0:00:00.000,0:00:01.875
RKA22JL - Olá,[br]tudo bem com você?

0:00:02.125,0:00:05.200
Você vai assistir agora a mais[br]uma aula de matemática,

0:00:05.275,0:00:11.199
e, nessa aula, vamos construir [br]um vetor unitário normal a uma determinada superfície.

0:00:11.276,0:00:16.225
Mas, antes disso, é importante lembrar que[br]é muito comum, em diversas situações,

0:00:16.254,0:00:19.828
realizarmos o cálculo de[br]uma integral de superfície.

0:00:19.850,0:00:25.128
Essa integral corresponde ao fluxo [br]através de uma determinada superfície.

0:00:25.201,0:00:33.200
Sabendo disso, podemos observar essa superfície [br]e construir um vetor unitário normal a essa superfície.

0:00:33.252,0:00:39.126
Na verdade, podemos construir um vetor unitário normal [br]a qualquer ponto dessa superfície.

0:00:39.251,0:00:46.998
Para fazer isso, eu vou supor que nossa superfície [br]possa ser parametrizada pela função de posição do vetor r,

0:00:47.039,0:00:50.228
em que r é uma função[br]de dois parâmetros.

0:00:50.327,0:00:56.401
É uma função de u e uma função de v, ou seja, [br]tendo um valor u e um valor v,

0:00:56.454,0:01:03.950
podemos colocar nessa função, pois ela vai essencialmente [br]especificar um ponto nessa superfície bidimensional.

0:01:04.060,0:01:10.652
Uma coisa que posso falar é que essa superfície [br]pode ser curvada, ela não precisa ser plana.

0:01:10.727,0:01:14.800
Ou seja, ela pode existir[br]em um espaço tridimensional.

0:01:14.922,0:01:21.199
Com isso, um certo u e um certo v vão especificar [br]um dado ponto nessa superfície.

0:01:21.304,0:01:24.853
Agora, vamos pensar sobre como[br]as direções de r se parecem,

0:01:24.903,0:01:31.151
ou seja, o que é a parcial de r em relação a u, [br]e o que é a parcial de r em relação a v.

0:01:31.165,0:01:37.526
Para isso, vamos dizer que estamos em um[br]determinado ponto. Ou seja, estamos em um ponto uv.

0:01:37.578,0:01:43.651
Para um determinado uv, encontramos um vetor de posição [br]que nos leva a esse ponto na superfície.

0:01:43.726,0:01:47.347
Então, vamos dizer que[br]adicionamos a u um pequeno valor.

0:01:47.347,0:01:52.223
Ao adicionar um pequeno valor a u,[br]vamos obter um outro ponto da superfície.

0:01:52.409,0:01:55.432
Vamos dizer que esse[br]outro ponto na superfície é aqui.

0:01:55.481,0:01:58.482
Sendo assim, como esse[br]vetor ru vai se parecer?

0:01:58.532,0:02:03.531
O módulo dele vai depender da rapidez [br]com a qual essa pequena mudança ocorreu,

0:02:03.651,0:02:08.045
ou seja, o quão rápido nos[br]movimentamos em direção a esse ponto.

0:02:08.175,0:02:13.322
Porém, a orientação será em direção a esse ponto, [br]ao longo da superfície, claro.

0:02:13.424,0:02:17.718
Vamos sair de um ponto na superfície[br]e vamos até outro ponto,

0:02:17.780,0:02:23.574
em que basicamente esse vetor aqui será tangente [br]à superfície nesse ponto de origem.

0:02:23.646,0:02:28.996
Eu vou desenhar isso um pouco maior aqui embaixo [br]para que consigamos ter uma visualização um pouco melhor.

0:02:29.030,0:02:32.596
Então teremos o nosso ru[br]se parecendo com isso aqui.

0:02:32.648,0:02:37.495
Não se esqueça, isso aqui é apenas uma aplicação [br]do que desenhamos na superfície.

0:02:37.548,0:02:42.746
Agora, voltando ao ponto na superfície, [br]também podemos acrescentar um pequeno valor ao v,

0:02:42.760,0:02:45.197
assim, vamos ir até esse ponto aqui.

0:02:45.316,0:02:50.357
Sendo assim, o nosso vetor posição r[br]apontaria para esse ponto.

0:02:50.407,0:02:53.986
Sabendo disso, como o[br]nosso rv vai se parecer?

0:02:54.015,0:03:00.219
Novamente, o módulo desse vetor vai depender [br]da rapidez com a qual nos movimentamos até aqui,

0:03:00.255,0:03:04.021
porém, é a orientação que[br]importa para nós agora.

0:03:04.046,0:03:10.546
A direção é tangente à superfície, vamos de um ponto [br]na superfície até outro ponto à medida que alteramos o v.

0:03:10.594,0:03:13.446
Sendo assim, o rv vai se[br]parecer com algo assim.

0:03:13.475,0:03:18.670
O ru e o rv não são necessariamente perpendiculares [br]um em relação ao outro.

0:03:18.721,0:03:23.694
Na verdade, da forma como eu os desenhei,[br]eles não são perpendiculares entre si.

0:03:23.743,0:03:31.370
Porém, ambos são tangentes ao plano, ambos os vetores [br]estão nos dizendo qual é a tangente nesse ponto.

0:03:31.384,0:03:37.221
Ou seja, qual é a inclinação na direção u [br]e qual é a inclinação na direção v.

0:03:37.248,0:03:42.544
Quando você tem dois vetores que são tangentes ao plano [br]e eles não são o mesmo vetor,

0:03:42.558,0:03:45.892
eles estão especificando[br]uma espécie de plano.

0:03:45.922,0:03:49.921
Inclusive, podemos imaginar que[br]temos um plano desse jeito aqui.

0:03:49.947,0:03:53.733
Aí, se você realizar combinações lineares[br]dessas duas coisas,

0:03:53.733,0:03:57.520
você vai obter um plano[br]do qual ambos fazem parte.

0:03:57.530,0:04:01.446
Já fizemos isso em outro momento,[br]mas vamos relembrar rapidinho.

0:04:01.503,0:04:05.970
O que acontece quando eu calculo[br]o produto vetorial entre ru e rv?

0:04:05.970,0:04:08.536
Isso vai nos fornecer outro vetor, certo?

0:04:08.656,0:04:13.699
Isso vai nos fornecer um outro vetor que é perpendicular [br]a ambos os vetores.

0:04:13.797,0:04:18.923
Ou seja, um vetor que é[br]perpendicular os vetores ru e rv.

0:04:18.961,0:04:21.314
Assim, uma outra forma[br]de se pensar nisso

0:04:21.314,0:04:26.623
é que esse plano que obtemos aqui[br]é um plano tangente à superfície.

0:04:26.672,0:04:34.873
Assim, ao calcular o produto vetorial entre ru e rv, [br]teremos um vetor que é perpendicular à essa superfície.

0:04:34.901,0:04:41.271
Com isso, teremos um vetor que é normal a esse plano, [br]formado pelos vetores ru e rv.

0:04:41.424,0:04:49.076
Como esse plano formado por ru e rv é tangente à superfície [br]e o vetor encontrado é normal a esse plano,

0:04:49.151,0:04:56.622
temos que o vetor encontrado através do produto vetorial [br]entre ru e rv é perpendicular à superfície em si.

0:04:56.699,0:05:00.197
Pelo menos a esse ponto da[br]superfície que estamos observando.

0:05:00.251,0:05:04.998
Então, esse vetor será um vetor normal [br]à superfície no ponto em questão.

0:05:05.049,0:05:08.449
Eu não estou falando da unidade[br]de medida do vetor normal

0:05:08.526,0:05:12.699
porque podemos ter vetores normais diferentes [br]com módulos diferentes.

0:05:12.773,0:05:16.470
Por isso é importante dizer[br]que esse é um vetor normal

0:05:16.547,0:05:22.248
e que o obtemos quando calculamos[br]o produto vetorial entre ru e rv.

0:05:22.371,0:05:29.247
Olhe só que legal. Nós podemos pensar em qual direção [br]ele está orientado utilizando uma regra muito interessante.

0:05:29.270,0:05:35.326
Podemos pegar a nossa mão direita e utilizar três dedos [br]como referência para a orientação.

0:05:35.372,0:05:39.480
Temos inicialmente o nosso[br]polegar aqui orientado para cima,

0:05:39.480,0:05:42.548
ele vai indicar a orientação[br]de um dos vetores.

0:05:42.598,0:05:45.849
No caso, o primeiro vetor,[br]que aqui é o ru.

0:05:45.900,0:05:51.574
Podemos também ter o nosso dedo indicador aqui, [br]que vai apontar para a direção do segundo vetor,

0:05:51.674,0:05:53.570
que, em nosso caso, é o rv.

0:05:53.570,0:06:00.304
Por último, temos o dedo médio, que dobramos [br]para ficar orientado para fora da palma da mão.

0:06:00.344,0:06:07.738
Esse dedo indicará a direção do vetor obtido [br]através do produto vetorial entre o ru e o rv.

0:06:07.814,0:06:11.384
Meus outros dois dedos e a minha[br]mão se parecem com isso aqui.

0:06:11.458,0:06:15.061
Eu sei que o meu desenho não está perfeito, [br]mas é só para você ter uma ideia.

0:06:15.093,0:06:18.753
Enfim, em todo caso, eu estou[br]dobrando esses outros dois dedos

0:06:18.753,0:06:21.509
porque eles não são[br]relevantes para esse caso.

0:06:21.589,0:06:25.251
Isso que fizemos é conhecido[br]como a regra da mão direita,

0:06:25.321,0:06:30.635
e isso nos fornece a direção do vetor normal[br]à superfície em um ponto específico.

0:06:30.649,0:06:36.685
Agora, é importante saber também que, em um ponto, [br]temos dois vetores que são normais à superfície.

0:06:36.694,0:06:43.645
Um vetor que é orientado para fora e outro vetor[br]que é orientado para dentro da superfície.

0:06:43.748,0:06:47.095
Outra coisa importante[br]também é que, até agora,

0:06:47.095,0:06:51.364
o que eu fiz foi apenas obter um[br]vetor que é normal à superfície.

0:06:51.449,0:06:55.113
Porém, para encontrar um[br]vetor normal que seja unitário,

0:06:55.113,0:06:58.975
é preciso normalizar esse vetor.[br]E como fazemos isso?

0:06:59.024,0:07:03.076
Para fazer isso, precisamos[br]dividir esse vetor pelo seu módulo.

0:07:03.128,0:07:06.974
Ou seja, o vetor normal que[br]é uma função de u e v,

0:07:07.024,0:07:13.274
já que precisamos fornecer um valor para u [br]e um valor para v para encontrar esse valor normal.

0:07:13.350,0:07:16.724
Então isso vai ser igual[br]ao nosso produto vetorial

0:07:16.724,0:07:21.443
entre a parcial de r em relação ao u [br]e a parcial de r em relação a v,

0:07:21.502,0:07:24.475
dividido pelo módulo da mesma coisa.

0:07:24.508,0:07:30.703
Ou seja, o módulo do produto vetorial entre ru e rv. [br]E pronto, terminamos.

0:07:30.752,0:07:34.875
Construímos um vetor unitário[br]normal a um ponto da superfície.

0:07:34.926,0:07:38.321
Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho [br]o que conversamos aqui

0:07:38.333,0:07:43.047
e, mais uma vez, eu quero deixar para você [br]um grande abraço e até a próxima![br]