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Sinal da taxa de variação média de polinômios

  • 0:00 - 0:02
    RKA22JL - Olá,
    tudo bem com você?
  • 0:02 - 0:05
    Você vai assistir agora a mais
    uma aula de matemática
  • 0:05 - 0:12
    e, nessa aula, vamos resolver um exercício
    sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio.
  • 0:12 - 0:14
    Então, vamos ver o que
    o exercício está falando.
  • 0:14 - 0:23
    Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛,
    vezes x ao cubo, menos x ao quadrado.
  • 0:23 - 0:30
    Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa
    função que tem uma taxa de variação média positiva.
  • 0:30 - 0:34
    Como sempre, faça uma pausa
    neste vídeo e tente fazer isso.
  • 0:36 - 0:39
    Ok. Já tentou?
    Vamos fazer isso juntos agora?
  • 0:39 - 0:43
    Para começar, vamos nos lembrar
    sobre o que é a taxa de variação média.
  • 0:44 - 0:47
    Uma taxa de variação média
    pode ser vista como a variação
  • 0:47 - 0:53
    que ocorre em uma função para uma dada variação
    na variável, que, em nosso caso, é o x.
  • 0:53 - 0:59
    Ou seja, qual é a variação que ocorre em h
    para uma dada variação em x.
  • 0:59 - 1:02
    Como nosso objetivo
    é descobrir o intervalo,
  • 1:02 - 1:06
    podemos descobrir qual é a
    taxa de variação média fazendo o seguinte:
  • 1:06 - 1:11
    No denominador, podemos colocar
    nosso x final menos o x inicial,
  • 1:11 - 1:19
    e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função
    no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial.
  • 1:19 - 1:26
    Agora, uma coisa interessante é que a questão não está
    querendo calcular isso para todos os diferentes intervalos.
  • 1:26 - 1:34
    Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos
    em que a nossa taxa de variação média é positiva.
  • 1:34 - 1:40
    Se você olhar aqui, contando que o nosso x final
    seja maior que o x inicial,
  • 1:40 - 1:43
    a fim de ter uma
    taxa de variação média positiva,
  • 1:43 - 1:49
    nós só precisamos descobrir se h em x final
    é maior que h em x inicial.
  • 1:49 - 1:57
    Se o valor da função no ponto final é maior que o valor
    da função no ponto inicial em um determinado intervalo,
  • 1:57 - 2:01
    então teremos uma taxa de variação
    média positiva nesse intervalo.
  • 2:01 - 2:07
    Sabendo disso, vamos avaliar cada uma das opções
    que temos nessas alternativas.
  • 2:07 - 2:13
    Na letra A, temos x sendo maior ou igual
    a zero e menor ou igual a 2.
  • 2:13 - 2:19
    Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial,
    nem precisamos calcular, afinal,
  • 2:19 - 2:26
    já teremos isso sendo igual a zero, já que ⅛, vezes zero,
    menos zero é igual a zero.
  • 2:26 - 2:33
    Agora em nosso ponto inicial, temos h(2),
    que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência,
  • 2:33 - 2:41
    que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1.
    Isso menos 2 ao quadrado, que é 4.
  • 2:41 - 2:45
    Então, isso aqui vai ser
    1 menos 4, que é igual a -3.
  • 2:45 - 2:50
    Repare que não temos uma situação onde h
    no nosso ponto final é realmente maior.
  • 2:50 - 2:57
    Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação
    média negativa, então vou descartar essa opção.
  • 2:57 - 3:04
    Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar
    essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado,
  • 3:04 - 3:06
    que é o gráfico de nossa função h.
  • 3:06 - 3:13
    Podemos observar visualmente que realmente temos
    uma taxa de variação média negativa
  • 3:13 - 3:17
    quando vamos de
    x igual a zero até x igual a 2.
  • 3:17 - 3:23
    Em x igual a zero, a nossa função está aqui
    e em x igual a 2, a nossa função está aqui.
  • 3:23 - 3:28
    Como você pode perceber, em x igual a 2,
    nossa função tem um valor inferior.
  • 3:28 - 3:33
    Você também pode pensar na taxa de variação média
    como a inclinação da reta
  • 3:33 - 3:37
    que conecta os dois pontos
    da função nesse intervalo.
  • 3:37 - 3:41
    Repare que essa reta possui
    uma inclinação negativa,
  • 3:41 - 3:46
    sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa
    entre esses dois pontos.
  • 3:46 - 3:54
    E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0)
    e isso é igual a zero. E quanto é h(8)?
  • 3:54 - 4:00
    Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência
    é igual a quanto?
  • 4:00 - 4:07
    Se eu fizer 8 à terceira potência e dividir por 8,
    teremos a mesma coisa que 8 elevado à segunda potência.
  • 4:07 - 4:13
    Então, isso vai ser 64. Então,
    -8 elevado à segunda potência, que é 64.
  • 4:13 - 4:17
    Logo, teremos aqui 64 menos 64,
    que é zero.
  • 4:17 - 4:23
    Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero,
    já que o numerador vai ser zero,
  • 4:23 - 4:26
    logo, podemos descartar
    essa opção também.
  • 4:26 - 4:31
    Você pode ver isso aqui, quando o x é igual a zero,
    nossa função está aqui,
  • 4:31 - 4:34
    quando o x é igual a 8,
    a nossa função está aqui.
  • 4:34 - 4:39
    Repare que a reta que liga esses dois pontos
    possui uma inclinação igual a zero.
  • 4:39 - 4:45
    Ou seja, temos uma taxa de variação média
    sendo igual a zero entre esses dois pontos.
  • 4:45 - 4:52
    Agora, e a alternativa c? Vamos ver:
    h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado à terceira potência.
  • 4:52 - 4:58
    6 vezes 6 é 36,
    e 36 vezes 6 é 216,
  • 4:58 - 5:05
    então teremos aqui
    ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado, que é 36.
  • 5:05 - 5:18
    Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então, teremos
    aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36.
  • 5:18 - 5:26
    ¾ de 36 é 27, assim, teremos
    27 menos 36, que é igual a -9.
  • 5:26 - 5:29
    Poderíamos ter feito isso
    com uma calculadora,
  • 5:29 - 5:34
    mas é bom fazer isso para explorar outras formas
    de resolver expressões como essa.
  • 5:34 - 5:39
    Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido.
    Afinal, só fizemos um pouco de aritmética.
  • 5:39 - 5:48
    Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9
    e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero,
  • 5:49 - 5:55
    portanto, nossa função nesse ponto final
    é superior ao valor da nossa função no ponto inicial.
  • 5:55 - 5:59
    Sendo assim, temos uma
    taxa de variação média positiva.
  • 5:59 - 6:04
    Logo, essa alternativa está correta.
    Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive.
  • 6:04 - 6:10
    Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6,
    o valor de nossa função é -9
  • 6:10 - 6:16
    e quando x é igual a 8, o valor
    de nossa função é igual a zero.
  • 6:16 - 6:22
    Assim, a reta que conecta esses dois pontos
    tem uma inclinação positiva.
  • 6:22 - 6:26
    Portanto, temos uma taxa de variação média positiva
    durante esse intervalo.
  • 6:26 - 6:31
    Já chegamos à alternativa correta,
    mas vamos verificar essa última aqui também.
  • 6:31 - 6:37
    Já sabemos que h(0) é igual a zero
    e que h(6) é igual a -9.
  • 6:37 - 6:40
    Portanto, temos aqui uma
    taxa de variação média negativa,
  • 6:41 - 6:45
    porque no ponto final temos uma função menor
    que no ponto inicial,
  • 6:45 - 6:47
    então podemos
    descartar essa alternativa.
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    Você pode conferir isso aqui.
  • 6:49 - 6:55
    Se formos de x igual a zero até x igual a 6,
    temos a nossa reta se parecendo com isso aqui.
  • 6:56 - 7:03
    Perceba que a inclinação dessa reta é negativa,
    portanto, temos uma taxa de variação média negativa.
  • 7:03 - 7:07
    Eu espero que você tenha compreendido
    tudo direitinho o que vimos aqui
  • 7:07 - 7:11
    e, mais uma vez, eu quero deixar para você
    um grande abraço e até a próxima!
Titel:
Sinal da taxa de variação média de polinômios
Beschreibung:

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Video Language:
Portuguese
Team:
Khan Academy
Projekt:
Accessibility Brazil
Duration:
07:17

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