연산의 우선순위에 관한 예제

연산의 우선순위에 관한 실제 문제를 풀어봅니다.

연산의 우선 순위와 관련된 문제를 몇 문제 풀어봅시다

여러 문제를 풀어보도록 하겠습니다

그러면 1b부터 시작하겠습니다

여기 1b말입니다

이 식은 2 + 7 x 11 - 12 ÷ 3 입니다

그러니까 기억하셔야 하는 점은 최고 우선 순위는 언제나

괄호라는 점 입니다

그러니까 식에 괄호가 있으니 이 식을 이렇게 써 봅시다

여러분의 가장 우선 순위는 괄호가 될 것입니다

그 다음으로는 지수가 우선 순위가 될 것입니다

그 다음에는 나눗셈과 곱셈이 우선 순위가
될 것이며 다음으로 덧셈과

뺄셈이 우선 순위가 될 것입니다

그러니까 연산의 우선 순위를 기억하고

이 문제를 풀어 봅시다

우선 이 식에는 괄호가 없습니다 이 식에는

지수도 없습니다 그러니까 우선 순위는 곱셈과

나눗셈 쪽으로 갈 것입니다

이 식은 이것과 같다고 볼 수 있는데.. 그러니까 우리는

덧셈이나 뺄셈을 하기 전에 곱셈을 할 것입니다

그 후에는 우리는 나눗셈을 할 것입니다

어떤 덧셈이나 뺄셈을 하기 전에 말입니다

문제 1b는 정확히 이 식과 같습니다

괄호는 (제가 개념을 보강해 드리고 있는데)

제가 덧셈과 뺄셈을 하기 전에

곱셈과 나눗셈을 할 거라는 뜻입니다

그러니까 7 곱하기 11은 77 이고, 12를 3으로 나누면 4가 됩니다

그리고 문제의 나머지는 2 더하기 이것들 입니다 그러니까

77 입니다 여기에 빼기 이것들 입니다

그리고 여기에서, 모든 항이 덧셈 혹은 뺄셈이기 때문에,

그냥 왼 쪽에서 오른 쪽으로 계산해 줍시다

2 + 77 = 79, -4, 즉, 75가 됩니다

그러니까 1b = 75 가 됩니다

1d를 한 번 풀어 봅시다

그 문제는 바로 여기에 있는 스릴 있고 좋은 문제를 말합니다

그러니까 1d 입니다

이 문제는 2 x ( 3 + ( 2 - 1 ) ) 가

두 개의 괄호로 닫혀 있고,
이 모든 것을 4 - ( 6 + 2 ) 로 나눈 후,

- ( 3 - 5 ) 한 것입니다

우리가 이 문제를 조금 단순화 시킬 수 있는 지 알아 봅시다

말했듯이 괄호는 우리에게 있어서 가장 우선 순위 입니다

그러니까 괄호를 먼저 계산해 줍시다. 2 - 1 입니다

2 - 1 은 그냥 1 입니다

3 - 5 입니다

이것은 - 2 가 되거나 혹은 음수 2가 됩니다

6 + 2 = 8 입니다

*

자, 이제 계속 괄호를 살펴 봅시다 그 괄호가 이 항들을

단순화 할 수 있는지 말입니다

이 식은 괄호를 가지고 있습니다

그러니까 3 더하기 이 1은 이제 4가 될 것입니다

이 수식을 다시 써 봅시다

그러니까 2 곱하기 수식 전체입니다 3 더하기

1 입니다 그러니까 이것은 2 곱하기 4 입니다

바로 저기에 있는 것이 4 입니다

이 모든 것을 4 - 8 로, 그러니까 음수 4로 나눕니다

바로 여기에 있는 것이 음수 4 입니다

그러고 나서 빼기 이 음수 2를 해 줍니다

그러니까 빼기 음수 2 입니다

2 곱하기 4는 8 입니다 그러니까 이 모든 식을 단순화 하면..

음수의 - 이니까 이것은 그냥 + 의 + 가 됩니다

-가 상쇄되어 없어집니다

그러니까 이 모든 식을 단순화 하면 8 나누기 - 4는

- 2 + 2 가 됩니다

*

즉 0이 됩니다

그러니까 이 크고, 복잡한 식을 단순화 하면 0이 됩니다

자, 이제 2b를 한 번 풀어 봅시다

*

제가 여기를 조금 지워보도록 하겠습니다

제거 저기에 연산의 우선 순위는 남겨두고

이걸 지우겠습니다

좋습니다 2b 입니다

*

다양한 변수가 들어 있는

아래의 수식을 계산해 봅시다

좋습니다

그러니까 문제에 2y 제곱이라 써 있습니다 그리고 x는

1이라고 합니다 그리고 이 x는 여기에 x가 없기
때문에 전혀 관계가 없습니다

그리고 y는 5라고 합니다

그러니까 만약 y가 5라면 이 수식은

2 x ( 5의 제곱 ) 과 같은 것이 될 것입니다

그리고 제가 저기에 괄호를 넣었다는 것을
알아차리시기바랍니다.

제가 이 수식을 이런 식으로
쓸 수도 있습니다 이것도 같은 것인데

2 곱하기 5의 제곱 입니다

그리고 만약 여러분이 연산의 우선 순위를 살펴 본다면, 지수는

곱셈보다 우선 순위를 차지하고 있습니다

그게 제 머릿속에서 제가 방금 자동적으로 저 괄호를

넣은 이유입니다

저희는 지수를 먼저 계산 할 것입니다

그러니까 이것은 25 입니다 그러니까 여러분은
2 곱하기 25, 즉 50을 구합니다

그러니까 이 문제는 2b 입니다. 이 식은 뭐와 같느냐면... (더 어두운 펜으로 써 보겠습니다)

이것은 50과 같습니다

2d를 한 번 풀어보도록 합시다

*

문제가 말하길 y의 제곱 - x에, 이 모든 것을 제곱 합니다

x는 2 입니다 그리고 y는 1 입니다

음, 그냥 치환해 줍시다

y에 1을 대입해 봅시다

그러니까 이 식은 1 제곱 - x 의 제곱이 될 것입니다

그러니까 이 식은 1 제곱 - x 의 제곱이 될 것입니다

그러니까 우리가 방금 저기에 일반적인 x를 넣었습니다

저기가 우리가 2를 넣는 곳입니다

그러고 나서 이 모든 것을 제곱합니다

음, 1의 제곱은 그냥 1 입니다
그러니까 이것은 그냥 1 입니다

1 - 2 = -1 입니다

그러고 나서 우리는 우리의 -1을 제곱해 주고 싶습니다 그러니까

이것은 +1이 될 것입니다

그러니까 이것은 -1 입니다

음수 곱하기 음수는 양수 입니다

좋습니다. 3b를 한 번 풀어 봅시다

*

다른 모든 문제도 풀어 보도록 합시다

제가 노란 색으로 쓰겠습니다

다음에 오는 다양한 변수가 들어 있는

수식을 계산해봅시다

좋습니다

같은 계산 입니다

그러니까 문제가 말하길 4x/9x의 제곱 입니다

오, 제가 사실 3b를 푼다고 말했었는데
3a를 풀고 있었습니다.

그러니까 됐습니다

z의 제곱/ x + y 여기에 더하기 x의 제곱/x -y 입니다

*

그리고 문제가 말하길 x는 1이라고 합니다 y는

-2와 같습니다 그리고 z는 4와 같습니다

그러니까 먼저 그냥 치환을 해 줍시다

그러니까 z의 제곱, 그게 뭐와 같느냐면.. 제가 이건

다른 색으로 써 보겠습니다 4의 제곱 나누기 x는 1이고 더하기 -2 입니다

여기에 더하기 x의 제곱, 그건 1의 제곱이 되고 나누기 x,

즉 1에, - y 입니다

y는 -2 입니다

그러니까 이것은 4의 제곱은 16이고 나누기 1 더하기

-2, 이건 1 - 2 입니다 이것은 그냥 -1 입니다 더하기

1의 제곱, 그건 1 입니다 나누기 1 - 음수 2 입니다

그건 1 + 2와 같습니다

그러니까 1/3 입니다

그리고 이것은 16을 -1로 나누는 것과 같습니다

우리는 이것을 -16 + 1/3 이라고 다시 쓸 수 있습니다

자, 이제 만약 우리가 실제로 이것들을 분수로서 더하길 원한다면 우리가

공통 분모를 찾을 수 있습니다

-16은 -48/3과 같은 것 입니다 혹은

음수 48/3과 같은 것 입니다

만약 여러분이 48을 3으로 나누면 여러분은 16을 얻게 될 것입니다 그리고 저는 그냥

음수 부호를 계속 유지하도록 하겠습니다

그러고 나서 여러분은 저 1/3을 더해 줍니다

우리는 공통 분모로 이제 3을 가지고 있습니다

-48 + 1 = -47 입니다

그러니까 정답은 -47/3 입니다

문제 3d 입니다

*

같은 식으로 푸는 문제입니다

x의 제곱 - z의 제곱 / xz - 2x 곱하기 z - x 입니다

x는 -1과 같습니다 z는 3과 같습니다

치환을 해 보도록 합시다

그러니까 이것은 x의 제곱 입니다

이것은 -1의 제곱 입니다

-z의 제곱 입니다 그러니까 -3의 제곱 입니다

이 모든 것 나누기 x 곱하기 z 입니다

x 곱하기 z는 -1 곱하기 3 입니다 -2 곱하기 x는, x가

-1 입니다 곱하기 z - x, 곱하기 3 - x 입니다

x는 -1 입니다 -x 입니다

우리가 x를 본 곳마다 우리는 -1을 대입했습니다

그러니까 이것이 뭐와 같으냐면.. (여러분이

지수를 먼저 계산해야 한다는 것을 기억하시기 바랍니다)

괄호가 먼저고 그 다음에 지수 입니다

그러니까 우리는 -1의 제곱을 가지고 있는데, 이것은 그냥 + 1 입니다

3 제곱, 이것은 그냥 +9 입니다

그러니까 우리의 분자는 1 - 9 가 됩니다 그것은 - 8 혹은

음수 8 입니다

그러고 나서 분모로 갑시다

-1 곱하기 3 은 -3 입니다

그러고 나서 여기에 있는 괄호로 가 봅시다

3 - - 1 입니다 그건 뭐와 같느냐면 3

+ + 1과 같습니다

그러니까 바로 여기에 있는 것은 4가 됩니다

그러니까 분모는 -3 -2 곱하기

-1 곱하기 4 가 됩니다 그러니까 이것은 -8 입니다

- 음수 8 입니다

음수의 - 는 + 와 같은 것 입니다

그러니까 이 모든 것이 -8 / -3

+8 이 되고, 5가 됩니다

그러니까 이것은 -8/4 입니다 -8 나누기 5 입니다

좋습니다 제가 화면을 지우도록 하겠습니다 그래야 우리가

이 문제를 적절히 참고할 수 있기 때문입니다

제가 이 모든 걸 지우도록 하겠습니다

*

문제가 이제 재미있어집니다

문제 4번입니다 각 각의 수식에 괄호를 삽입하여 수식을

참인 수식으로 만드시오

대단히 흥미롭습니다

*

그러니까 4b 입니다

12 나누기 4 더하기 10 빼기 3 곱하기 3 더하기 7은

11과 같습니다

그러니까 우리가 그냥 전통적인 연산 순서를 따르면 무슨 일이

일어나는 지 봅시다 그리고 제가 머릿 속에서
약간 계산해 보겠습니다

왜냐하면 이것은 약간의 실험이 필요하기 때문입니다

오, 네 이것은 4b 입니다 12 나누기 4...

네 그 문제 맞습니다

그러니까 만약 우리가 12를 4로 먼저 나누면, 우리는 3을 얻을 것입니다

그러니까 제가 노란 펜으로 써 보겠습니다

그러니까 만약 제가 연산의 일반적인 순서로 수식을 계산하면 이 부분은 3이 될 것입니다

여기에 있는 것은 9가 될 것입니다

그러니까 3 더하기 10, 그건 13에 -9, 13 빼기

9는 4, 더하기 7이 됩니다

사실 이건 맞는 것처럼 보입니다

제가 맞게 풀었는지 확인 해 봅시다

3 + 10, 맞습니다

그러니까 사실 우리는 그냥 연산의 일반적인 방법으로 수식을 풀었습니다

그러니까 이것은 벌써 참인 수식으로 보입니다

그러니까 만약 제가 12 나누기 4 더하기 10 빼기 3 곱하기 3 더하기

7을 하면, 제 생각에는 맞게 답이 나오는 것 같은데...

확인 해 봅시다

제가 실수 하지 않았는지 확실히 확인해 보도록 합시다

12 / 4 =3, + 10 - 3, x 3 = 9, + 7 입니다

이것은 13 - 8, 즉 이건 뭐와 같느냐면.. 그러니까 이 모든 게

13 - 9 = 4, 더하기 7은 실제로

11 입니다

그러니까 이 문제는 그다지 어렵지 않습니다

여러분은 사실상 어떤 괄호도 넣을 필요가 없습니다

이 식을 참으로 만들기 위해서 말입니다

여러분은 단지 연산의 순서를 따르기만 하면 됩니다

하지만 이 괄호들을 넣어서 이 수식을 좀 더

읽기 쉽도록 만들어 봅시다

4d를 한 번 풀어보도록 합시다

*

12 빼기 8 빼기 4 곱하기 5는 -8과 같습니다

그러니까 처음에 어디 봅시다 만약 우리가 전통적인

연산의 순서로 계산을 하면 무슨 일이 일어납니까?

만약 우리가 전통적인 연산 순서로 계산을 하면 우리는 이

4 곱하기 5를 먼저 계산 할 것입니다 그리고 여기의 이것은 20이 됩니다

그러고 나서 우리는 12 빼기 8이 4라는 것을 구할 것입니다

그러고 나서 우리는 4 빼기 20을 할 것입니다 아닙니다 이것은 옳지 않습니다

이 수식은 -16이 됩니다

그러니까 이것은 옳지 않습니다

그러니까 우리는 그냥 전통적인 연산의 순서를

이용해서 이 문제를 풀 수 없습니다

죄송합니다 여기는 -8 입니다

그러니까 우리가 이 수식을 가지고 어떻게 실험을 해 볼 수 있는지 알아 봅시다

몇 가지 상황을 시도해 봅시다

만약 우리가 12 - 8 - 4 를 계산한 뒤에 곱하기 6를

하면 어떻게 될까요?

답이 몇이 나오는 지 한 번 봅시다

저는 그냥 괄호를 넣어서 실험해 보고 있습니다

그러니까 만약 여러분이 8 - 4를 계산하면, 여기에 있는 것은

8 - 4 = 4 일 것입니다

그러고 나서 4 곱하기 5는 20이 될 것입니다 그러고 나서 12 빼기 20은..

네, 성립합니다

그러니까 이걸 확인 해 봅시다

그러니까 제 말은 제가 여기에 괄호를
넣을 것이라는 말입니다

그리고 여깁니다 그리고 한 번 계산해 봅시다

여러분은 8 - 4 = 4 를 얻을 것입니다

그러니까 이 모든 것을 단순화 하면 12

빼기 4 곱하기 5가 됩니다

그리고 여러분은 그냥 연산의 순서로
계산하면 됩니다 여러분은

곱셈을 먼저 합니다 그러니까 이것은 그냥 20 입니다

그리고 만약 여러분이 좀 더 명확하게 만들고 싶다면 사실 저는

이런 식으로 써 줄 수 있습니다

사실 저는 이 근처에 다른

괄호를 이런 식으로 넣을 수 있습니다

하지만 연산의 순서는 어쨌든 간에 우리가 그 순서로 계산하게 해 줍니다

그러니까 이것은 12 빼기 20이 됩니다 즉, -8 혹은

음수 8 이 됩니다