A trigonometrikus azonosságok ismétlése | Trigonometria | Khan Academy magyar
-
0:00 - 0:04Már csináltam jó pár olyan videót arról a témáról,
amit most fogunk átvenni, -
0:04 - 0:06azaz a trigonometrikus azonosságokról.
-
0:06 - 0:10Azért csinálok még egyet,
mert szükségem volt az ismétlésre, -
0:10 - 0:13ugyanis éppen olyan analízis feladatokon dolgoztam,
amelyekhez jól kellett ezt tudnom, -
0:13 - 0:15és most már van jobb felvevő szoftverem is,
-
0:15 - 0:18úgyhogy gondoltam, „két legyet egy csapásra” alapon,
-
0:18 - 0:22felveszem még egyszer a videót,
és így felelevenítem az anyagot a saját fejemben is. -
0:22 - 0:25Szóval azt fogom feltételezni,
hogy a következő azonosságokat már ismerjük, -
0:25 - 0:27mert már korábban csináltam róluk videókat,
-
0:27 - 0:30és elég összetettek ahhoz,
hogy itt most ismét bizonyítsuk őket. -
0:30 - 0:48sin(a+b)= sin a・cos b + sin b・cos a
-
0:48 - 0:51Ez lesz az első a videóban,
amit feltételezek, hogy már ismerünk. -
0:51 - 0:54Ha pedig a... hadd írjam át ezt egy kicsit!
-
0:54 - 0:57Mi van akkor, ha azt akarom tudni,
-
0:57 - 1:02hogy mi a sin(a+ (-c))?
-
1:02 - 1:05Ez ugyanaz, mint a sin(a-c), ugye?
-
1:05 - 1:07Hát, használhatjuk ezt a fenti képletet,
-
1:07 - 1:24és mondhatjuk, hogy ez nem más, mint
sin a・cos(-c) + sin(-c)・cos a. -
1:24 - 1:28És azt már tudjuk, vagy legalábbis
feltételezem ebben a videóban, hogy ezt is tudjuk, -
1:28 - 1:35hogy a cos(-c) = cos(c) -vel.
-
1:35 - 1:38A koszinusz páros függvény,
-
1:38 - 1:43ami felismerhető a függvény grafikonját
vagy akár az egységkört megfigyelve. -
1:43 - 1:45A szinusz pedig páratlan függvény,
-
1:45 - 1:53ezért sin(-c) = -sin c.
-
1:53 - 1:58Ezt a két dolgot felhasználhatjuk ahhoz,
hogy átírjuk a második sort itt fent, -
1:58 - 2:11és az lesz belőle, hogy sin(a-c) = sin a・cos c
– mivel a cos(-c) ugyanaz, mint a cos(c) –, -
2:11 - 2:17majd jön a -sin(c), amit a sin(-c) helyett írtam,
-
2:17 - 2:23tehát a második fele a -sin c・cos a.
-
2:23 - 2:28Ezt úgy-ahogy bebizonyítottuk úgy,
hogy már tudtuk ezt és ezt korábbról. -
2:28 - 2:28Elfogadható.
-
2:28 - 2:32Ezeket fogom használni, hogy bebizonyítsak
több más trigonometrikus azonosságot is, -
2:32 - 2:34amelyekre szükségem lesz.
-
2:34 - 2:42Egy másik ilyen trigonometrikus azonosság
a cos(a+b) = cos a... -
2:42 - 2:45Ne keverjük össze itt a szinuszokat a koszinuszokkal!
-
2:45 - 2:51cos a・sin b...bocsánat.
-
2:51 - 2:54Most mondtam, hogy ne keverjük össze őket,
erre összekevertem őket. -
2:54 - 3:03Tehát az lesz, hogy cos a・cos b - sin a・sin b.
-
3:03 - 3:08És ha azt akarod tudni, hogy mi a cos(a-b),
-
3:08 - 3:10akkor ugyanezeket a szabályokat
fogod használni, -
3:10 - 3:13a cos(-b) az csak cos b lesz,
-
3:13 - 3:20és mivel a cos(-b) ugyanaz, mint cos b,
így ebből cos a・cos b lesz, -
3:20 - 3:27aztán itt jobbra ugye sin(-b) lesz,
ami ugyanaz, mint a -sin b, -
3:27 - 3:34és mínusszor mínusz az plusz,
így végül az lesz, hogy + sin a・sin b. -
3:34 - 3:37Kicsit becsapós, hogy amikor plusz van itt,
akkor mínusz lesz ott, -
3:37 - 3:41és amikor mínusz van itt,
akkor plusz lesz ott. -
3:41 - 3:43De azért érthető.
Nem akarok sok időt ezekkel tölteni, -
3:43 - 3:47mert még sok-sok azonosságot
kell megmutatnunk. -
3:47 - 3:53Mi lenne, ha arra keresnék azonosságot,
hogy mi a cos(2a)? -
3:53 - 4:02cos(2a) az ugyanaz, mint a cos(a+a)!
-
4:02 - 4:03Ehhez pedig használhatjuk ezt a fenti azonosságot.
-
4:03 - 4:06A második „a” az nem más mint a „b”,
-
4:06 - 4:18így ez az lesz, hogy cos a・cos a - sin a・sin a.
-
4:18 - 4:22A „b” is „a” ebben a képletben,
-
4:22 - 4:27és ezt átírhatom úgy is, hogy cos²a,
-
4:27 - 4:31mivel cos a-t szoroztuk önmagával,
-
4:31 - 4:35aztán pedig -sin²a.
-
4:35 - 4:38Ez pedig itt már egy azonosság.
-
4:38 - 4:42cos(2a) = cos²a - sin²a.
-
4:42 - 4:47Hadd keretezzem be az azonosságokat,
amiket megmutatunk ebben a videóban! -
4:47 - 4:49Ez az, amit most mutattam meg.
-
4:49 - 4:51De mi van akkor, ha nem vagyok megelégedve,
-
4:51 - 4:54és csak koszinuszokkal akarnám kifejezni ezt?
-
4:54 - 4:58Felidézhetnénk az egységkörös definícióját
ezeknek a szögfüggvényeknek. -
4:58 - 5:01Valójában a legalapvetőbb azonosság
-
5:01 - 5:07az az, hogy sin²a + cos²a = 1.
-
5:07 - 5:09Vagy, írhatnád úgy is,
-
5:09 - 5:11– hadd gondoljam végig,
hogy lenne a legjobb ezt leírni,– -
5:11 - 5:19írhatnád azt, hogy sin²a = 1-cos²a,
-
5:19 - 5:21aztán pedig ezt behelyettesíthetjük
a másikba. -
5:21 - 5:29Így átírhatjuk az azonosságot,
ami egyenlő volt cos²a-sin²a-val, -
5:29 - 5:32de tudjuk, hogy a sin²a ugyanaz, mint ez itt,
-
5:32 - 5:34így az jön, hogy mínusz,
-
5:34 - 5:35– váltok is színt –,
-
5:35 - 5:39tehát - (1-cos²a),
-
5:39 - 5:42Ezt helyettesítettem be a sin²a helyére.
-
5:42 - 5:50Így ez egyenlő azzal, hogy cos²a - 1 + cos²a.
-
5:50 - 5:52Ami pedig összevonva nem más...
-
5:52 - 5:54itt folytatom jobbra.
-
5:54 - 5:57Itt van egy cos²a plusz még egy cos²a,
-
5:57 - 6:03azaz 2cos²a - 1.
-
6:03 - 6:09Ez az egész egyenlő a cos(2a)-val.
-
6:09 - 6:11Mi lenne akkor, ha azt az
azonosságot keresném, -
6:11 - 6:14amelyik a cos²a-t fejezi ki ebből?
-
6:14 - 6:15Rendezhetjük akár úgy is.
-
6:15 - 6:18Ha hozzáadunk mindkét oldalhoz egyet
ebben az egyenletben... -
6:18 - 6:21Először hadd keretezzem be,
mert ez is egy azonosság... -
6:21 - 6:26Ha hozzáadunk egyet az egyenlet
mindkét oldalához, -
6:26 - 6:37azt kapjuk, hogy 2・cos²a = cos(2a) + 1.
-
6:37 - 6:39És ha elosztjuk mindkét oldalt kettővel,
-
6:39 - 6:44azt kapjuk, hogy cos²a =,
-
6:44 - 6:48átrendezhetjük a sorrendet, ha akarjuk,
-
6:48 - 6:54tehát cos²a = ½ (1+cos(2a)).
-
6:54 - 6:56És kész vagyunk!
-
6:56 - 7:00Ez pedig még egy azonosság:
-
7:00 - 7:07cos²a. Úgy is hívják ezt néha,
hogy „hatványcsökkentő azonosság”. -
7:07 - 7:11Mi lenne, ha a sin²a-val akarnánk
kifejezni valamit? -
7:11 - 7:15Visszaugorhatunk ide,
és azt az azonosságot már ismerjük, -
7:15 - 7:18hogy a sin²a= 1-cos²a,
-
7:18 - 7:19vagy elindulhattunk volna a másik irányba,
-
7:19 - 7:23és kivonhattunk volna sin²a-t mindkét oldalból,
-
7:23 - 7:25és akkor azt kaptuk volna – ide lentre írom –,
-
7:25 - 7:28ha a sin²a-t vontam volna ki mindkét oldalból,
-
7:28 - 7:34azt kaptuk volna, hogy cos²a = 1-sin²a.
-
7:34 - 7:37Ezután visszanézhetnénk erre az azonosságra itt,
-
7:37 - 7:48és írhatnánk azt – kékkel fogom írni –, hogy cos(2a) =
-
7:48 - 7:51és a cos²a helyére pedig írhatom ezt itt,
-
7:51 - 7:59azaz, hogy ez egyenlő (1- sin²a) - sin²a.
-
7:59 - 8:06Tehát a cos(2a) mivel egyenlő?
-
8:06 - 8:08Itt van egy -sin²a és még egy -sin²a,
-
8:08 - 8:14így ebből az lesz, hogy 1-2sin²a.
-
8:14 - 8:15Megvan még egy azonosság:
-
8:15 - 8:19egy másik mód a cos(2a) kifejezésére.
-
8:19 - 8:23Sok képletet felfedeztünk már a
cos(2a) kifejezésére. -
8:23 - 8:25Ha pedig sin²a-t akarjuk kifejezni,
-
8:25 - 8:28akkor az egyenlet mindkét oldalához
hozzáadnánk, -
8:28 - 8:33és ide fogom írni, csak hogy helyet spóroljak...
-
8:33 - 8:36lejjebb görgetek egy kicsit... és azt kapjuk,
-
8:36 - 8:41ha mindkét oldalhoz hozzáadok 2sin²a-t,
-
8:41 - 8:51azt kapjuk, hogy 2sin²a + cos(2a) = 1.
-
8:51 - 8:54Aztán kivonunk mindkét oldalból cos(2a)-t,
-
8:54 - 9:01és azt kapjuk, hogy 2sin²a = 1 - cos(2a).
-
9:01 - 9:04Aztán elosztjuk mindkét oldalt 2-vel,
-
9:04 - 9:12és azt kapjuk, hogy sin²a = ½・(1-cos(2a)).
-
9:12 - 9:19Meg is van a következő felfedezésünk,
ha hívhatjuk annak. -
9:19 - 9:21Mindig érdekes megnézni a szimmetriát is.
-
9:21 - 9:23Ez például megegyezik a cos²a azonossággal,
-
9:23 - 9:26kivéve, hogy +cos(2a) van a
koszinusz négyzetesben, -
9:26 - 9:31itt pedig -cos(2a) van a szinusz négyzetesben.
-
9:31 - 9:33Szóval már felfedeztünk sok érdekes dolgot.
-
9:33 - 9:40Nézzük meg, hátha találunk valamit a sin(2a)-ra!
-
9:40 - 9:43Választok egy másik színt, amit még nem használtam.
-
9:43 - 9:45Már majdnem mindet használtam.
-
9:45 - 9:49Tehát, ha a sin(2a)-t keresem, akkor tudom,
-
9:49 - 9:54hogy ez ugyanaz, mint sin(a+a),
-
9:54 - 10:09ami nem más, mint sin a・cos a +
-
10:09 - 10:13és az „a” itt a cos(„a”)-ban a „második a”-ra vonatkozott.
-
10:13 - 10:16Egyszerűen a sin(a+b) azonosságot használom.
-
10:16 - 10:20Így jön még +sin(„második a”)・cos(„első a”).
-
10:20 - 10:22Gyakorlatilag ugyanazt írtam le kétszer,
-
10:22 - 10:26úgyhogy ebből 2・sin a・cos a lesz.
-
10:26 - 10:28Ez kicsit egyszerűbb volt.
-
10:28 - 10:32sin(2a) egyenlő ezzel.
-
10:32 - 10:36Ez tehát még egy azonosság.
-
10:36 - 10:40Már én is kezdek kicsit fáradni ettől a sok
szinusztól és koszinusztól, -
10:40 - 10:43de felelevenítettem mindent,
ami az analízis feladataimhoz kellett. -
10:43 - 10:48Remélem, hogy ez egy jó ismétlés volt neked is,
mert nekem az volt. -
10:48 - 10:51Leírthatod vagy megjegyezheted ezeket, ha akarod,
-
10:51 - 10:53de ami igazán fontos, az az, hogy észrevedd,
-
10:53 - 10:55hogy el tudsz jutni az összes képlethez
-
10:55 - 11:00ezekből az első azonosságokból itt fent.
-
11:00 - 11:04Akár azokat is be tudnám bizonyítani
-
11:04 - 11:07a szögfüggvények alapvető definíciói segítségével.
- Title:
- A trigonometrikus azonosságok ismétlése | Trigonometria | Khan Academy magyar
- Description:
-
Gyakorold te magad is a trigonometriát a magyar Khan Academyn:
https://hu.khanacademy.org/math/trig...Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktató videókat és személyre szabott tanulói összesítő táblát kínál, mely lehetővé teszi, hogy a tanulók saját tempójuk szerint haladjanak akár az osztályban, akár az iskolán kívül. Matematika, természettudományos, informatika, történelem, művészettörténet, közgazdaságtan és még más területen kínálunk tananyagokat.
Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.
A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) munkája.
- Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 11:07
Eszter Lovas edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
Eszter Lovas edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
kerimaria edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
kerimaria edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
kerimaria edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
barnadaniel1 edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
barnadaniel1 edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun | ||
barnadaniel1 edited Hungarian subtitles for Trigonometry Identity Review/Fun |