Закон на Снел – пример 2

Закон на Снел – пример 2

Нека дадем един малко по-нагледен
пример със закона на Снел.

Тук имаме един човек, който
седи на ръба на този басейн.

В ръката си той държи лазерна показалка,

и я насочва на 1,7 метра
над повърхността на басейна.

И я светва така, че светлината
изминава 8,1 метра,

преди да докосне повърхността на водата.

След което светлината се пречупва във водата.

Отива в по-бавна среда.
Ако помислиш за аналогия с колата,

външните гуми остават навън малко
по-дълго време и така се движат по-бързо.

Светлината се пречупва в новата среда

и достига дъното на басейна
в дадена точка тук.

А ни казват, че басейнът е дълбок 3 метра.

Аз искам да намерим колко надалеч
достига тази лазерна точка.

Тоест какво е това разстояние тук?

За да разберем това,
трябва първо да намеря

какво е това, другото разстояние, ето тук,

после да разберем това разстояние,
и накрая да ги съберем.

Мога да намеря тази част –

там, където стигаме повърхността на водата

и после да намеря това
частично разстояние ето тук.

Да се надяваме, че с малко тригонометрия
и може би закона на Снел

ще успеем да решим това.

И така, да започнем с най-простото нещо.

Нека намерим това разстояние тук.

Изглежда, че то ще ни свърши работа и по-късно.

Нека намерим това разстояние тук –

разстояние по водата,

по повърхността на водата до там, където

лазерната точка започва да докосва водата.

И това е просто задача с питагорова теорема.

Това е прав ъгъл.

Това тук е хипотенузата.

Така че, това разстояние,
да го наречем х –

x^2 + 1,7m^2 = 8,1^2

Директна питагорова теорема.

X^2 + 1,7^2 = 8,1^2

Изваждаме 1,7 на квадрат от двете страни,

получаваме, че х^2 = 8,1^2 - 1,7^2.

Ако искаме да намерим x,
x е равно на плюс квадратен корен от това,

защото единствено положителните
разстояния ни интересуват.

х ще бъде равно на корен квадратен
от 8,1^2 минус 1,7^2.

Нека използваме калкулатора за това.

х ще е равно на

квадратен корен от 8,1 на квадрат
минус 1,7 на квадрат.

И получавам 7,92.

И така x е около 7,92. Това е x.

Сега нека изясним това
частично разстояние тук.

Добавяме това към x и после научаваме
цялото разстояние.

Нека помислим за големината
на ъгъла на падане

и тази на ъгъла на пречупване.

Ще спусна перпендикуляр към повърхността.

И така, нашият ъгъл на падане
е този ъгъл тук.

Спомни си, че при закона на Снел
се интересуваме от синуса на този ъгъл.

Всъщност нека напиша
какво точно ни интересува.

Това е нашият ъгъл на падане.

Това е ъгълът на пречупване.

Знаем, че полазателят на пречупване
за тази среда –

тук тя е въздух –

показателят на пречупване на въздуха
по синус от тита1 –

това е законът на Снел –
по ъгъла на падане ето тук.

Всичко това ще бъде равно на
показателя на пречупване за водата

по синус от тита2 –
по синус от ъгъла на пречупване.

Сега можем да намерим
тези "n" от таблицата тук.

Всъщност намерих тази задача от ck12.org,

или поне картинката за задачата.

И така, ако искаме да намерим тита2,

или ако го знаем,
тогава ще можем да решим това.

Ще го направим с помощта
на тригонометрията.

Ако знаем синуса на тита2,
ще можем да го решим за това.

Ще помислим и по двата начина.

Нека намерим този ъгъл.
Ако знаем този ъгъл,

тогава можем да ползваме
знанията си по тригонометрия,

за да разберем разстоянието тук.

За да намерим този ъгъл,
ще проверим тези двете

и просто ще трябва да намерим на
колко е равен синус от тита1.

Нека заместим със стойностите.

Показателят на пречупване
на въздуха е 1,00029,

по синус от тита.

Може би ще си кажеш: "Как да го направим?
Дори не знаем какъв е този ъгъл."

Но не збравяй, че това е
елементарна тригонометрия.

Синус е срещулежаща към хипотенуза.

Нека направим този ъгъл
част от правоъгълен триъгълник.

Срещулежащ катет върху хипотенузата

е отношението на тази
страна към хипотенузата.

Това разстояние тук е същото като x,
което е 7,92.

И така, синус от тита1 ще бъде

срещулежащият за ъгъла катет
върху хипотенузата.

Това идва от дефиницията за синус.

Не е нужно да знаем големината на тита1.

И се получава 7,92 върху 8,1.

Това ще е равно на показателя
на пречупване на водата,

който е 1,33,

умножено по синус от тита2.

Ако искаме да намерим синус от тита2,

просто разделяме двете страни на
това уравнение на 1,33.

Ако го направим, получаваме 1,00029

по 7,92 върху 8,1,

делено на 1,33.

Това ще е равно на синус от тита2.

Нека извадим калкулатора.

Така, имаме 1,00029, умножено по 7,92.

Мога да кажа "по втори отговор" тук.

Това ще е точната стойност,
няма дори да е закръглено.

След това делим на 1,33 и на 8,1.

Получаваме това
и то ще е равно на синус от тита2.

Нека запишем.

Имаме 0,735 е равно на синус от тита2.

Сега можем да вземем аркуссинус
от двете страни на уравнението,

за да намерим тита2.

Тита2 е равен на аркуссинус
от тази стойност.

И така, вземам аркуссинус
от последната стойност, която получихме.

И имаме тита2 е равен,
да закръглим на 47,34 градуса.

Това са 47,34 градуса.

Можем да намерим колко градуса е тита2.
47,34 градуса.

Сега ще трябва да използваме
малко тригонометрия,

за да намерим това разстояние тук.

Знаем този ъгъл.

Искаме да разберем
срещулежащата му страна.

Знаем прилежащата му страна, която е 3.

Кое тригонометрично тъждество включва
срещулежащ и прилежащ катет?

Тангенс – тангенсът е
срещулежащ към прилежащ.

Тоест знаем, че тангенсът на 47,34 градуса

е равен на срещулежащата страна тук,
да я наречем 'y',

ще е равно на y върху прилажащата страна,
а тя е 3 m.

За да намерим y, умножаваме
двете страни на уравнението по 3.

Получаваме 3 по тангенс от 47,34 градуса
е равно на y.

Нека ползваме калкулатор.

И така, 3 по тангенс от тези 47,34 градуса.
Ще използвам точния отговор.

Три по тангенс от това е 3,255.

И това разстояние тук, y, е равно на 3,255 m.

Въпросът ни беше
колко е цялото това разстояние.

И така, ще получим това разстояние х
плюс у, плюс 3,255.

х беше 7,92

Тук ще закръгля.

И така, получаваме 7,92
плюс последния ни отговор.

И последно получаваме 11,18 метра.

И това тук е разстоянието,
което търсим.

Точката на дъното на басейна,
където лазерната показалка

докосва повърхността на басейна,
ще е приблизително 11,18 m от този ръб.

Както и да е, надявам се, че ти беше полезно.

Малко повече използване
на закона на Снел беше,

но истински трудната част
беше само тригонометрията.

Да разбереш, че не е нужно
да знаеш този ъгъл,

защото имаш всичката информация
за синуса на този ъгъл.

Сега всъщност можем да го намерим.

След като знаем синуса му,
можем да намерим аркуссинус.

Но това дори не е необходимо.
Знаем синуса на ъгъла

с помощта на
основни знания по тригонометрия.

Можем да използваме това
и закона на Снел,

за да намерим ъгъла тук.

И като знаем този ъгъл,
с още малко тригонометрията

ще разберем частичното разстояние.