Why borrowing works

An explanation of why (not how) borrowing/regrouping works when subtracting numbers

Benvenuto alla presentazione sul perche', non sul come, il prestito funziona.

E penso sia molto importante perche' un sacco di

gente che conosce bene la matematica o che sta ad un grado avanzato

ancora non e' del tutto certa sul perche' il prestito funzioni.

Questa presentazione si concentra su questo.

Diciamo che ho una sottrazione

1.000 - questo e' un 0.

1.005 meno 616.

Cio' che sto per fare e' scrivere lo stesso problema

in un modo leggermente diverso.

Potremmo chiamarla la forma estesa.

1.005 - quello che faccio e' separare

le cifre nei loro rispettivi posti.

Quindi questo e' uguale a 1.000, piu' diciamo zero centinaia

piu' zero decine piu' 5.

1.005 e' proprio 1.000 + 0 + 0 + 5.

E questo e' meno 616.

Quindi questo e' meno 600 meno 10 meno 6.

616 potrebbe essere riscritto come 600 + 10 + 6.

E ci ho messo un meno li' perche' stiamo

sottraendo il tutto.

Allora, facciamo questo problema.

Beh, se hai familiarita' col prendere in prestito, questo 5

e' minore di questo 6, quindi dobbiamo rendere questo 5 in qualche modo un numero

piu' grande in modo che da poterci sottrarre 6.

Beh, sappiamo da prestiti tradizionali che dobbiamo

prendere in prestito un uno da qualche parte e trasformare questo in un 15.

Ma quello che voglio realmente vedere, e' capire da dove proviene

quell'1, o in realta' quel 10.

Perché per far diventare questo 5 un 15 in realta'

ci devi aggiungere 10.

Beh, se guardiamo questo numero in alto, l'unico posto da cui

potrebbe uscire un 10 e' da questo 1.000.

Ma quello faremo dato che questo e' il posto delle migliaia,

invece di prendere in prestito un 10 da qui, che combinerebbe

un casino, prendo in prestito

1.000 da qui.

Mi sbarazzo di questo 1.000.

E ho un 1.000 che ho preso da questo 1.000.

Ho 1.000 che ora posso distribuire in

questi 3 posti.

Nel posto delle centinaia, decine e unita'.

Bene, abbiamo bisogno di 10 qui, quindi mettiamo 10 qui.

Quindi 10 + 5 fa 15.

Ecco il nostro 15.

Prendendo 10 da 1.000 siamo rimasti con 990.

Percio' potremmo mettere 900 qui e 90 qui.

Da notare che abbiamo appena detto: abbiamo 1.000 e lo riscriviamo

come 900 + 90 + 10.

E abbiamo aggiunto questo 10 a questo 5.

E ora potremmo fare questa sottrazione come

un problema normale.

15 - 6 fa 9.

90 - 10 fa 80.

900 - 600 fa 300.

Quindi, 300 + 80 + 9 fa 389.

E vediamo come lo avremmo fatto tradizionalmente

e assicuriamoci che si traduca piu' o meno nello stesso modo.

Beh, il mio modo di insegnarlo e non so se questo in realta'

e' il modo tradizionale di insegnare il prestito, e' dire, OK, ho bisogno di

di trasformare questo 5 in un 15.

Quindi devo prendere in prestito un 1 da qualche parte.

Beh, sappiamo da questo pezzo di problema che abbiamo effettivamente

preso in prestito un 10 perche' e' per questo che si e' trasformato in un 15.

Per prendere in prestito uno, direi, beh,

posso prendere in prestito l'1 dallo 0?

No.

Posso prendere in prestito l'1 da questo 0?

No.

Potrei prendere in prestito da qui, ma prendo in prestito

dal 100, giusto?

Quindi, 100 - 1 fa 99.

Quindi questo e' come lo faccio io.

E dico 15 - 6 fa 9.

9 - 1 fa 8.

E 9 - 6 fa 300.

Quindi, il modo in cui l'ho appena fatto e' chiaramente piu' veloce e

credo si possa dire che e' piu' facile, ma un sacco di gente potrebbe dire,

beh Sal, mi sembra un po' una magia.

Hai appena preso quel 5, ci hai messo sopra un 1, poi hai preso in prestito

un 1 da questo 100 qui.

Ma veramente, quello che ho fatto sta proprio qui.

Ho preso 1.000 da questo 1 e che ho ridistribuito

1.000 tra i posto delle centinaia, decine e unita'.

Fammi fare un altro esempio.

Magari rende un po' piu' chiaro

il perche' il prestito funziona.

Fammi fare un problema piu' semplice.

Ho cominciato con un problema che tende a confondere

la maggior parte delle persone.

Diciamo che ho 732 meno --- fammene fare uno abbastanza semplice.

Meno 23.

A volte i 3 escono strani.

Bene, abbiamo imparato che e' come dire

700 + 30 + 2 - 20 - 3.

Bene, vediamo questo 2, 2 e' minore di 3, quindi non possiamo sottrarre.

Non sarebbe bello se potessimo ottenere un 10 da qualche parte?

Potremmo prendere un 10 da qui.

Facciamo diventare questo un 20 e aggiungiamo il 10 al 2 e otteniamo 12.

Da notare, 700 + 20 + 12 fa ancora 732.

Quindi non abbiamo cambiato affatto il numero in cima.

Ne abbiamo solo ridistribuito le quantita'

tra i diversi posti.

E ora siamo pronti per sottrarre.

12 - 3 fa 9.

20 - 20 fa 0 e poi basta solo far cadere il 700.

Si ottiene 700 + 0 + 9, che e' come dire 709.

E questa e' la ragione per cui il prestito funziona.

Bene, diciamo, oh, prendiamo in prestito 1 dal 3.

Lo rende un 2.

Questo diventa un 12.

E poi sottraiamo.

9 0 7.

Facciamo un altro problema, un ultimo.

E di nuovo, non devi farlo per forza in questo modo.

Non e' che ogni volta che esegui una sottrazione

devi farlo in questo modo.

Sebbene in caso di dubbi tu possa farlo cosi'

e non sbaglieresti e capiresti

quello che stai facendo.

Ma se stai su un test e devi fare le cose velocemente

dovresti farlo in modo convenzionale.

Ma ci vuole molta pratica per essere sicuro di non fare mai

qualcosa di scorretto.

E sta qui il problema.

Le persone imparano solo le regole, poi si dimenticano

le regole e poi si dimenticano come farlo.

Se impari quello che stai facendo, non lo dimentichi mai del tutto

perche' per te ha senso.

Bene, continuiamo a farlo nel modo che ti ho appena mostrato.

Questo e' come dire 500 + 10

piu' 2 meno 30 meno 8.

Beh, 2 e' piu' piccolo di 8.

Ho bisogno di un 10 da una qualche parte.

Beh, una possibilita' per farlo e' prendere

il 10 da qui.

E allora quello diventa 0.

E poi questo diventa un 12.

Nota che 500 + 12 + 0, stessa cosa di 512.

Percio' possiamo sottrarre.

12 - 8 fa 4.

Ma qui vediamo questo 0 e' piu' piccolo di 30, quindi non possiamo sottrarre.

Ma possiamo prendere in prestito dalla 500.

Beh, abbiamo bisogno di 100, quindi se lo cambiamo in un 100

prendiamo un 100 dal 500.

Questo diventa 400.

Ho appena riscritto 500 come 400 + 100.

Ora posso sottrarre.

100 - 30 fa 70.

Portiamo giu' il 400.

E questo e' come dire 474.

E il modo in cui lo impari a scuola e' che dici,

oh beh, 2 e' inferiore a 8, quindi fammi prendere in prestito l'1.

Diventa 12.

Questo diventa uno 0.

0 e' inferiore a 3, quindi fammi prendere in prestito 1 da questo 5.

Questo diventa 4.

Questo diventa 10.

Poi dici 12 - 8 fa 4.

10 - 3 fa 7 e porti giu' il 4.

Spero che quello che ho fatto ti dia un'idea

sul perche' il prestito funziona.

E questo e' qualcosa che in realta' non ho

capito fino a dopo che ho imparato a prendere in prestito.

E se impari questo, ti rendi conto che quello che fai

non e' magia in realta'.

E si spera non dimentichi mai quello che effettivamente fai

e che tu possa sempre pensare a quello

che fondamentalmente accade ai numeri quando prendi in prestito.

Mi auguro tu lo abbia trovato utile.

Ci sentiamo più tardi.

Ciao.