Защо разстоянието е площ под правата скорост-време

Да разберем защо разстоянието е площ под правата скорост-време

Да кажем, че имам нещо,

което се движи с постоянна скорост
от 5 метра в секунда.

И просто приемаме, че се движи надясно,

просто за да му дадем посока,
понеже това е векторна величина.

Движи се в тази посока тук.

Нека направя графика на
промяната в скоростта с течение на времето.

Това е скоростта.

Ще поставя само големината на скоростта

и можеш да уточниш това ето така.

Това е големината на скоростта.

И на тази ос ще поставя времето.

Имаме постоянна скорост от 5 метра в секунда.

Големината ѝ е 5 метра в секунда.

И е константа.

Не се променя.

С изминаването на секундите
скоростта не се променя.

Това се движи с 5 метра в секунда.

Въпросът ми е:

"Колко далеч ще се придвижи
след 5 секунди?"

След 5 секунди – това са 1 секунда, 2 секунди,

3 секунди, 4 секунди, 5 секунди.

Колко надалеч се е придвижило това
след 5 секунди?

Можем да помислим за това по два начина.

Първият е: знаем, че скоростта е равна на

преместването върху промяната във времето.

Преместването, което е просто
промяната в позицията,

върху промяната във времето.

Друг начин да помислим за това –

ако умножиш двете страни
по промяната във времето –

получаваш, че
скоростта по промяната във времето

е равна на преместването.

Какво беше преместването тук?

Знаем каква е скоростта –

тя е 5 метра в секунда.

Това е скоростта –
нека го направя с различни цветове.

Това е скоростта.

И знаем каква е промяната във времето:
5 секунди.

Секундите се съкращават със секундите,

получаваш 5 по 5 е равно на 25 метра.

И това е доста лесно.

Но малко по-интересното нещо

е, че това е точно площта
под този правоъгълник тук.

В това видео ще ти покажа,
че ако направиш графика на скоростта,

големината на скоростта...

Графика на големината на скоростта
по оста у и времето по оста х.

Площта под тази права

ще е равна на изминатото разстояние,
или преместването.

Понеже преместването е просто скоростта
по промяната във времето.

Тоест ако просто вземеш един правоъгълник ето тук...

Нека начертая малко по-различен правоъгълник,

при който скоростта се променя.

Нека начертая ситуация,

при която имаш постоянно ускорение.

Ускорението тук

ще е 1 метър в секунда за секунда.

1 метър в (секунда на квадрат).

И нека начертая същия вид графика,

въпреки че сега ще изглежда малко по-различно.

Това е оста на скоростта.

Ще си дам малко повече място.

Това е оста на скоростта.

И просто ще начертая големината на скоростта.

Това тук е оста на времето.

Това е времето.

Нека маркирам някои неща тук.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

И 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

И големината на скоростта

ще е измервана в метри в секунда.

И времето ще бъде измервано в секунди.

Първоначалната ми скорост,

или големината
на първоначалната ми скорост –

големината на първоначалната ми скорост –

това е просто засукан начин да кажа,
че първоначалната ми скорост е 0.

Първоначалната ми скорост е 0.

И какво ще се случи след 1 секунда?

След 1 секунда ще съм по-бърз
с 1 метър в секунда.

Сега изминавам 1 метър в секунда.

Какво ще се случи след 2 секунди?

Ще съм с още 1 метър в секунда по-бърз.

И след още една секунда –
ако премина напред във времето,

ако промяната във времето е 1 секунда,

тогава ще съм с 1 секунда по-бърз.

И ако помниш идеята за ъглов коефициент
от курса по алгебра 1,

точно това е ускорението
в тази графика тук.

Знаем, че ускорението е равно на промяната
в скоростта върху промяната във времето.

Тук промяната във времето е на оста х.

Това тук е промяна във времето.

А това тук е промяна в скоростта.

Когато поставим скоростта спрямо времето,

наклонът (ъгловият коефициент) на тази права е ускорението.

И след като приемаме, че ускорението е константа,

имаме постоянен ъглов коефициент.

Тоест имаме просто една права.

Нямаме крива.

Искам да помисля за една определена ситуация.

Да кажем, че ускоряваме с
1 метър в (секунда на квадрат).

И го правим за –

промяната във времето
ще е 5 секунди.

И въпросът ми е: "Какво разстояние сме изминали?"

Което е малко по-интересен въпрос от тези,

които задавахме досега.

Започнахме с първоначална скорост от 0.

И после за 5 секунди ускоряваме

с 1 метър в (секунда на квадрат).

1, 2, 3, 4, 5.

Стигаме ето тук.

След 5 секунди... Знаем скоростта си.

Скоростта ни сега е 5 метра в секунда.

Но колко далеч сме отишли?

Можем да помислим за това визуално.

Можем да опитаме да начертаем правоъгълници тук.

Може би тук имаме скоростта

от 1 метър в секунда.

Ако кажа един метър в секунда
по секундата,

това ще ми даде някакво разстояние.

И после ще имам
малко по-голямо разстояние,

изчислено по същия начин.

Мога да продължа да чертая тези правоъгълници,

но после, чакай,
тези правоъгълници липсват,

понеже не се движих с 1 метър в секунда

за цялата секунда.

Продължавах да ускорявам.

Може би трябва
да разделя правоъгълниците.

Мога дори да разделя правоъгълниците
още повече.

Може би трябва да е
на всяка половин секунда.

За тази половин секунда
пътувах с тази скорост.

И за половин секунда пътувах с тази скорост.

Скоростта по времето ще ми
даде преместването.

И ще го направя за следващата
половин секунда.

Същата идея тук.

Дава ми преместването.

И така нататък.

Но мисля, че виждаш накъде отивам –

колкото по-малки са правоъгълниците,
които опитваш да направиш тук,

толкова повече ще се доближиш
до площта под тази права.

Точно както ситуацията тук,

тази площ под правата

ще е изминатото разстояние.

И, за наше щастие, това ще е просто триъгълник,

и знаем как да намерим
лицето на триъгълник.

Лицето на триъгълник е равно на
1/2 по основата по височината.

Което, надявам се, ти се вижда логично,

понеже ако просто умножиш
основата по височината,

получаваш лицето за целия правоъгълник,

а триъгълникът е точно половината от това.

Изминатото разстояние в тази ситуация,

или трябва да кажа преместването,

просто защото искаме да сме сигурни,
че работим с векторни величини.

Преместването тук ще е –

или трябва да кажа
големината на преместването,

което е същото нещо като разстоянието –

ще е 1/2 по основата, която е 5 секунди,

по височината, която е 5 метра в секунда.

По 5 метра.

Нека направя това в другия цвят.

5 метра в секунда.

Секундите се изключват със секундите.

И ни остава 1/2 по 5 по 5 метра.

Това е 1/2 по 25,
което е равно на 12,5 метра.

И тук има едно интересно нещо,

всъщност няколко интересни неща.

Надявам се, че осъзнаваш, че ако поставяш
скоростта и времето на графиката,

площта под правата –

при дадено определено количество време –

ти казва колко разстояние е изминато.

Другото интересно нещо е,
че ъгловият коефициент тук

ти казва ускорението.

Какъв е ъгловият коефициент тук?

Ами нямаме ъгъл всъщност.

Това е понеже скоростта не се променя.

В тази ситуация имаме
постоянно ускорение.

Големината на това ускорение
е точно 0.

Скоростта ни не се променя.

Тук имаме ускорение от
1 метър в (секунда на квадрат),

затова ъгловият коефициент
на тази права тук е 1.

Другото интересно нещо е, че,

дори ако имаш постоянно ускорение,

все още можеш да намериш разстоянието,

просто като вземеш площта
под кривата ето така.

Успяхме да получим, че това е 12,5 метра.

Последното нещо,
което искам да ти покажа –

всъщност нека просто го направя
в следващото видео –

ще ти покажа идеята за средна скорост,

след като вече се чувстваме удобно с идеята,

че изминатото разстояние е площта
под правата скорост-време.