-
Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων.
-
Ας ξεκινήσουμε!
-
Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ.
-
Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση.
-
Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4.
-
Για να δούμε τι σημαίνει αυτό.
-
Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια.
-
Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο...
-
ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα...
-
Αυτό εδώ ένα τέταρτο...
-
ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά;
-
Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας.
-
Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ.
-
Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
-
Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα...
-
ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο...
-
πόσο θα είχα φάει;
-
Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα...
-
έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας.
-
Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας...
-
και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας,
-
θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας.
-
Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα...
-
ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα...
-
κι αυτό βγάζει νόημα.
-
Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα.
-
Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ;
-
Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί...
-
οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι.
-
Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα.
-
Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα.
-
Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας...
-
άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα.
-
Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα.
-
Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5;
-
Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα.
-
Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι.
-
Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί.
-
Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς.
-
Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές.
-
2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5.
-
Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση.
-
Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7.
-
Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1
-
και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή.
-
Που βγάζει νόημα.
-
Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας...
-
και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας...
-
Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας.
-
Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα...
-
τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή...
-
Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα.
-
Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός.
-
Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές;
-
Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο.
-
Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2.
-
Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα.
-
Ας σχεδιάσω την πίτα.
-
Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω...
-
αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
-
Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας.
-
Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας.
-
Αυτό εδώ το μισό.
-
Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας.
-
Με τι λοιπόν ισούται αυτό;
-
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό.
-
Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2.
-
Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά;
-
Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ.
-
Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4,
-
και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
-
Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2...
-
είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά;
-
Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4...
-
πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2.
-
Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα.
-
Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό...
-
Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε.
-
Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2.
-
Το ξέρετε αυτό.
-
Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2...
-
2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4.
-
Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ.
-
Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως.
-
Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα.
-
Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4...
-
ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3...
-
και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4.
-
Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως
-
έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας.
-
Ας κάνουμε ακόμα ένα.
-
Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3.
-
Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι...
-
αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς...
-
δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2...
-
δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2.
-
Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3.
-
Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν.
-
Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε...
-
Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή",
-
αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3.
-
Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3;
-
Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3.
-
Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6.
-
Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6.
-
Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2;
-
Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
-
Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά;
-
Βγάζει νόημα.
-
Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6.
-
Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια...
-
είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6.
-
Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6.
-
Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό!
-
Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.
-
Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας...
-
αν αυτό σας βοηθά.
-
Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο.
-
Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5...
-
και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές.
-
3/6 + 2/6 = 5/6
-
Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα.
-
1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6...
-
Κι αυτό ισούται με 1/6.
-
Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά.
-
Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση...
-
ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας...
-
γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα.
-
Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά.
-
Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;;
-
Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα.
-
Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα.
-
Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον...
-
πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10;
-
Σωστά.
-
Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά;
-
10/10 ίσον 1.
-
Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10.
-
Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές...
-
και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10.
-
1/10 - 1 = -9/10.
-
Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη.
-
Έχουμε χρόνο για άλλο ένα.
-
Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4.
-
Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36.
-
Άρα αυτό ισούται με 36.
-
Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36;
-
Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36.
-
Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4.
-
Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4.
-
άρα έχουμε αυτό, μείον...
-
για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9...
-
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9...
-
άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9.
-
1 x 9 = 9.
-
Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36...
-
που ισούται με -13/36.
-
Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας.
-
Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα.
-
Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
-
Καλή διασκέδαση.
