Order of Operations

Здравствуйте!

Давайте рассмотрим несколько примеров,

при решении которых нужно соблюдать порядок математических действий.

Начнем с примера 1b.

Итак, 1b. 2+7*11-12/3.

Напомню, что первым делом

мы вычисляем то, что стоит в скобках.

Итак, начинаем со скобок.

Обозначу это символами.

У скобок самый высокий приоритет,

затем идет возведение в степень,

затем - умножение и деление,

и наконец, сложение и вычитание.

Давайте не забывать про этот порядок действий и выполнять его.

В этом примере у нас нет скобок и нет возведения в степень.

Следующими по значимости являются умножение и деление.

Значит, мы начнем с умножения или деления перед тем,

как складывать или вычитать.

Как вы видите я расставила здесь скобки, сделала я это для того,

чтобы точно следовать порядку математических действий,

точнее для того, чтобы умножить или разделить,

перед тем как складывать или вычитать.

Итак, 7*11 это 77, а 12/3 это 4.

Давайте я запишу все что осталось.

2+77-4.

Осталось только сложить и вычесть,

поэтому будем просто вычислять слева направо.

2+77 это 79, 79-4 это 75.

В результате мы получили 75.

Следующий пример 1d.

Он немного интереснее, чем предыдущий.

Запишем на доске: 1d и условие к нему.

(2*(3+(2-1)))/(4-(6+2))-(3-5).

Давайте попробуем упростить этот пример.

Я уже не раз говорила, что у скобок самый высокий приоритет,

поэтому, сначала вычислим то, что стоит в скобках.

2-1 это 1. 3-5 это (-2), заметьте (-2). 6+2 это 8.

Продолжим и постараемся максимально упростить этот пример.

3 плюс то, что у нас получилось, то есть 1, будет 4.

Давайте я перепишу это.

Итак, у нас есть 2, умноженное на все это выражение,

то есть умноженное на (3+1), а это равно 4-ем.

Теперь все это мы делим на 4-8, а это равно минус 4-ем.

Теперь я запишу: минус (-2).

2*4 это 8, все это равно…

Поскольку минус на минус дает плюс,

то я заменю это на плюс.

Итак, это равно 8/( -4), а это (-2), плюс 2, равно 0.

Итак, мы решили этот огромный пример и в результате получили 0.

Следующий пример 2b.

Я освобожу немного места,

"Напоминалку" про порядок действий я оставлю.

Так это тоже удалить...

Итак, 2b.

Вычислить выражение,

содержащее переменные.

Довольно просто на первый взгляд.

Запишем условие примера: 2(y^2).

В условии также сказано,

что x=1, но это не имеет смысла.

Так как в этом примере нет х, а y=5.

Если дано, что y=5, то мы можем записать этот пример как:

2*(5^2). Заметьте, я поставила здесь скобки.

Я могу записать это просто как: 2*5^2.

Если вы посмотрите на порядок действий,

то вы заметите, что возведение в степень стоит перед умножением,

поэтому я машинально написала здесь скобки.

Сначала нам нужно возвести в степень.

Здесь мы получим 25, 2*25 это 50.

Итак, ответ в этом примере…

я лучше запишу его более темным цветом…

это все равно 50-ти.

Следующий пример, 2d.

Дано: (y^2-x)^2, также дано, что х=2, а у=1.

Итак, нам нужно просто заменить эти переменные в примере.

Вместо y мы пишем 1^2 минус х это 2,

то есть 1^2-2 и все это в квадрате.

1^2 это 1, значит это просто 1. 1-2 это (-1),

теперь нам нужно возвести (-1) в квадрат,

в результате мы получим 1.

Так, как минус на минус дает плюс.

Теперь решим 3b.

Условие такое же, как и в предыдущем примере,

нам нужно вычислить значение выражения,

в котором есть переменные.

Дано: 4х/9х^2.

Ой, это же условие 3a, а не 3b.

Итак, у нас есть (z^2/(x+y))+(x^2/(x-y)),

также нам дано, что x=1, y=(-2), z=4.

Подставим значения переменных в наш пример.

Итак, z^2 это то же, что и…

Я изменю цвет… Это то же, что и 4^2 делить на х, х=1, плюс y, а y=(-2), плюс x^2,

а это 1^2 деленное на х, т.е. на 1, минус у, т.е. (-2).

Все это равно: 4^2 это 16, деленное на 1+(-2), это (-1).

Плюс 1^2, это просто 1, деленная на 1-(-2),

минус на минус дает плюс, значит, это равно 3-ем.

В результате у нас осталось 16/(-1), то есть (-16)+1/3.

Теперь для того, чтобы преобразовать это в дробь,

нам нужно привести это к общему знаменателю.

(-16) это то же, что и минус (48/3).

48 разделить на 3 это 16, и просто переписываем знак минус.

К этой дроби мы прибавляем 1/3, общий знаменатель 3,

давайте его сразу запишем. (-48)+1 это (-47).

В результате мы получили (-47/3) (минус 47 третьих).

Следующий пример 3d. Запишем, 3d.

Условие такое же, как и в предыдущем примере.

Дано: (x^2-z^2)/(xz-2x(z-x)), а также дано, что х=-1, z=3.

Теперь давайте заменим все переменные:

х^2 это (-1)^2 минус z^2, а это 3^2,

все это разделить на xz, т.е. на (-1)*3,

минус 2 умноженное на х, т.е. на (-1).

Умножить на (z-x), z это 3, а x это (-1).

В результате получим…

Вы помните, что вначале мы возводим в степень…

Точнее сначала мы вычисляем то, что в скобках,

а затем уже возводим в степень.

Итак, (минус 1)^2 это просто 1, 3^2 это 9.

В числителе у нас будет 1-9, а это (минус 8).

Посмотрим, что получится в знаменателе.

(-1)*3 это (-3).

Давайте найдем то, что стоит в скобках.

3-(-1) это то же, что и 3+1, значит, в скобках получается 4.

В знаменателе останется -3-2(-1)4, 2(-1)4=(-8),

минус на минус дает плюс, вся эта дробь будет равна:

-8, деленному на минус 3+8, это 5, запишем это в знаменатель.

В результате получится (-8/5).

Освобожу немного места,

чтобы решить еще несколько примеров.

Удалю все это.

Итак, пример номер 4,

нужно правильно расставить скобки,

чтобы получить верное равенство.

Это уже интересно.

Итак, 4b.

Запишем условие: 12/4+10-3*3+7=11.

Посмотрим, что же получится,

если выполнять действия в этом примере, соблюдая порядок.

Я посчитаю это в уме.

Проверим условие, да, все правильно.

12 разделить на 4 это 3, давайте я запишу это желтым.

Итак, здесь получится 3, а здесь - 9.

3+10=13, минус 9, 13-9=4, плюс 7, да 11.

Да, кажется все правильно.

Нужно просто придерживаться порядка действий.

Кажется все правильно, поэтому мы просто расставим скобки

(12/4)+10-(3*3)+7, по-моему, все верно.

Давайте еще раз проверим, чтобы точно знать, что я нигде не ошиблась.

12/4 это 3, плюс 10, минус 3*3, это 9, плюс 7.

И это равно: 3+10 это 13, минус 9, это будет 4, плюс 7 и в итоге мы получим 11.

На самом деле для того, чтобы все правильно решить, скобки здесь не нужны.

Нужно просто придерживаться порядка математических действий.

Эти скобки скорее для наглядности.

Решим 4d.

Запишем условие, 12-8-4*5=(-8).

Сначала давайте посмотрим,

что же у нас получится, если соблюдать порядок действий.

Итак, если делать это в правильном порядке,

то сначала, мы вычислим 4*5 это 20,

после этого мы вычтем из 12-ти 8, получится 4,

затем вычтем 20 из 4-ех,

получим в результате (минус 16), а не (минус 8).

То есть мы не можем просто в правильном порядке

выполнять действия в этом примере.

Сейчас я снова напишу (минус 8).

Давайте попробуем поэкспериментировать с этим примером.

Что будет, если посчитать это так: 12-(8-4)*5.

Я просто экспериментирую со скобками.

Если мы отнимем от 8-ми 4, то получим 4,

4*5 это 20, теперь отнимем от 12-ти 20 и получим в результате минус 8.

Да, это правильное расположение скобок.

Давайте отметим это здесь, итак,

я ставлю скобку здесь и здесь. 8-4 это 4.

Перепишем это, 12-4*5, и следуя правильному порядку

в начале я выполню умножение,

4*5 это 20,

я отмечу это скобками в исходном примере,

чтобы все было правильно.

Отняв от 12 20, мы получим (минус 8).

На сегодня все. До встречи на следующем уроке!