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Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:05.12,Default,,0000,0000,0000,,RKA22JL - Olá! Tudo bem com você? \NVamos começar agora mais uma aula de matemática.
Dialogue: 0,0:00:05.17,0:00:09.61,Default,,0000,0000,0000,,E, nessa aula, vamos começar a conversar \Nsobre o teorema da divergência.
Dialogue: 0,0:00:09.64,0:00:11.99,Default,,0000,0000,0000,,Mas o que é o teorema da divergência?
Dialogue: 0,0:00:11.100,0:00:18.54,Default,,0000,0000,0000,,O teorema da divergência realiza uma igualdade \Nentre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial
Dialogue: 0,0:00:18.64,0:00:26.10,Default,,0000,0000,0000,,e a integral tripla sobre a região tridimensional \Ndelimitada pela superfície do divergente do campo vetorial.
Dialogue: 0,0:00:26.15,0:00:29.35,Default,,0000,0000,0000,,Ou seja, vamos supor que\Nhaja um campo vetorial F.
Dialogue: 0,0:00:29.48,0:00:37.22,Default,,0000,0000,0000,,A integral dupla sobre a superfície do produto escalar \Nentre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície,
Dialogue: 0,0:00:37.30,0:00:40.55,Default,,0000,0000,0000,,que representamos\Ncom um n chapéu, dS,
Dialogue: 0,0:00:40.55,0:00:46.12,Default,,0000,0000,0000,,é igual à integral tripla sobre\Na região R do divergente de F, dV,
Dialogue: 0,0:00:46.17,0:00:48.67,Default,,0000,0000,0000,,que representa o\Ndiferencial de volume.
Dialogue: 0,0:00:48.75,0:00:53.20,Default,,0000,0000,0000,,O que vamos começar a fazer neste vídeo \Né realizar a demonstração deste teorema,
Dialogue: 0,0:00:53.29,0:00:58.20,Default,,0000,0000,0000,,mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando \Ncom uma região sólida simples
Dialogue: 0,0:00:58.22,0:01:00.87,Default,,0000,0000,0000,,e isso significa que, formalmente,
Dialogue: 0,0:01:00.87,0:01:06.37,Default,,0000,0000,0000,,estamos pensando em uma região que pode ser\Ndo tipo um, do tipo dois ou do tipo três.
Dialogue: 0,0:01:06.42,0:01:11.30,Default,,0000,0000,0000,,Já existem vídeos nos quais eu falei \Nsobre o significado desses tipos de regiões,
Dialogue: 0,0:01:11.31,0:01:18.65,Default,,0000,0000,0000,,mas a maioria das formas básicas acabam sendo \Numa dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples.
Dialogue: 0,0:01:18.70,0:01:23.45,Default,,0000,0000,0000,,Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram \Nem um desses tipos de regiões,
Dialogue: 0,0:01:23.52,0:01:27.15,Default,,0000,0000,0000,,mas e quando a região não\Nfor de nenhum desses três tipos?
Dialogue: 0,0:01:27.18,0:01:33.10,Default,,0000,0000,0000,,O ideal é que você faça uma transformação, \Nfazendo com que ela se torne uma região simples.
Dialogue: 0,0:01:33.13,0:01:37.40,Default,,0000,0000,0000,,Mas vamos supor que estamos\Nlidando com uma região sólida simples.
Dialogue: 0,0:01:37.47,0:01:42.72,Default,,0000,0000,0000,,Sabendo disso, vamos assumir que o nosso\Ncampo vetorial F pode ser escrito como:
Dialogue: 0,0:01:42.72,0:01:45.55,Default,,0000,0000,0000,,P, que é uma função de x, y e z,
Dialogue: 0,0:01:45.60,0:01:51.89,Default,,0000,0000,0000,,vezes i chapéu, mais Q, que também é \Numa função de x, y, z, vezes j chapéu,
Dialogue: 0,0:01:51.92,0:01:56.57,Default,,0000,0000,0000,,mais R, que é outra função\Nde x, y e z, vezes k chapéu.
Dialogue: 0,0:01:56.65,0:02:00.62,Default,,0000,0000,0000,,Feito isso, vamos abrir cada\Num desses lados da igualdade.
Dialogue: 0,0:02:00.67,0:02:03.50,Default,,0000,0000,0000,,Primeiro, vamos pensar\Nsobre o F escalar, n.
Dialogue: 0,0:02:03.57,0:02:05.42,Default,,0000,0000,0000,,Vamos pensar\Num pouco sobre isso.
Dialogue: 0,0:02:05.47,0:02:14.94,Default,,0000,0000,0000,,O produto escalar entre F e n é igual a essa componente \Nvezes a componente i de n, mais essa componente
Dialogue: 0,0:02:15.02,0:02:21.10,Default,,0000,0000,0000,,vezes a componentes j de n, mais essa componente \Nvezes a componente k de n.
Dialogue: 0,0:02:21.13,0:02:29.15,Default,,0000,0000,0000,,Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses, \No produto escalar entre i chapéu e n chapéu.
Dialogue: 0,0:02:29.22,0:02:33.15,Default,,0000,0000,0000,,Não podemos esquecer que\Ni chapéu é um vetor unitário, ok?
Dialogue: 0,0:02:33.16,0:02:39.85,Default,,0000,0000,0000,,Precisamos deixar isso bem claro, porque, \Nao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu,
Dialogue: 0,0:02:39.90,0:02:43.82,Default,,0000,0000,0000,,teremos apenas a componente i\Ndo vetor normal n chapéu.
Dialogue: 0,0:02:43.84,0:02:49.32,Default,,0000,0000,0000,,E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja,\Nbasicamente, vamos fazer o produto escalar
Dialogue: 0,0:02:49.32,0:02:51.94,Default,,0000,0000,0000,,entre os módulos\Ndas componentes de x.
Dialogue: 0,0:02:51.96,0:02:57.86,Default,,0000,0000,0000,,Somamos isso com o Q vezes j chapéu,\Nescalar com n chapéu.
Dialogue: 0,0:02:57.91,0:03:02.27,Default,,0000,0000,0000,,Novamente, fazendo o produto escalar\Nde j chapéu com n chapéu,
Dialogue: 0,0:03:02.27,0:03:06.41,Default,,0000,0000,0000,,teremos o produto escalar entre\Nos módulos das componentes j.
Dialogue: 0,0:03:06.43,0:03:11.71,Default,,0000,0000,0000,,Isso mais R vezes\Nk chapéu escalar, n chapéu.
Dialogue: 0,0:03:11.77,0:03:16.51,Default,,0000,0000,0000,,Não costumamos ver dessa forma, mas\Npodemos dizer que é razoável pensar assim.
Dialogue: 0,0:03:16.54,0:03:23.16,Default,,0000,0000,0000,,Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da\Ncomponente i do vetor normal n,
Dialogue: 0,0:03:23.17,0:03:30.48,Default,,0000,0000,0000,,e isso é exatamente o que queremos no produto escalar, \Ne o mesmo se aplica à componente j e à componente k.
Dialogue: 0,0:03:30.48,0:03:38.33,Default,,0000,0000,0000,,Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual\Na m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu,
Dialogue: 0,0:03:38.43,0:03:43.64,Default,,0000,0000,0000,,mais O vezes k chapéu, ou algo parecido, \Ne verá que isso funciona muito bem.
Dialogue: 0,0:03:43.69,0:03:47.76,Default,,0000,0000,0000,,Enfim, visto isso agora, como\Npodemos simplificar essa expressão?
Dialogue: 0,0:03:47.80,0:03:52.74,Default,,0000,0000,0000,,Podemos reescrever o lado esquerdo \Ncomo a integral de superfície de F.
Dialogue: 0,0:03:52.74,0:03:58.72,Default,,0000,0000,0000,,Eu vou escrever isso aqui várias vezes. \NEntão colocamos F escalar dS, que é igual
Dialogue: 0,0:03:58.72,0:04:03.100,Default,,0000,0000,0000,,à integral de superfície de r escalar, n chapéu,\Nvezes o escalar dS.
Dialogue: 0,0:04:04.00,0:04:09.68,Default,,0000,0000,0000,,Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície \Nde tudo isso que escrevi.
Dialogue: 0,0:04:09.72,0:04:12.48,Default,,0000,0000,0000,,Eu vou reescrever\Nrapidinho novamente, ok?
Dialogue: 0,0:04:12.52,0:04:17.43,Default,,0000,0000,0000,,Colocamos tudo isso aqui\Nentre parênteses e, no final, o dS.
Dialogue: 0,0:04:17.45,0:04:20.54,Default,,0000,0000,0000,,Agora, tudo isso pode ser reescrito como
Dialogue: 0,0:04:20.54,0:04:27.68,Default,,0000,0000,0000,,a integral da superfície de P vezes o\Nproduto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS,
Dialogue: 0,0:04:27.72,0:04:35.68,Default,,0000,0000,0000,,mais a integral de superfície de Q, vezes o\Nproduto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS,
Dialogue: 0,0:04:35.68,0:04:43.95,Default,,0000,0000,0000,,mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar\Nentre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS.
Dialogue: 0,0:04:43.95,0:04:46.08,Default,,0000,0000,0000,,Observe que eu quebrei isso aqui.
Dialogue: 0,0:04:46.11,0:04:48.38,Default,,0000,0000,0000,,Eu estava fazendo\Na integral dessa forma.
Dialogue: 0,0:04:48.39,0:04:55.18,Default,,0000,0000,0000,,Agora, o que temos aqui é a soma das integrais, \Ne tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência.
Dialogue: 0,0:04:55.23,0:04:57.18,Default,,0000,0000,0000,,Agora, vamos pensar\Nsobre o lado direito.
Dialogue: 0,0:04:57.25,0:05:03.10,Default,,0000,0000,0000,,Qual é o divergente de F? O divergente de F, \Nbaseado nessa expressão de F,
Dialogue: 0,0:05:03.12,0:05:11.43,Default,,0000,0000,0000,,será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de\NQ em relação a y, mais a parcial de r em relação a z.
Dialogue: 0,0:05:11.48,0:05:20.08,Default,,0000,0000,0000,,Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita \Ncomo a integral tripla da parcial de P em relação a x,
Dialogue: 0,0:05:20.13,0:05:26.13,Default,,0000,0000,0000,,mais a parcial de Q em relação a y,\Nmais a parcial de r em relação a z.
Dialogue: 0,0:05:26.16,0:05:31.35,Default,,0000,0000,0000,,Isso aqui de novo, ao invés de escrever\Ncomo a integral tripla dessa soma,
Dialogue: 0,0:05:31.35,0:05:34.71,Default,,0000,0000,0000,,podemos escrever como\Na soma das integrais triplas.
Dialogue: 0,0:05:34.71,0:05:42.18,Default,,0000,0000,0000,,Então isso pode ser reescrito como a integral tripla \Nsobre a nossa região tridimensional da parcial de P
Dialogue: 0,0:05:42.20,0:05:49.52,Default,,0000,0000,0000,,em relação a x, dV, mais a integral tripla \Nda parcial de Q em relação a y, dV,
Dialogue: 0,0:05:49.55,0:05:54.54,Default,,0000,0000,0000,,mais a integral tripla da parcial\Nde r em relação a z, dV.
Dialogue: 0,0:05:54.58,0:06:00.86,Default,,0000,0000,0000,,Novamente falando, o teorema da divergência diz \Nque isso precisa ser igual a tudo isso aqui.
Dialogue: 0,0:06:00.92,0:06:04.50,Default,,0000,0000,0000,,Só escrevemos essa igualdade aqui\Nem cima de uma forma diferente.
Dialogue: 0,0:06:04.60,0:06:08.03,Default,,0000,0000,0000,,Sendo assim, para provar que\Nessa igualdade é verdadeira,
Dialogue: 0,0:06:08.10,0:06:12.75,Default,,0000,0000,0000,,temos que mostrar que cada um desses\Ntermos correspondentes são iguais entre si.
Dialogue: 0,0:06:12.75,0:06:18.31,Default,,0000,0000,0000,,Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si, \Nque esses aqui são iguais entre si
Dialogue: 0,0:06:18.44,0:06:22.87,Default,,0000,0000,0000,,e que esses aqui são iguais entre si.\NO nosso objetivo é provar isso.
Dialogue: 0,0:06:22.90,0:06:27.45,Default,,0000,0000,0000,,Claro, nossa região R pode ser do tipo um, \Ndo tipo dois ou do tipo três,
Dialogue: 0,0:06:27.48,0:06:31.42,Default,,0000,0000,0000,,mas, particularmente, vamos fazer isso \Nem uma região do tipo um.
Dialogue: 0,0:06:31.47,0:06:36.29,Default,,0000,0000,0000,,Porém, você pode utilizar o mesmo argumento \Npara regiões do tipo dois e do tipo três.
Dialogue: 0,0:06:36.37,0:06:43.12,Default,,0000,0000,0000,,Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro, \Ncada um desses termos precisa ser igual.
Dialogue: 0,0:06:43.17,0:06:46.30,Default,,0000,0000,0000,,Enfim, eu espero que você\Ntenha compreendido tudo direitinho
Dialogue: 0,0:06:46.30,0:06:50.77,Default,,0000,0000,0000,,e, mais uma vez, eu quero deixar para você \Num grande abraço e até a próxima!\N