30-60-90 trojúhelníky II.

Další úlohy s 30-60-90 trojúhelníky.

()

Pojďme pokračovat s 30-60-90 trojúhelníky.

()

Zopakujeme si, co jsme se naučili (nebo alespoň doufám, že jsme se naučili)

z toho minima, co jsme právě viděli. Když máme 30-60-90 trojúhelník...

- a pamatujte, že toto platí jen u 30-60-90 trojúhelníků -

...a řekl bych, že přepona má délku h,

tak jsme se naučili, že strana naproti úhlu 30 stupňů

(a to je nejkratší strana trojúhelníku) bude

h/2 nebo prostě polovina přepony.

A také jsme se naučili, že ta delší strana

(strana naproti úhlu 60 stupňů) se rovná

(druhé odmocnině ze 3/2) krát h.

Pojďme spočítat úlohu, kde použijeme tuto informaci.

Řekněme, že mám takovýto trojúhelník.

Je to pravoúhlý trojúhelník.

Řekněme, že tento úhel má 30 stupňů.

A také bysme mohli spočítat, že když tento úhel je 30 stupňů

a tento 90, tak ten zbývající bude zjevně 60 stupňů.

A řekněme, že přepona má délku 12.

Délka je 12 a my víme, že tohle je přepona,

protože je naproti pravému úhlu.

Jak dlouhá je tato strana?

Je ta strana naproti úhlu 60 stupňů,

nebo naproti úhlu 30 stupňů?

Otevírá se na ni úhel 30 stupňů, ano?

Nakreslil jsem ten trojúhelník schválně trochu jinak.

Otevírá se na ni úhel 30 stupňů

a je to také ta nejkratší strana.

Naučili jsme se, že strana naproti úhlu 30 stupňů

je polovina přepony, a přepona je 12,

takže tato strana by byla 6.

A tato strana, která je naproti úhlu 60 stupňů,

se rovná (druhé odmocnině ze 3/2) krát přepona.

Takže to je (druhá odmocnina ze 3/2) krát 12

nebo je to prostě 6 odmocnin ze 3.

Další zajímavost je (samozřejmě),

že ta delší strana, jež není přepona,

je druhá-odmocnina-ze-3-krát delší než ta kratší strana.

Snad vás úplně nematu.

Pojďme spočítat další.

()

Řekněme, že je tohle úhel 30 stupňů (to je náš pravoúhlý trojúhelník)

a kdybych vám řekl, že tato strana je 5,

jak dlouhá je tato strana?

()

Nejprve musíme přijít na to, co máme zadané.

5 je jaká strana?

Jestli je tohle úhel 30 stupňů, ta víme,

že toto bude úhel 60 stupňů.

Takže strana o délce 5 je strana naproti úhlu 60 stupňů a x je přepona.

Když je strana x naproti úhlu 90 stupňů,

tak je to nejdelší strana trojúhelníku.

Z našeho vzorce víme, že 5 se rovná (druhé odmocnině

ze 3/2) krát přepona,

což je v tomto případě x.

A teď prostě vypočítáme x.

Můžeme obě strany vynásobit převrácenou hodnotou

koeficientu.

Takže když rovnici vynásobíte 2/druhá odmocnina ze 3,

- tohle můžete ignorovat - tak dostanete 10/druhá odmocnina ze 3...

Tato 2 se samozřejmě zkrátí s touto 2.

Tato odmocnina ze 3 se zkrátí s touto odmocninou ze 3

...a to se rovná x.

A jestli jste viděli několik posledních prezentací,

tak si uvědomujete, že tohle by mohla být správná odpověď,

ale ve jmenovateli máme druhou odmocninu ze 3,

což lidé nemají rádi, protože ve jmenovateli je neracionální číslo.

A hádám, že bychom mohli diskutovat o tom,

proč by to mohlo být špatné.

Pojďme usměrnit jmenovatele.

Řekli jsme, že x se rovná 10/druhá odmocnina ze 3.

Abychom mohli usměrnit jmenovatele, tak můžeme vynásobit čitatele a jmenovatele

druhou odmocninou ze 3,

protože dokud násobíte čitatele i jmenovatele

stejným číslem, tak to je to samé, jako kdybyste násobili jedničkou.

Takže tohle se rovná 10 krát odmocnina ze 3/(druhá odmocnina ze 3 krát druhá odmocnina ze 3),

což je prostě 3.

Takže x se rovná 10 krát odmocnina ze 3/3

To je přepona.

Vím, že jsem vás zmátl.

A samozřejmě, když je tohle 10 krát odmocnina ze 3/3

- to je přepona - tak víme, že strana naproti úhlu 30 stupňů

(tohle je 30 stupňů) je polovina přepony,

takže 5 krát druhá odmocnina ze 3/3.

Každopádně si myslím, že vám to alespoň trochu

přiblížilo 30-60-90 trojúhelníky.

Myslím, že už byste mohli být připraveni vyzkoušet

druhou úroveň úloh s Pythagorovou větou.

Bavte se.

()