YouTube

Got a YouTube account?

New: enable viewer-created translations and captions on your YouTube channel!

Greek subtitles

← Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Get Embed Code
36 Languages

Subtitles translated from английски език Showing Revision 2 created 08/20/2012 by gorgonos.

  1. Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων.

  2. Ας ξεκινήσουμε!
  3. Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ.
  4. Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση.
  5. Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4.
  6. Για να δούμε τι σημαίνει αυτό.
  7. Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια.
  8. Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο...
  9. ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα...
  10. Αυτό εδώ ένα τέταρτο...
  11. ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά;
  12. Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας.
  13. Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ.
  14. Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
  15. Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα...
  16. ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο...
  17. πόσο θα είχα φάει;
  18. Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα...
  19. έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας.
  20. Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας...
  21. και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας,
  22. θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας.
  23. Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα...
  24. ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα...
  25. κι αυτό βγάζει νόημα.
  26. Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα.
  27. Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ;
  28. Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί...
  29. οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι.
  30. Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα.
  31. Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα.
  32. Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας...
  33. άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα.
  34. Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα.
  35. Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5;
  36. Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα.
  37. Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι.
  38. Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί.
  39. Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς.
  40. Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές.
  41. 2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5.
  42. Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση.
  43. Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7.
  44. Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1
  45. και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή.
  46. Που βγάζει νόημα.
  47. Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας...
  48. και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας...
  49. Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας.
  50. Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα...
  51. τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή...
  52. Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα.
  53. Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός.
  54. Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές;
  55. Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο.
  56. Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2.
  57. Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα.
  58. Ας σχεδιάσω την πίτα.
  59. Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω...
  60. αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
  61. Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας.
  62. Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας.
  63. Αυτό εδώ το μισό.
  64. Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας.
  65. Με τι λοιπόν ισούται αυτό;
  66. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό.
  67. Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2.
  68. Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά;
  69. Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ.
  70. Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4,
  71. και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
  72. Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2...
  73. είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά;
  74. Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4...
  75. πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2.
  76. Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα.
  77. Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό...
  78. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε.
  79. Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2.
  80. Το ξέρετε αυτό.
  81. Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2...
  82. 2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4.
  83. Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ.
  84. Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως.
  85. Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα.
  86. Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4...
  87. ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3...
  88. και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4.
  89. Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως
  90. έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας.
  91. Ας κάνουμε ακόμα ένα.
  92. Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3.
  93. Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι...
  94. αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς...
  95. δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2...
  96. δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2.
  97. Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3.
  98. Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν.
  99. Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε...
  100. Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή",
  101. αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3.
  102. Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3;
  103. Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3.
  104. Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6.
  105. Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6.
  106. Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2;
  107. Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
  108. Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά;
  109. Βγάζει νόημα.
  110. Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6.
  111. Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια...
  112. είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6.
  113. Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6.
  114. Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό!
  115. Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.
  116. Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας...
  117. αν αυτό σας βοηθά.
  118. Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο.
  119. Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5...
  120. και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές.
  121. 3/6 + 2/6 = 5/6
  122. Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα.
  123. 1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6...
  124. Κι αυτό ισούται με 1/6.
  125. Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά.
  126. Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση...
  127. ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας...
  128. γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα.
  129. Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά.
  130. Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;;
  131. Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα.
  132. Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα.
  133. Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον...
  134. πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10;
  135. Σωστά.
  136. Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά;
  137. 10/10 ίσον 1.
  138. Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10.
  139. Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές...
  140. και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10.
  141. 1/10 - 1 = -9/10.
  142. Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη.
  143. Έχουμε χρόνο για άλλο ένα.
  144. Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4.
  145. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36.
  146. Άρα αυτό ισούται με 36.
  147. Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36;
  148. Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36.
  149. Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4.
  150. Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4.
  151. άρα έχουμε αυτό, μείον...
  152. για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9...
  153. θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9...
  154. άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9.
  155. 1 x 9 = 9.
  156. Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36...
  157. που ισούται με -13/36.
  158. Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας.
  159. Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα.
  160. Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
  161. Καλή διασκέδαση.