-
Γειά σας . Σε αυτό το μάθημα θα δούμε
γιατί - κι όχι πως- χρησιμοποιούμε το δανεισμό στην αφαίρεση.
-
Είναι σημαντικό να καταλάβουμε το γιατί. Ακόμα και
-
άνθρωποι που γνωρίζουν αρκετά καλά τα μαθηματικά
-
κάποιες φορές δεν είναι και πολύ σίγουροι για το τι ακριβώς συμβαίνει με το δανεισμό και κρατούμενα στην αφαίρεση.
-
Αυτό λοιπόν θα εξηγήσουμε στο μάθημα μας.
-
Ας πούμε ότι έχουμε την παρακάτω αφαίρεση
-
Χίλια... - αυτό είναι μηδέν.
-
1.005 μείον 616.
-
Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να ξαναγράψω την πράξη
-
με λίγο διαφορετικό τρόπο.
-
Θα μπορούσαμε να το πούμε πιο "αναλυτικό" τρόπο.
-
1.005 , Αυτό που θα κάνω τώρα είναι να χωρίσω
-
τα ψηφία στις αντίστοιχες τους θέσεις.
-
Λοιπόν, έχουμε 1.000 συν 0 εκατοντάδες,
-
συν 0 δεκάδες , συν 5.
-
Το 1.005 είναι απλά 1.000 συν 0 συν 0 συν 5.
-
Κι μετά όλο αυτό μείον 616.
-
που είναι αναλυτικά μείον 600, μείον 10, μείον 6.
-
Το 616 μπορεί να γραφτεί ως 600 συν 10 συν 6.
-
και βάζουμε μειον αφού έχουμε να το αφαιρέσουμε
-
ολόκληρο.
-
Ας λύσουμε την πράξη.
-
Λοιπόν, αν είστε εξοικειωμένοι με το
πώς δανειζόμαστε στην αφαίρεση καταλαβαίνετε ότι αφού το 5
-
είναι μικρότερο από το 6, πρέπει
με κάποιο τρόπο το 5 να γίνει μεγαλύτερο
-
για να μπορέσουμε να
αφαιρέσουμε το 6 από αυτό .
-
Λοιπόν, σύμφωνα με το γνωστό, συμβατικό τρόπο
δανεισμού
-
αυτό που κάνουμε είναι να δανειστούμε 1 από κάπου και να κάνουμε το 5 , 15
-
Αυτό που θέλω , είναι να καταλάβετε που βρίσκουμε αυτό το 1
-
το 1 - που στην πραγματικότητα είναι 10 .
-
Γιατί μετατρέποντας το 5 σε 15,
-
αυτό που κάνουμε είναι να προσθέσουμε 10 στο 5.
-
Λοιπόν αν κοιτάξουμε λίγο καλύτερα το 1.005 καταλάβαινουμε ότι ο μονος τρόπος να βρούμε αυτό
-
το 10 , είναι αν το παρουμε από το 1.000
-
Αλλά πώς το κάνουμε αυτό αφού εδώ βρίσκονται οι χιλιάδες;
-
αντί λοιπόν να δανειστώ το 10 από εδώ, πράγμα
-
που θα μπέρδευε την αφαίρεση μου, θα πάρω
-
αυτό το 1.000 από εδώ
-
το σβηνουμε απο εδώ..παει ...
-
Αυτό το 1.000 που πήρα από αυτό το 1.000,
-
θα το διαμοιράσω
-
σε αυτά τα 3 "κουβαδάκια"
-
Στα "κουβαδακια" με τις εκατοντάδες , τις δεκάδες και τις μονάδες
-
Λοιπόν, χρειαζομαστε 10 εδώ, όποτε ας βαλουμε 10 εδώ...
-
Κι έχουμε 10 συν 5 ίσον 15
-
Σωστά; Οπότε να το 15 που θέλαμε.
-
Και αφού πήραμε το 10 από το 1.000, μας έχουν μείνει 990
-
οπότε βάζουμε 900 εδώ , και 90 εδώ
-
Για προσέξτε λίγο εδώ , είχαμε 1.000 και το ξαναγράψαμε ως
-
900 συν 90 συν 10.
-
Και προσθέσαμε αυτό το 10 σε αυτό το 5.
-
Τώρα μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση μας,
-
όπως μια απλή αφαίρεση
-
15 μείον 6 ίσον 9.
-
90 μείον 10 ίσον 80.
-
900 μείον 600 ίσον 300.
-
οπότε 300 συν 80 συν 9 ισον 389.
-
Ας κάνουμε την αφαίρεση μας με τον απλό τρόπο χωρίς όλη αυτή την ανάλυση,
-
φυσικά θα μπορούσε να αναλυθεί με τον ίδιο τρόπο.
-
Ο τρόπος με τον οποίο το διδάσκω, και δεν ξέρω βασικά αν
-
είναι ο παραδοσιακός τρόπος διδασκαλίας του δανεισμού, είναι ότι λεμε ΟΚ, πρέπει
-
να κάνω αυτό εδώ το πέντε 15.
-
Έτσι πρέπει από κάπου να δανειστώ 1.
-
Βέβαια, είδαμε όταν λύναμε το πρόβλημα εδώ, ότι στην πραγματικότητα
-
δε δανείζομαι 1 αλλά 10 για να κανω το 5 , 15.
-
Πού θα το βρω όμως αυτό το 1;
-
Από το 0;
-
Όχι.
-
Από αυτό το 0;
-
Όχι.
-
'Αρα θα το δανειστώ από εδώ,
-
από το 100 . Σωστά;
-
Οπότε 100 μείον 1 ίσον 99.
-
Είδατε λοιπόν πώς γίνεται;
-
Και έχουμε 15 μείον 6 ίσον 9.
-
9 μείον 1 ίσον 8.
-
και 9 μείον 6 ίσον 300.
-
Αυτός ο τρόπος είναι πιο γρήγορος και, νομίζω,
-
και πιο εύκολος , όμως υπάρχουν άνθρωποι που δεν καταλαβαίνουν πώς γίνεται.
-
Τους φαίνεται κάπως ..μαγικό!
-
Λένε "πήρες αυτό το 5, του έβαλες ένα 1 και μετα πήρες
-
ένα άλλο 1 από το 100 εδώ."
-
Αλλά τελικά αυτό που γίνεται είναι πολύ απλό.
-
Πήρα 1.000 από εδώ και το μοίρασα
-
στις εκατοντάδες, στις δεκάδες και στις μονάδες.
-
Λοιπόν, ας δουμε ένα άλλο παράδειγμα,
-
που θα σας κάνει πιο ξεκάθαρο αυτό που λεω,
-
το γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.
-
Ας δούμε μια πιο απλή αφαίρεση.
-
Η αλήθεια είναι πως η πρωτη αφαίρεση μπερδεύει συνήθως
-
τους περισσότερους ανθρώπους.
-
Ας πούμε ότι έχω
-
το 732
-
μείον , κάτι εύκολο...
-
μείον 23.
-
Μερικές φορές τα τριάρια μου βγαίνουν περίεργα.
-
Λοιπόν, όπως είδαμε πριν αυτό γράφεται και ως 700 συν
-
30 συν 2 , μείον 20 μείον 3.
-
Το 2 είναι μικρότερο από το 3 οπότε δεν μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση έτσι.
-
Τι θέλουμε; Θέλουμε να πάρουμε ένα 10 από κάπου για να γίνει το 2, 12.
-
Μπορούμε να πάρουμε το 10 από εδώ.
-
Κάνουμε αυτό 20 και προσθέτουμε το 10 στο 2 και έχουμε 12.
-
Και για δείτε! 700 συν 20 συν 12 μας κάνει και πάλι 732.
-
Οπότε δεν αλλάξαμε τον αριθμό καθόλου.
-
Απλά το διαμοιράσαμε
-
στις διαφορετικές θέσεις.
-
Και τώρα είμαστε έτοιμοι να αφαιρέσουμε.
-
12 μείον 3 ίσον 9.
-
20 μείον 20 είναι 0 . Κι απλά κατεβάζουμε το 700.
-
Και έχουμε 700 συν 0 συν 9, που είναι το ίδιο με 709.
-
Και αυτός είναι ο λόγος που ο δανεισμός και τα κρατούμενα δίνουν τη λύση στην αφαίρεση.
-
Λέμε, ας δανειστούμε 1 απ' το 3.
-
Αυτό το κάνει 2,
-
Κι αυτό γίνεται 12.
-
Και μετά αφαιρούμε.
-
9 0 7.
-
Ας κάνουμε ακόμη μια αφαίρεση, μία τελευταία.
-
Εννοείται πως δεν είναι ανάγκη να κάνετε την αφαίρεση με αυτόν τον τρόπο.
-
Δε χρειάζεται κάθε φορά που κάνετε μία αφαίρεση
-
να την κάνετε έτσι.
-
Απλώς, αν ποτέ μπερδευτείτε, μπορείτε να το κάνετε με αυτόν
-
τον τρόπο και δε θα κάνετε λάθος, και βασικά θα
-
καταλαβαίνετε τι κάνετε.
-
Αλλά αν γράφετε διαγώνισμα και πρέπει να τα κάνετε όλα πολύ γρήγορα
-
κάντε το με τον παραδοσιακό τρόπο.
-
Αλλά θέλει αρκετή εξάσκηση για να σιγουρευτείτε ότι ποτέ
-
δεν κάνετε κάτι λάθος.
-
Και αυτό είναι το πρόβλημα.
-
Οι άνθρωποι μαθαίνουν απλά τους κανόνες, και μετά τους ξεχνούν,
-
και δε θυμούνται πώς να το κάνουν.
-
Αν μάθεις τι κάνεις, δεν το ξεχνάς και ποτέ
-
γιατί σου βγάζει νόημα.
-
Λοιπόν, ας κάνουμε μια τελευταία αφαίρεση.
-
Αν είχα 512
-
μείον 38
-
Λοιπόν, ας το κάνουμε όπως μόλις έδειξα.
-
Αυτό είναι το ίδιο με 500 συν 10 συν 2
-
μείον 30 μείον 8.
-
Λοιπόν, το 2 είναι μικρότερο απ' το 8
-
οπότε χρειάζομαι 10 από κάπου.
-
Ένας τρόπος είναι να πάρουμε
-
τα 10 από εδώ.
-
Οπότε αυτό γίνεται 0.
-
Κι αυτό γίνεται 12
-
Είδατε ότι 500 συν 0 συν 12 μας κάνει πάλι 512.
-
Οπότε έτσι μπορούμε να κάνουμε την αφαίρεση.
-
12 μείον 8 ίσον 4.
-
Αλλά εδώ βλέπουμε ότι το 0 είναι μικρότερο από 30, οπότε δεν μπορούμε να αφαιρέσουμε.
-
Γι' αυτό θα δανειστούμε από το 500.
-
Αυτό που χρειαζόμαστε είναι 100, οπότε αν το κάνουμε 100 τότε
-
έχουμε πάρει το 100 απ' το 500.
-
Οπότε αυτό γίνεται 400
-
Δηλαδή απλώς ξανάγραψα το 500 σαν 400 συν 100.
-
Και τώρα μπορώ να κάνω την αφαιρεση.
-
100 μείον 30 ίσον 70.
-
Κατεβάζω και το 400
-
Κι αυτό , για δείτε, είναι το ίδιο με 474.
-
Στο σχολειο λετε:
-
το 2 είναι μικρότερο από 8, οπότε δανειζόμαστε 1.
-
Και γίνεται 12.
-
Κι αυτό γίνεται 0.
-
0 είναι λιγότερο από 3, οπότε ας δανειστώ 1 απ' αυτό το 5.
-
Κάνω αυτό 4.
-
Αυτό γίνεται 10.
-
Οπότε λέτε 12 μείον 8 κάνει 4.
-
10 μείον 3 κάνει 7 και κατεβάζετε το 4.
-
Ελπίζω πως αυτά που κάναμε εδώ θα σας δώσουν μία αίσθηση
-
του γιατί λειτουργεί ο δανεισμός.
-
Κι αυτό είναι κάτι που κι εγώ δεν το είχα ακριβώς
-
καταλάβει, μέχρι που έμαθα τον τρόπο που γίνεται.
-
Κι ελπίζω τωρα να το έχετε μαθει κι εσείς και να καταλαβαίνετε
-
ότι είναι κάτι απλό και καθόλου μαγικό.
-
Και ελπίζω ότι δε θα ξεχάσετε ποτέ τι
-
κάνετε και μπορείτε πάντα να σκέφτεστε τι
-
συμβαίνει, βασικά, στους αριθμούς από τους οποίους δανειζόμαστε.
-
Ελπίζω όσα είπαμε να σαν φανούν χρήσιμα.
-
Τα λέμε αργότερα.
-
Γειά σας.
