Consegues descobrir o próximo número nesta sequência? - Alex Gendler

Vejam a lição completa em: http://ed.ted.com/lessons/can-you-find-the-next-number-in-this-sequence-alex-gendler

1, 11, 21, 1211, 111221. Estes são os primeiros cinco elementos de uma sequência numérica. Consegues descobrir o que se segue? Alex Gendler revela a resposta e explica como, além de um quebra-cabeças, este tipo de sequências tem, também, uma aplicação prática.

Lição de Alex Gendler, animação de Artrake Studio.

Estes são os primeiros cinco
elementos de uma sequência numérica.

Consegues adivinhar o que se segue?

[Faz uma pausa,
se quiseres resolver]

Resposta em: 3
Resposta em: 2

Resposta em: 1

Há um padrão aqui,

mas talvez não seja o tipo de padrão
de que estás à espera.

Olha para a sequência outra vez
e tenta lê-la em voz alta.

Agora, olha para o número seguinte
na sequência.

3, 1, 2, 2, 1, 1.

Faz uma pausa outra vez,
se quiseres pensar mais um pouco.

Resposta em: 3
Resposta em: 2

Resposta em: 1

Isto é conhecido por
sequência "look and say".

Ao contrário de muitas
sequências numéricas,

esta não depende de propriedades
matemáticas nos números em si

mas na sua escrita.

Começa com o dígito mais
à esquerda do primeiro número.

Agora, lê quantas vezes
seguidas este se repete,

seguido pelo nome do dígito em si.

Em seguida, passa para o dígito seguinte

e repete o procedimento
até chegares ao fim.

Assim, o número 1 lê-se: "um, um"

escrito da mesma maneira
que escrevemos onze.

Claro que o número 11
não faz parte desta sequência,

mas sim dois uns

que escrevemos como: 2 1.

Esse número será, em seguida,
lido como 1 2 1 1,

o qual, escrito seria lido como: um um,
um dois, dois uns, e assim por diante.

Este tipo de sequências foi primeiramente
analisado pelo matemático John Conway,

que reparou que elas possuem
propriedades interessantes.

Por exemplo, começando com o número 22,
iniciamos um ciclo infinito de dois dois.

Mas se introduzirmos
qualquer outro número,

a sequência cresce de formas
bastante específicas.

Repara que, embora o número
de dígitos continue a aumentar,

o aumento não parece ser
nem linear nem aleatório.

De facto, se prolongarmos a sequência
indefinidamente, surge um padrão.

O rácio entre o número de dígitos
entre dois termos consecutivos

converge, gradualmente, para um número
conhecido por Constante de Conway,

que é igual a um valor
ligeiramente superior a 1,3,

significando que a quantidade
de dígitos cresce cerca de 30%

com cada passo na sequência.

E quanto aos números em si?

É ainda mais interessante.

Excetuando a sequência
de repetições de 22,

qualquer sequência acaba por se dividir
em conjuntos de dígitos distintos

Independentemente
da ordem desses conjuntos,

cada um parece separado
na sua totalidade, sempre que ocorre.

Conway identificou 92 destes elementos,

todos eles compostos apenas
pelos dígitos 1, 2 e 3,

bem como dois elementos adicionais

cujas variações podem terminar
com qualquer dígito de 4 ou superior.

Independentemente do número
introduzido na sequência

esta acabará por consistir
nessas combinações,

com 4 dígitos ou mais que só aparecem
no final dos dois elementos extra,

se aparecerem de todo.

Além de ser um belo quebra-cabeças,

a sequência "look and say"
tem algumas aplicações práticas.

Por exemplo, a codificação "run-length",

uma compressão de dados usada, em tempos,
em sinais de televisão e gráficos digitais

baseia-se num conceito semelhante.

A quantidade de vezes que um valor
de dados se repete no código

é registado como um valor de dados
em si mesmo.

Sequências como esta são um bom exemplo
de como números e outros símbolos

podem conter significado a vários níveis.