Saurez-vous trouver le prochain nombre de cette suite ? - Alex Gendler

Voir la leçon complète : http://ed.ted.com/lessons/can-you-find-the-next-number-in-this-sequence-alex-gendler

1, 11, 21, 1211, 111221. Ce sont les cinq premiers éléments d'une suite de nombres. Saurez-vous deviner le prochain ? Alex Gendler nous donne la réponse et explique comment, au-delà d'être une énigme sympa, ce genre de suite a aussi des applications pratiques.

Leçon par Alex Gendler, animation par Artrake Studio.

Ce sont les cinq premiers éléments
d'une suite de nombres.

Saurez-vous deviner le prochain ?

Faites pause si vous voulez
trouver vous-même.

Réponse dans : 3

Réponse dans : 2

Réponse dans : 1

Il y a un motif ici,

mais peut-être pas le genre
de motif que vous croyez.

Regardez la suite à nouveau
et lisez-la à haute voix.

Maintenant, regardez
le prochain nombre de la suite.

3, 1, 2, 2, 1, 1.

Faites encore pause si vous voulez
y réfléchir encore un peu.

Réponse dans : 3

Réponse dans : 2

Réponse dans : 1

On connait ces suites sous le nom de
suites « Regarde et Dis ».

Contrairement à de nombreuses suites,

elle n'est pas basée sur une propriété
mathématique des nombres eux-mêmes,

mais sur leur notation.

Commencez par le chiffre le plus à gauche
du nombre initial.

Maintenant, énoncez combien de fois
il apparaît à la queue leu leu

suivi par le nom du chiffre lui-même.

Puis passez au prochain chiffre différent
et répétez jusqu'à la fin.

Donc le nombre 1 est lu « un un »

et écrit de la même façon
que l'on écrit onze.

Bien sûr, pour cette suite,
ce n'est pas réellement le nombre onze,

mais 2 uns,

que nous écrivons alors 2 1.

Ce nombre se lit donc 1 2 1 1,

qui, une foit écrit, se lit
un un, un deux, deux uns, etc.

Ce genre de suites a été analysé
par le mathématicien John Conway,

qui remarqua qu'elles avaient
des propriétés intéressantes.

Par exemple, commencer par le nombre 22
génère une suite infinie de deux deux.

Mais si on démarre par
n'importe quel autre nombre,

la suite grossit de façons
très spécifiques.

Notez que même si le nombre de chiffres
ne cesse d'augmenter,

l'augmentation ne semble
ni linéaire ni aléatoire.

En fait, si vous poursuivez la suite
à l'infini, un motif apparaît.

Le taux entre le nombre de chiffres
de deux termes consécutifs

converge progressivement vers
un nombre unique, la Constante de Conway.

Elle vaut un peu plus de 1,3,

ce qui signifie que le nombre de chiffres
augmente d'environ 30%

à chaque étape de la suite.

Qu'en est-il des nombres eux-mêmes ?

Cela devient encore plus intéressant.

A part pour la boucle de 22,

toutes les suites finissent par se réduire
à des chaînes de chiffres précises.

Peu importe l'ordre dans lequel
ces chaines apparaissent,

chacune apparaît ininterrompue
chaque fois qu'elle survient.

Conway a identifié 92 de ces éléments,

tous composés uniquement
des chiffres 1, 2 et 3,

ainsi que deux éléments additionnels

dont les variations peuvent finir avec
un chiffre supérieur ou égal à 4.

Quel que soit le nombre générant la suite,

au final, elle sera constituée
de ces combinaisons,

avec les chiffres supérieurs à 4
n'apparaissant qu'à la fin

des deux éléments supplémentaires,
voire pas du tout.

Au-delà d'être un puzzle sympa,

la séquence « regarde et dis »
a quelques applications pratiques.

Par exemple, l'encodage par plages,

une compression de données utilisée pour
les signaux télé et images numériques,

est basée sur un concept similaire.

Le nombre de fois qu'une valeur se répète
dans le code

est enregistré comme une donnée elle-même.

Les suites comme ça sont de bons exemples
de comment les nombres et autres symboles

peuvent véhiculer du sens
à de multiples niveaux.