Решен пример: коефициент на член от четвърта степен в полинома на Тейлър

Намиране на коефициента на члена, съдържащ (x + 2) на четвърта степен в полинома на Тейлър, за x = -2.

Упражнявай се с този урок на KhanAcademy.org сега: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/e/finding-taylor-series?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/error-or-remainder-of-a-taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/finding-coefficient-of-maclaurin-polynomial?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

За Кан Академия: Кан Академия предлага практически упражнения, видеоуроци и лично учебно пространство, където учениците могат да учат със собствено темпо както в класната стая, така и извън нея. Покриваме математика, наука, програмиране, история, история на изкуството, икономика и други. Нашите математически мисии напътстват учениците още от детската градина чак до момента, в който им се налага да използват математически анализ. За да постигнем това, използваме модерни, адаптиращи се технологии, които намират силните и слабите страни на всеки ученик. Също така си партнираме с институции като НАСА, Музея за модерно изкуство, Калифорнийската академия на науките и Масачузетския технологичен институт, за да съумеем да предложим конкурентно специализирано съдържание.

Безплатно. За всекиго. Завинаги. #YouCanLearnAnything
#МожешДаНаучишВсичко

Абонирай се за канала Математически анализ 2 на Кан Академия:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
Каналът на Кан Академия на български език е:
https://www.youtube.com/user/KhanAcademyBulgarian

Дадена е функцията f(х) = х^6 – x^3
и се търси коефициентът

на члена, съдържащ (х + 2)^4

в ред на Тейлър, когато х = –2.

Както обичайно те насърчавам
да опиташ самостоятелно,

преди да го решим заедно.

Добре, да го решим.

Принципно полиномът на
Тейлър р(х)

има вида... спомни си,

че го разглеждаме в
точката х = – 2,

което означава, че изчисляваме
функцията в тази точка.

Ще я разделим на 0! (0 факториел!,
което е просто 1.

Ще го запиша навсякъде, за да
виждаш закономерността,

и даже можем да кажем,
че това е умножено по

х минус стойността на х,
за която изчисляваме.

Ако извадим –2, това е същото
като (х + 2) на нулева степен,

което ще бъде просто 1,

затова често няма да виждаш
това да се записва,

но аз искам да ти покажа,
че това е един последователен модел.

После ще имаш плюс
първата производна,

изчислена за –2,

делено на 1!, който
е просто 1,

по (х + 2) на първа степен,

плюс втората производна,
изчислена за –2,

върху 2! по (х + 2)^2.

Мисля, че виждаш накъде
отива това,

и тук ни интересува само
членът от четвърта степен,

но ще запиша и члена
от трета степен,

само за да добием
повече практика.

Значи третата производна,
изчислена за –2,

върху 3! по (х + 2)^3,

и сега идва частта, която
ни интересува,

плюс четвъртата производна.

Тук мога да напиша 4,
но се надявам, че ме разбираш.

И после изчисляваме за
х = –2,

делено на 4! по (х + 2)^4.

Какъв е коефициентът тук?

Трябва да намерим четвърта
производна

на първоначалната функция

и да я пресметнем за –2

и да разделим на 4!, така че
да го направим.

Нашата функция,

първата производна, f'(х)
е просто –

ще използваме правилото за
производна от степен,

6х^5 минус 3х^2.

Втората производна ще бъде
равна на

5 по 6, което е 30, х^4.

2 по 3, –6 х на първа степен.

Трета производна на х
ще е равна на

4 по 30, което е 120, по х^3,

минус 6 и после следва
четвъртата производна,

която всъщност
ни интересува.

Тя ще бъде 3 по 120,

което е 360 х^2,

като производната от
константа е просто нула.

Ако трябва да сметнем
това за х = –2,

тогава четвъртата производна,

изчислена за х = –2

е 360 по –2 на втора степен,
което е 4.

Ще остава това като 360 по 4.

Можем да сметнем това,

но ще трябва да разделим
на 4!

Така целият коефициент става
360 по 4, това е числителят,

делено на 4 факториел,

това е 4 по 3, по 2, по 1.

Четири делено на четири,

това става едно.

360 делено на 3, можем
да го разгледаме също като

360 делено на 6,
което е 60.

И това е всичко.

Получихме 60, в знаменателя
остана единица,

което е просто 60.

Това е коефициентът
на този член.