Area of a circle

Area of a circle and how it relates to radius and diameter

Hier hebben we dus een cirkel-- hij ziet er niet uit als een perfecte

cirkel, maar we gebruiken onze verbeelding-- en laat ons zeggen

dat hij een straal van 3 meter heeft.

Mijn vraag, of de vraag die we in deze video gaan beantwoorden is

wat is de oppervlakte van deze cirkel?

Niet vergeten, de oppervlakte is gewoon hoeveel plaats deze cirkel

inneemt op een vlak, of op dit computerscherm waar je

naar kijkt, of op dit blad papier.

Als dit een kamer was, is het hoeveel tapijt je nodig zou hebben

om deze ronde kamer te vullen.

Dat is de oppervlakte.

Nu ga ik het niet bewijzen, en dat doen we later

nog, maar de oppervlakte van een cirkel volgt gewoon een vrij

eenvoudige formule en ik wil je even gewoon maken

aan het gebruik van die formule.

De oppervlakte van een cirkel is dus gelijk aan pi.

Niet vergeten, men stelde vast dat pi het getal was dat de verhouding

weergeeft tussen de omtrek en de diameter van de cirkel.

Het is 3,14159 en dan nog verder en verder en verder.

Het is gewoon een getal, maar een heel bijzonder getal.

Pi maal het kwadraat van de straal.

Eigenlijk een andere manieren om pi te definiëren:-- je zou zelfs dit kunnen

herschrijven-- de oppervlakte gedeeld door het kwadraat van je straal-- dus

dit is je straal.

Als je de straal met zichzelf vermenigvuldigt kan je je voorstellen

dat dat de oppervlakte zou zijn van een kubus zoals deze-- dat

de verhouding tussen de oppervlzakte van deze hele cirkel en de

verhouding van deze kubus-- of dit vierkant.

Kubus mag ik niet zeggen.

Het zou een kubus zijn als we in 3D gingen-- maar de verhouding van de oppervlakte

van de cirkel en dit vierkant hier is ook

gelijk aan pi.

Dat zou in feite een andere manier zijn om

te bepalen wat pi is.

En als je het nauwkeurig zou meten met een-- je kan

het op duizenden manieren doen-- zou je 3,14159 krijgen

en verder en verder en verder.

Maar daar gaan we niet te diep op in.

Misschien maak ik op een dag een hele afspeellijst over pi.

Maar we moeten alleen weten dat de oppervlakte gelijk is aan pi maal

het kwadraat van r, dus laten we de getallen invullen.

Dus in ons voorbeeld is de oppervlakte gelijk aan pi maal 3 meter

kwadraat, wat gelijk is aan pi maal 9 meter kwadraat, of de

gebruikelijke schrijfwijze is gelijk aan 9pi

vierkante meter.

Niet vergeten, 9pi, het is de gewoonte om dit zo te laten

staan, maar dit is hetzelfde als 9 maal 3,14159, wat

waarschijnlijk neerkomt op iets van 28 komma nog wat

vierkante meter.

Niet vergeten, dit is gewoon een getal, en het is niet 9.

Het is eigenlijk dichter bij 28, want het wordt

9 keer 3,14159, maar we laten het zo staan.

En normaal zal dat voldoende zijn om te

zeggen, hé, dat is mijn oppervlakte.

Dat is mijn oppervlakte: 9pi.

Laten we nu eens in de andere richting gaan: laten we zeggen ik heb een cirkel en

laat ons zeggen dat iemand zou zeggen dat de oppervlakte

gelijk is aan 16pi.

Wat zal de diameter van die cirkel zijn?

Wel, we weten dat de oppervlakte gelijk is aan pi maal

het kwadraat van de straal.

Dus laten we om te beginnen al de straal berekenen.

Dus de oppervlakte, 16pi, is gelijk aan pi maal onze straal kwadraat.

Ik pas gewoon deze formule toe.

We blijven gewoon deze formule keer op keer toepassen

als het over oppervlakte gaat.

Dus oppervlakte, waarvan ik weet dat ze 16pi is, is gelijk aan

pi maal straal kwadraat.

Als we nu beide zijden van deze vergelijking delen door pi, krijgen we

16 is gelijk aan het kwadraat van r.

En dan neem je van beide zijden de vierkantswortel en

je krijt 4 is gelijk aan r.

Ik weet dat r ook min 4 zou kunnen zijn, maar we

hebben het hier over afstanden; je kan geen

negatieve straal hebben.

Toch niet in de wereld waar wij nu in wonen.

Gewoon simpel houden; we willen onze

afstanden positief houden.

Laat ons zeggen dat dit een straal van 4 heeft.

Als nu de straal 4 is, wat is de diameter?

Wel, de diameter is altijd 2 keer de straal.

Dus deze 4, we krijgen hier nog een 4.

De diameter is gelijk aan 8.

Laten we nu een iets moeilijkere doen, die wat andere dingen die we

vroeger geleerd hebben samengooit.

Laat ons zeggen dat ik hier een cirkel heb.

Laat ons zeggen dat de omtrek gelijk is aan 20pi,

en ik wil zijn oppervlakte kennen.

De manier om al deze vraagstukken aan te pakken is door zoveel mogelijk

uit te zoeken, op basis van de gegevens die je gekregen hebt, en dan

kan je misschien uitrekenen wat er gevraagd wordt.

Dus als ik weet dat de omtrek 20pi is, wat weet

ik dan over zijn straal?

Wel, in de vorige video hebben we gezien dat de omtrek gelijk is

aan 2pi maal de straal.

Dus als de omtrek gelijk is aan 20pi, kunnen we schrijven

dat 20pi is de omtrek is gelijk aan 2pi

maal de straal.

Als je nu beide zijden hiervan deelt door pi, kunnen we die schrappen.

Als je dan beide zijden deelt door 2, wordt dit 1, dit

wordt 10, of je krijgt een straal gelijk aan 10.

Dat kan kloppen, niet?

2pi keer 10 zal gelijk zijn aan 20pi.

We kennen dus onze straal.

We weten dat de oppervlakte gelijk is aan pi maal straal kwadraat.

En gelukkig voor ons hebben we aan de hand van de omtrek

de straal kunnen vinden.

Aan de hand van de straal kunnen we de oppervlakte berekenen.

Dus de oppervlakte zal gelijk zijn aan pi maal straal kwadraat,-

r is 10-- maal 10 kwadraat, wat gelijk is aan pi maal 100.

Of het is gelijk aan 100pi.

Zo eenvoudig is het.

Dus je omtrek was 20pi, als je rond de cirkel ging,

maar de oppervlakte van je cirkel is 100pi.

En als ik je eenheden gaf zouden het 100pi vierkante eenheden zijn.

Dat is je oppervlakte: 100pi.

Hoe dan ook, ik denk dat dat een goede kennismaking is met

de oppervlakte van een cirkel.

Tot in de volgende video.