Πρόσθεση Αρνητικών Αριθμών

Πρόσθεση Αρνητικών Αριθμών

Βρείτε το άθροισμα: -15 + (-46) + (-29).

Για να το κάνουμε αυτό, ας φέρουμε πρώτα στο μυαλό μας

την εικόνα αυτών των αριθμών.

Έτσι, θα σχεδιάσω μια γραμμή των αριθμών για καθένα απ' αυτούς.

Το -15 είναι κάπως έτσι.

Αν αυτό είναι το 0, κι αυτό είναι το -15,

μπορώ να απεικονίσω το -15 ως ένα βέλος που δείχνει από το 0 στο -15.

Το μήκος του βέλους είναι η απόλυτη τιμή.

Είναι η απόσταση από το 0.

Άρα, το μήκος εδώ είναι 15

και το "μείον" μας λέει ότι το βέλος δείχνει προς τα αριστερά.

Έτσι, η απόλυτη τιμή είναι 15.

Αυτό είναι το μήκος του βέλους.

Ας κάνουμε το ίδιο και για το -46.

Σχεδιάζω ξανά μια γραμμή αριθμών.

Το μηδέν θα είναι εδώ,

και το -46 θα είναι κάπου εδώ.

Παρατηρείστε την ίδια ακριβώς ιδέα:

Η απόσταση μεταξύ του -46 και του 0

ή - ένας άλλος τρόπος να το σκεφτούμε - η απόλυτη τιμή του -46,

η απόσταση δηλαδή αυτή, θα είναι 46.

Και η κατεύθυνση του βέλους είναι προς τα αριστερά.

Γι' αυτό φτάνουμε στον αριθμό -46.

Αυτό μας λέει δηλαδή το "μείον",

είτε είμαστε αριστερά, είτε δεξιά από το 0.

Η απόλυτη τιμή μας λέει

πόσο μακριά είμαστε στα αριστερά ή στα δεξιά από το 0.

Τέλος, ας κάνουμε το ίδιο και για το -29.

Σχεδιάζω ξανά μια γραμμή αριθμών,

ξανά με το κίτρινο.

Σχεδιάζω λοιπόν τη γραμμή μου

Αν εδώ είναι το 0, το -19 θα είναι περίπου εδώ.

Ξανά, το -29 είναι ακριβώς 29 μακρυά από το 0.

Έτσι αυτό εδώ το μήκος είναι 29 και είναι στα αριστερά,

γι' αυτό και είναι -29.

Αν ήταν +29, θα ήταν 29 δεξιά του 0.

Έτσι, έχουμε απεικονίσει όλους αυτούς τους αριθμούς

και μπορείτε να δείτε πώς φαίνονται οι απόλυτες τιμές τους.

Και τώρα, ας σκεφτούμε τι θα συμβεί αν τις αθροίσουμε.

Ο ένας τρόπος να το σκεφτούμε αυτό

είναι να σκεφτούμε ότι προσθέτουμε αυτά τα βέλη.

Αν βάλουμε αυτό το βέλος πάνω από αυτό το βέλος

ή στα αριστερά αυτού του βέλους

Αν ξεκινήσουμε από εκεί που σταματά αυτό το βέλος

και βάλουμε εκεί αυτό το πράσινο βέλος

και μετά βάλουμε το πορτοκαλί βέλος.

Ας το κάνουμε λοιπόν. Ας το σχεδιάσουμε.

Θα είναι ένα μακρύτερο βέλος τώρα.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν στο 0.

Πρώτα έχουμε το -15.

Άρα, θα μετακινηθούμε 15 θέσεις προς τα αριστερά,

για να φτάσουμε στο -15.

Μετά θα πάμε 46 στα αριστερά,

για να φτάσουμε στο -15 + (-46).

Ας το σχεδιάσω. Μετά θα πάμε...

Θα υπολογίσουμε ποιος είναι αυτός ο αριθμός σε λίγο.

Μετά θα πάμε 46 θέσεις προς τα δεξιά. Αυτό είναι περίπου τόσο.

Στην πραγματικότητα είναι αυτό το βέλος που τοποθετώ τώρα.

Ξεκινώ εκεί

που τελείωσε το -15,

και εκεί βάζω το επόμενο βέλος.

Δεν ξέρουμε ακόμα σε ποιον αριθμό θα καταλήξουμε.

Θα κάνουμε μια πράξη εδώ.

Αυτό είναι που μας ζητά το πρόβλημα.

Αλλά ξέρουμε ότι το μήκος αυτού του βέλους είναι 46.

Είναι 46 προς τα αριστερά.

Ξέρουμε ότι το μήκος αυτού του μωβ βέλους είναι 15.

Τέλος, έχουμε αυτό το πορτοκαλί βέλος

που ξέρουμε ότι έχει μήκος 29

αν και είναι 29 προς τα αριστερά.

Φαίνεται κάπως έτσι.

Έχει μήκος 29.

Λοιπόν, τώρα που τα κάναμε όλα αυτά, τι έχουμε;

Σε ποιον αριθμό καταλήγουμε στη γραμμή μας;

Λοιπόν, το συνολικό μήκος μας προς τα αριστερά,

θα είναι 15+46+29

Αλλά θα είναι στα αριστερά.

Θα είναι λοιπόν αρνητικό.

Άρα μπορούμε να το δούμε έτσι:

Εφόσον όλα αυτά έχουν το ίδιο πρόσημο,

είναι το ίδιο πράγμα

με το "απόλυτη τιμή του -15" + "απόλυτη τιμή του -46" + "απόλυτη τιμή του -29"

και μετά να πάρουμε την αρνητική του τιμή.

Ας τα προσθέσουμε

15 συν 46 συν 29 μας κάνει... για να δούμε,

5+6 ίσον 11. 11+9 ίσον 2. Δύο τα κρατούμενα.

2+1 ίσον 3. 3+4 ίσον 7. 7+2 ίσον 9. Άρα το αποτέλεσμα είναι 90.

Έτσι το συνολικό μήκος εδώ είναι 90.

Αν αθροίσετε τα βέλη, το αποτέλεσμα θα είναι 90.

Αλλά δεν είναι 90 προς τα δεξιά.

Αν ήταν 90 προς τα δεξιά, θα ήταν όλα θετικοί αριθμοί.

Και θα είχαμε ως αποτέλεσμα +90.

Αλλά εδώ έχουμε 90 προς τα αριστερά.

Έτσι, αν προσθέσετε αυτούς τους αριθμούς

το αποτέλεσμα δεν θα είναι +90.

Θα είναι -90.

Ένας από τους τρόπους λοιπόν να σκέφτεστε τέτοια προβλήμα, είναι να λέτε: "όλοι οι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο,

άρα αυτό θα ισούται

με μείον [ (απόλυτη τιμή του -15) + (απόλυτη τιμή του -46) + (απόλυτη τιμή του -29)]

και ο λόγο που το γράφουμε αυτό,

μπορεί να φαίνεται περίπλοκο

αλλά στην ουσία είναι απλώς το μήκος αυτού του μωβ βέλους.

Η απόλυτη τιμή του 46

είναι στην ουσία απλώς το μήκος του πράσινου βέλους, δηλαδή 46.

Αυτό είναι απλώς το μήκος του πορτοκαλί βέλους.

Άρα, έχουμε 15+46+29, που μας δίνει 90.

Αλλά είναι προς τα αριστερά. Γι΄αυτό και είναι -90.