1
00:00:00,000 --> 00:00:01,875
RKA22JL - Olá,
tudo bem com você?

2
00:00:02,125 --> 00:00:05,200
Você vai assistir agora a mais
uma aula de matemática,

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00:00:05,275 --> 00:00:11,199
e, nessa aula, vamos construir 
um vetor unitário normal a uma determinada superfície.

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00:00:11,276 --> 00:00:16,225
Mas, antes disso, é importante lembrar que
é muito comum, em diversas situações,

5
00:00:16,254 --> 00:00:19,828
realizarmos o cálculo de
uma integral de superfície.

6
00:00:19,850 --> 00:00:25,128
Essa integral corresponde ao fluxo 
através de uma determinada superfície.

7
00:00:25,201 --> 00:00:33,200
Sabendo disso, podemos observar essa superfície 
e construir um vetor unitário normal a essa superfície.

8
00:00:33,252 --> 00:00:39,126
Na verdade, podemos construir um vetor unitário normal 
a qualquer ponto dessa superfície.

9
00:00:39,251 --> 00:00:46,998
Para fazer isso, eu vou supor que nossa superfície 
possa ser parametrizada pela função de posição do vetor r,

10
00:00:47,039 --> 00:00:50,228
em que r é uma função
de dois parâmetros.

11
00:00:50,327 --> 00:00:56,401
É uma função de u e uma função de v, ou seja, 
tendo um valor u e um valor v,

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00:00:56,454 --> 00:01:03,950
podemos colocar nessa função, pois ela vai essencialmente 
especificar um ponto nessa superfície bidimensional.

13
00:01:04,060 --> 00:01:10,652
Uma coisa que posso falar é que essa superfície 
pode ser curvada, ela não precisa ser plana.

14
00:01:10,727 --> 00:01:14,800
Ou seja, ela pode existir
em um espaço tridimensional.

15
00:01:14,922 --> 00:01:21,199
Com isso, um certo u e um certo v vão especificar 
um dado ponto nessa superfície.

16
00:01:21,304 --> 00:01:24,853
Agora, vamos pensar sobre como
as direções de r se parecem,

17
00:01:24,903 --> 00:01:31,151
ou seja, o que é a parcial de r em relação a u, 
e o que é a parcial de r em relação a v.

18
00:01:31,165 --> 00:01:37,526
Para isso, vamos dizer que estamos em um
determinado ponto. Ou seja, estamos em um ponto uv.

19
00:01:37,578 --> 00:01:43,651
Para um determinado uv, encontramos um vetor de posição 
que nos leva a esse ponto na superfície.

20
00:01:43,726 --> 00:01:47,347
Então, vamos dizer que
adicionamos a u um pequeno valor.

21
00:01:47,347 --> 00:01:52,223
Ao adicionar um pequeno valor a u,
vamos obter um outro ponto da superfície.

22
00:01:52,409 --> 00:01:55,432
Vamos dizer que esse
outro ponto na superfície é aqui.

23
00:01:55,481 --> 00:01:58,482
Sendo assim, como esse
vetor ru vai se parecer?

24
00:01:58,532 --> 00:02:03,531
O módulo dele vai depender da rapidez 
com a qual essa pequena mudança ocorreu,

25
00:02:03,651 --> 00:02:08,045
ou seja, o quão rápido nos
movimentamos em direção a esse ponto.

26
00:02:08,175 --> 00:02:13,322
Porém, a orientação será em direção a esse ponto, 
ao longo da superfície, claro.

27
00:02:13,424 --> 00:02:17,718
Vamos sair de um ponto na superfície
e vamos até outro ponto,

28
00:02:17,780 --> 00:02:23,574
em que basicamente esse vetor aqui será tangente 
à superfície nesse ponto de origem.

29
00:02:23,646 --> 00:02:28,996
Eu vou desenhar isso um pouco maior aqui embaixo 
para que consigamos ter uma visualização um pouco melhor.

30
00:02:29,030 --> 00:02:32,596
Então teremos o nosso ru
se parecendo com isso aqui.

31
00:02:32,648 --> 00:02:37,495
Não se esqueça, isso aqui é apenas uma aplicação 
do que desenhamos na superfície.

32
00:02:37,548 --> 00:02:42,746
Agora, voltando ao ponto na superfície, 
também podemos acrescentar um pequeno valor ao v,

33
00:02:42,760 --> 00:02:45,197
assim, vamos ir até esse ponto aqui.

34
00:02:45,316 --> 00:02:50,357
Sendo assim, o nosso vetor posição r
apontaria para esse ponto.

35
00:02:50,407 --> 00:02:53,986
Sabendo disso, como o
nosso rv vai se parecer?

36
00:02:54,015 --> 00:03:00,219
Novamente, o módulo desse vetor vai depender 
da rapidez com a qual nos movimentamos até aqui,

37
00:03:00,255 --> 00:03:04,021
porém, é a orientação que
importa para nós agora.

38
00:03:04,046 --> 00:03:10,546
A direção é tangente à superfície, vamos de um ponto 
na superfície até outro ponto à medida que alteramos o v.

39
00:03:10,594 --> 00:03:13,446
Sendo assim, o rv vai se
parecer com algo assim.

40
00:03:13,475 --> 00:03:18,670
O ru e o rv não são necessariamente perpendiculares 
um em relação ao outro.

41
00:03:18,721 --> 00:03:23,694
Na verdade, da forma como eu os desenhei,
eles não são perpendiculares entre si.

42
00:03:23,743 --> 00:03:31,370
Porém, ambos são tangentes ao plano, ambos os vetores 
estão nos dizendo qual é a tangente nesse ponto.

43
00:03:31,384 --> 00:03:37,221
Ou seja, qual é a inclinação na direção u 
e qual é a inclinação na direção v.

44
00:03:37,248 --> 00:03:42,544
Quando você tem dois vetores que são tangentes ao plano 
e eles não são o mesmo vetor,

45
00:03:42,558 --> 00:03:45,892
eles estão especificando
uma espécie de plano.

46
00:03:45,922 --> 00:03:49,921
Inclusive, podemos imaginar que
temos um plano desse jeito aqui.

47
00:03:49,947 --> 00:03:53,733
Aí, se você realizar combinações lineares
dessas duas coisas,

48
00:03:53,733 --> 00:03:57,520
você vai obter um plano
do qual ambos fazem parte.

49
00:03:57,530 --> 00:04:01,446
Já fizemos isso em outro momento,
mas vamos relembrar rapidinho.

50
00:04:01,503 --> 00:04:05,970
O que acontece quando eu calculo
o produto vetorial entre ru e rv?

51
00:04:05,970 --> 00:04:08,536
Isso vai nos fornecer outro vetor, certo?

52
00:04:08,656 --> 00:04:13,699
Isso vai nos fornecer um outro vetor que é perpendicular 
a ambos os vetores.

53
00:04:13,797 --> 00:04:18,923
Ou seja, um vetor que é
perpendicular os vetores ru e rv.

54
00:04:18,961 --> 00:04:21,314
Assim, uma outra forma
de se pensar nisso

55
00:04:21,314 --> 00:04:26,623
é que esse plano que obtemos aqui
é um plano tangente à superfície.

56
00:04:26,672 --> 00:04:34,873
Assim, ao calcular o produto vetorial entre ru e rv, 
teremos um vetor que é perpendicular à essa superfície.

57
00:04:34,901 --> 00:04:41,271
Com isso, teremos um vetor que é normal a esse plano, 
formado pelos vetores ru e rv.

58
00:04:41,424 --> 00:04:49,076
Como esse plano formado por ru e rv é tangente à superfície 
e o vetor encontrado é normal a esse plano,

59
00:04:49,151 --> 00:04:56,622
temos que o vetor encontrado através do produto vetorial 
entre ru e rv é perpendicular à superfície em si.

60
00:04:56,699 --> 00:05:00,197
Pelo menos a esse ponto da
superfície que estamos observando.

61
00:05:00,251 --> 00:05:04,998
Então, esse vetor será um vetor normal 
à superfície no ponto em questão.

62
00:05:05,049 --> 00:05:08,449
Eu não estou falando da unidade
de medida do vetor normal

63
00:05:08,526 --> 00:05:12,699
porque podemos ter vetores normais diferentes 
com módulos diferentes.

64
00:05:12,773 --> 00:05:16,470
Por isso é importante dizer
que esse é um vetor normal

65
00:05:16,547 --> 00:05:22,248
e que o obtemos quando calculamos
o produto vetorial entre ru e rv.

66
00:05:22,371 --> 00:05:29,247
Olhe só que legal. Nós podemos pensar em qual direção 
ele está orientado utilizando uma regra muito interessante.

67
00:05:29,270 --> 00:05:35,326
Podemos pegar a nossa mão direita e utilizar três dedos 
como referência para a orientação.

68
00:05:35,372 --> 00:05:39,480
Temos inicialmente o nosso
polegar aqui orientado para cima,

69
00:05:39,480 --> 00:05:42,548
ele vai indicar a orientação
de um dos vetores.

70
00:05:42,598 --> 00:05:45,849
No caso, o primeiro vetor,
que aqui é o ru.

71
00:05:45,900 --> 00:05:51,574
Podemos também ter o nosso dedo indicador aqui, 
que vai apontar para a direção do segundo vetor,

72
00:05:51,674 --> 00:05:53,570
que, em nosso caso, é o rv.

73
00:05:53,570 --> 00:06:00,304
Por último, temos o dedo médio, que dobramos 
para ficar orientado para fora da palma da mão.

74
00:06:00,344 --> 00:06:07,738
Esse dedo indicará a direção do vetor obtido 
através do produto vetorial entre o ru e o rv.

75
00:06:07,814 --> 00:06:11,384
Meus outros dois dedos e a minha
mão se parecem com isso aqui.

76
00:06:11,458 --> 00:06:15,061
Eu sei que o meu desenho não está perfeito, 
mas é só para você ter uma ideia.

77
00:06:15,093 --> 00:06:18,753
Enfim, em todo caso, eu estou
dobrando esses outros dois dedos

78
00:06:18,753 --> 00:06:21,509
porque eles não são
relevantes para esse caso.

79
00:06:21,589 --> 00:06:25,251
Isso que fizemos é conhecido
como a regra da mão direita,

80
00:06:25,321 --> 00:06:30,635
e isso nos fornece a direção do vetor normal
à superfície em um ponto específico.

81
00:06:30,649 --> 00:06:36,685
Agora, é importante saber também que, em um ponto, 
temos dois vetores que são normais à superfície.

82
00:06:36,694 --> 00:06:43,645
Um vetor que é orientado para fora e outro vetor
que é orientado para dentro da superfície.

83
00:06:43,748 --> 00:06:47,095
Outra coisa importante
também é que, até agora,

84
00:06:47,095 --> 00:06:51,364
o que eu fiz foi apenas obter um
vetor que é normal à superfície.

85
00:06:51,449 --> 00:06:55,113
Porém, para encontrar um
vetor normal que seja unitário,

86
00:06:55,113 --> 00:06:58,975
é preciso normalizar esse vetor.
E como fazemos isso?

87
00:06:59,024 --> 00:07:03,076
Para fazer isso, precisamos
dividir esse vetor pelo seu módulo.

88
00:07:03,128 --> 00:07:06,974
Ou seja, o vetor normal que
é uma função de u e v,

89
00:07:07,024 --> 00:07:13,274
já que precisamos fornecer um valor para u 
e um valor para v para encontrar esse valor normal.

90
00:07:13,350 --> 00:07:16,724
Então isso vai ser igual
ao nosso produto vetorial

91
00:07:16,724 --> 00:07:21,443
entre a parcial de r em relação ao u 
e a parcial de r em relação a v,

92
00:07:21,502 --> 00:07:24,475
dividido pelo módulo da mesma coisa.

93
00:07:24,508 --> 00:07:30,703
Ou seja, o módulo do produto vetorial entre ru e rv. 
E pronto, terminamos.

94
00:07:30,752 --> 00:07:34,875
Construímos um vetor unitário
normal a um ponto da superfície.

95
00:07:34,926 --> 00:07:38,321
Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho 
o que conversamos aqui

96
00:07:38,333 --> 00:07:43,047
e, mais uma vez, eu quero deixar para você 
um grande abraço e até a próxima!