Sinal da taxa de variação média de polinômios

[RKA22] Olá, tudo bem com você?

Você vai assistir agora à mais uma aula de matemática

e, nessa aula, vamos resolver um exercício
sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio.

Então, vamos ver o que o exercício está falando.

Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛,
vezes x ao cubo, menos x ao quadrado.

Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função
que tem uma taxa de variação média positiva.

Como sempre, faça uma pausa nesse vídeo e tente fazer isso.

Okay. Já tentou? Vamos fazer isso juntos agora?

Para começar, vamos nos lembrar
sobre o que é a taxa de variação média.

Uma taxa de variação média pode ser vista como a variação

que ocorre em uma função para uma dada variação
na variável, que, em nosso caso, é o x.

Ou seja, qual é a variação que ocorre em h
para uma dada variação em x.

Como nosso objetivo é descobrir o intervalo, podemos descobrir
qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte.

No denominador, podemos colocar nosso x final menos o x inicial,

e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função
no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial.

Agora, uma coisa interessante é que a questão não está querendo
calcular isso para todos os diferentes intervalos.

Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos
em que a nossa taxa de variação média é positiva.

Se você olhar aqui, contando que o nosso x final
seja maior que o x inicial,

a fim de ter uma taxa de variação média positiva,

nós só precisamos descobrir se h em x final
é maior que h em x inicial.

Se o valor da função no ponto final é maior que o valor
da função no ponto inicial em um determinado intervalo,

então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo.

Sabendo isso, vamos avaliar cada uma das opções
que temos nessas alternativas.

Na letra A, temos x sendo maior ou igual a zero
e menor ou igual a 2.

Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial,
nem precisamos calcular, afinal,

já teremos isso sendo igual a zero, já que ⅛, vezes zero,
menos zero é igual a zero.

Agora em nosso ponto inicial, temos h(2),
que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência,

que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1.
Isso menos 2 ao quadrado, que é 4.

Então, isso aqui vai ser 1 menos 4, que é igual a -3.

Repare que não temos uma situação onde h
no nosso ponto final é realmente maior.

Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação média negativa,
então vou descartar essa opção.

Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar
essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado,

que é o gráfico de nossa função h.

Podemos observar visualmente que realmente temos
uma taxa de variação média negativa

quando vamos de x igual a zero até x igual a 2.

Em x igual a zero, a nossa função está aqui
e em x igual a 2, a nossa função está aqui.

Como você pode perceber, em x igual a 2,
nossa função tem um valor inferior.

Você também pode pensar na taxa de variação média
como a inclinação da reta

que conecta os dois pontos da função nesse intervalo.

Repare que essa reta possui uma inclinação negativa,

sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa
entre esses dois pontos.

E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0)
e isso é igual a zero. E quanto é h(8)?

Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência
é igual a quanto?

Se eu fizer 8 à terceira potência e dividir por 8,
teremos a mesma coisa que 8 elevado a segunda potência.

Então, isso vai ser 64. Então, -8 elevado a segunda potência,
que é 64.

Logo, teremos aqui 64 menos 64, que é zero.

Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero,
já que o numerador vai ser zero,

logo, podemos descartar essa opção também.

Você pode ver isso aqui, quando o x é igual ao zero,
nossa função está aqui,

quando o x é igual a 8, a nossa função está aqui.

Repare que a reta que liga esses dois pontos
possui uma inclinação igual a zero.

Ou seja, temos uma taxa de variação média sendo igual a zero
entre esses dois pontos.

Agora, e a alternativa c? Vamos ver:
h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado a terceira potência.

6 vezes 6 é 36, e 36 vezes 6 é 216,

então teremos aqui ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado,
que é 36.

Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então,
teremos aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36.

¾ de 36 é 27, assim, teremos 27 menos 36, que é igual a -9.

Poderíamos ter feito isso com uma calculadora,

mas é bom fazer isso para explorar outras formas
de resolver expressões como essa.

Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido.
Afinal, só fizemos um pouco de aritmética.

Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9
e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero,

portanto, nossa função nesse ponto final
é superior ao valor da nossa função no ponto inicial.

Sendo assim, temos uma taxa de variação média positiva.

Logo, essa alternativa está correta.
Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive.

Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6,
o valor de nossa função é -9

e quando x é igual a 8, o valor de nossa função é igual a zero.

Assim, a reta que conecta esses dois pontos
tem uma inclinação positiva.

Portanto, temos uma taxa de variação média positiva
durante esse intervalo.

Já chegamos à alternativa correta,
mas vamos verificar essa última aqui também.

Já sabemos que h(0) é igual a zero e que h(6) é igual a -9.

Portanto, temos aqui uma taxa de variação média negativa,

porque no ponto final temos uma função menor
que no ponto inicial,

então podemos descartar essa alternativa.

Você pode conferir isso aqui.

Se formos de x igual a zero até x igual a 6,
temos a nossa reta se parecendo com isso aqui.

Perceba que a inclinação dessa reta é negativa,
portanto, temos uma taxa de variação média negativa.

Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que vimos aqui

e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!