이 수열의 다음 숫자를 찾을 수 있나요? |알렉스 젠들러(Alex Gendler)

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1, 11, 21, 1211, 111221. 이 것은 어떠한 수열의 첫 다섯 개의 숫자입니다. 이 다음에 오는 숫자가 무엇인지 맞출 수 있나요? 알렉스 젠들러는 이의 해답을 제시하며, 단순한 퍼즐을 뛰어 넘는 이 수열의 실용적인 적용방법에 대해 설명합니다.

강의: 알렉스 젠들러
애니메이션: 아트레이크 스튜디오

이 숫자들은 어떤 수열의
첫 다섯 숫자입니다.

이 다음에 무엇이 올지 알 수 있나요?

스스로 답을 알아내고 싶다면
여기서 멈추세요.

정답 3초 전

정답 2초 전

정답 1초 전

여기에는 어떤 규칙이 있습니다.

하지만 여러분이 생각하는
그런 규칙이 아닐 수 있습니다.

이 수열을 다시 한 번 보고,
소리 내어 읽어보세요.

이제 이 수열의
다음 숫자를 살펴보세요.

3, 1, 2, 2, 1, 1.

더 생각해보고 싶다면
여기서 다시 멈춰보세요.

정답 3초 전

정답 2초 전

정답 1초 전

이 것은 바로 개미 수열
(look and say sequence)이라는 것입니다.

이 수열은, 다른 여러가지
수열과는 다르게

숫자 자체의
수학적 속성에 의존하지 않고

숫자의 표기법에 의존합니다.

숫자의 가장 왼쪽 숫자부터
시작해봅시다.

이제, 숫자가 연속해서
몇 번이나 반복되는지와

그 숫자 자체를 읽어보세요.

그리고 다음 숫자로 이동하여
마지막 숫자로 갈 때까지 이걸 반복하세요.

숫자 1은 "하나의 1" 로 읽힙니다.

그리고 우리가 11(십 일)을
쓰듯이 씁니다.

물론, 이 수열의 일부로서는

실제로는 숫자 11이 아닌
"두개의 1"이 되며,

우리는 이 것을
"2 1"로 쓰게 됩니다.

이 숫자는 나중에
"하나의 2, 하나의 1"로 읽혀지고,

그 다음 이것을 "하나의 1, 하나의 2, 두개의 1"로
읽을 것이며, 이 과정은 계속됩니다.

이 수열은 수학자 존 콘웨이가
처음으로 분석했으며,

그는 이 수열이 흥미로운 특성을
가지고 있다고 했습니다.

예를 들어, 이 수열을 숫자 22로 시작한다면
두 개의 2의 무한 루프가 생성됩니다.

하지만 다른 어떤
두 개의 숫자로 시작한다면,

그 수열은 매우 특정한
방법으로 진행하게 됩니다.

숫자의 자릿수가 계속 증가하지만

이 증가는 선형적이거나
무작위적이지 않습니다.

사실 이 수열을 무한대로 반복한다면
일정 패턴이 나타나게 됩니다.

두 개의 연속적인 숫자에서
자릿수의 비율은

점차적으로 '콘웨이 상수'라는
하나의 숫자로 수렴합니다.

이 값은 1.3 보다 약간 크며,

즉, 이 수열의 자릿수는

각각의 단계에서
약 30% 증가 한다는 것을 뜻합니다.

그렇다면 숫자 자체는 어떨까요?

이것은 더 흥미롭습니다.

반복되는 숫자 22의 수열을 제외하고는

모든 가능한 수열은 결국
특정 하나의 숫자열로 분해될 수 있습니다.

이 숫자열이 어떤 순서로
나타나든 상관없이,

각각의 숫자열은 발생할 때마다
나뉘어지지 않은 하나의 형태로 나타납니다.

콘웨이는 92개의
이러한 숫자열을 발견하였고,

모두 1, 2 와 3 만으로
이루어져 있습니다.

그 이 외의 숫자열은 두 개가 있으며,

이 숫자열은 4 또는 그 이상의
임의의 숫자로 끝날 수 있습니다.

하나의 수열이 어떠한 숫자로
시작되는지에 상관없이,

이 수열은 결국에는 이 숫자열들의
조합으로만 구성되며,

4 또는 그 이상의 숫자는
마지막 두 개의 숫자열의 끝에서만 나타나게 됩니다.

만약 나타난다면 말이죠.

이 개미수열은 단순히 깔끔한 퍼즐을 넘어,
몇 가지 실용적인 면이 있습니다.

예를 들어, '런 렝스 부호화',

즉, TV 신호와 디지털 그래픽에 썼던
데이터 압축 방식은

개미수열과 비슷한 개념을
기반으로 합니다.

데이터 값이 코드 내에서
반복되는 시간의 양은

데이터 값 자체로 기록됩니다.

이와 같은 수열은 좋은 예 중 하나로

숫자와 기호가 다양한 방식으로
의미를 전달할 수 있다는 것을 보여줍니다.