - 5:14
    Então teremos aqui 1,2 elevado à quarta potência
    menos 1 sobre 0,2. Tudo isso é igual a 27.
  • 5:14 - 5:18
    Novamente, tudo que eu fiz aqui foi colocar
    o “a” multiplicando a fração.
  • 5:18 - 5:22
    Então eu multipliquei o
    numerador e o denominador por -1.
  • 5:22 - 5:29
    O numerador multiplicado por -1 faz com que os sinais
    desses termos no numerador sejam trocados,
  • 5:29 - 5:31
    por isso troquei-os de posição,
    para ficar melhor.
  • 5:31 - 5:39
    E, claro, multiplicando o -0,2
    por -1, obtemos 0,2 positivo.
  • 5:39 - 5:44
    Agora, eu posso simplesmente multiplicar
    os dois lados da equação pelo inverso disso aqui.
  • 5:44 - 5:52
    Eu vou fazer aqui. Assim, teremos 0,2 sobre 1,2
    elevado à quarta potência menos 1.
  • 5:52 - 5:54
    E do outro lado, a mesma coisa.
  • 5:54 - 6:01
    Multiplicamos isso por 0,2 sobre
    1,2 à quarta potência menos 1.
  • 6:01 - 6:04
    Isso aqui cancela com isso,
    e isso, cancela com isso.
  • 6:04 - 6:06
    Foi exatamente por isso
    que eu fiz isso aqui.
  • 6:07 - 6:12
    Ficamos com "a" sendo
    igual a 27 vezes 0,2
  • 6:12 - 6:16
    sobre 1,2 elevado
    à quarta potência menos 1.
  • 6:16 - 6:21
    Essa expressão vai nos fornecer exatamente o mesmo valor
    que a expressão que acabamos de ver,
  • 6:21 - 6:28
    só que, utilizando essa expressão, teremos maior facilidade,
    pois poderemos fazer isso com muito mais termos.
  • 6:28 - 6:30
    Enfim, vou pegar a
    calculadora para resolver.
  • 6:30 - 6:35
    Vou calcular esse
    denominador primeiro.
  • 6:35 - 6:42
    Terei 1,2 elevado à quarta potência,
    aí, esse resultado aqui menos 1.
  • 6:42 - 6:44
    É isso que temos no denominador.
  • 6:44 - 6:50
    Agora, podemos pegar o inverso disso aqui
    e multiplicar por 27.
  • 6:50 - 6:53
    Ao encontrar esse resultado,
    multiplicamos por 0,2.
  • 6:53 - 6:59
    Pronto, chegamos a
    aproximadamente 5,0298.
  • 6:59 - 7:02
    5,0298 quilômetros.
  • 7:02 - 7:08
    Porém, a questão está pedindo que a resposta
    seja arredondada para o quilômetro mais próximo.
  • 7:08 - 7:11
    Então isso vai ser aproximadamente
    igual a 5 quilômetros.
  • 7:11 - 7:16
    Essa foi a distância percorrida pela Sara
    no primeiro dia de caminhada.
  • 7:16 - 7:19
    Eu espero que você tenha compreendido
    tudo direitinho o que vimos aqui
  • 7:19 - 7:24
    e, mais uma vez, eu quero deixar para você
    um grande abraço e até a próxima!
Titel:
Problemas de série geométrica: caminhada
Beschreibung:

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Video Language:
Portuguese
Team:
Khan Academy
Projekt:
Accessibility Brazil
Duration:
07:30

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