Return to Video

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

  • 0:02 - 0:05
    Καλώς ήρθατε στην παρουσίαση για την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων.
  • 0:05 - 0:08
    Ας ξεκινήσουμε!
  • 0:08 - 0:12
    Ας ξεκινήσουμε με κάτι που ελπίζω να μη σας μπερδέψει πολύ.
  • 0:12 - 0:15
    Αυτή πρέπει λογικά να είναι μια σχετικά εύκολη ερώτηση.
  • 0:15 - 0:24
    Ας πούμε ότι σας ρωτώ πόσο κάνει 1/4 + 1/4.
  • 0:24 - 0:25
    Για να δούμε τι σημαίνει αυτό.
  • 0:25 - 0:32
    Ας πούμε ότι είχα μια πίτα και αυτή διαιρούταν σε τέσσερα κομμάτια.
  • 0:32 - 0:35
    Είναι λοιπόν σαν να λέμε ότι αυτό εδώ είναι το πρώτο ένα τέταρτο...
  • 0:35 - 0:38
    ας το κάνω με διαφορετικό χρώμα...
  • 0:38 - 0:39
    Αυτό εδώ ένα τέταρτο...
  • 0:39 - 0:43
    ας πούμε ότι είναι το 1/4 της πίτας, σωστά;
  • 0:43 - 0:46
    Και θέλουμε να το προσθέσουμε σε άλλο ένα τέταρτο της πίτας.
  • 0:46 - 0:52
    Ας το κάνουμε αυτό -- ας αλλάξω χρώμα--ροζ.
  • 0:52 - 0:57
    Αυτό το ένα τέταρτο, αυτό το ροζ ένα τέταρτο, είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
  • 0:57 - 1:00
    Αν λοιπόν έτρωγα και τα δύο αυτά τα ένα-τέταρτα...
  • 1:00 - 1:03
    ή αν έτρωγα ένα τέταρτο και μετά έτρωγα κι άλλο ένα τέταρτο...
  • 1:03 - 1:05
    πόσο θα είχα φάει;
  • 1:05 - 1:07
    Θα μπορούσατε απλώς να κοιτάξετε την εικόνα...
  • 1:07 - 1:10
    έχω φάει δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας.
  • 1:10 - 1:15
    Έτσι, αν φάω ένα τέταρτο μιας πίτας...
  • 1:15 - 1:17
    και στη συνέχεια φάω άλλο ένα τέταρτο της πίτας,
  • 1:17 - 1:22
    θα έχω φάει δύο τέταρτα της πίτας.
  • 1:22 - 1:24
    Και ξέρουμε από το μάθημα για τα ισοδύναμα κλάσματα...
  • 1:24 - 1:27
    ότι αυτό είναι το ίδιο με το να είχα φάει τη μισή πίτα...
  • 1:27 - 1:28
    κι αυτό βγάζει νόημα.
  • 1:28 - 1:32
    Εάν φάω δύο από τα τέσσερα κομμάτια μιας πίτας, τότε θα έχω φάει τη μισή πίτα.
  • 1:32 - 1:35
    Και αν το δούμε μαθηματικά, τι συνέβη εδώ;
  • 1:35 - 1:38
    Οι παρονομαστές ή οι κάτω αριθμοί...
  • 1:38 - 1:41
    οι κάτω αριθμοί στο κλάσμα έμειναν οι ίδιοι.
  • 1:41 - 1:44
    Κι αυτό γιατί μας λένε το συνολικό αριθμό των κομματιών που έχω σε αυτό το παράδειγμα.
  • 1:44 - 1:47
    Προσέθεσα τους αριθμητές, κι αυτό βγάζει νόημα.
  • 1:47 - 1:53
    Έφαγα ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας και μετά έφαγα κι άλλο ένα από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας...
  • 1:53 - 1:56
    άρα έφαγα δύο από τα τέσσερα κομμάτια της πίτας, δηλαδή τη μισή πίτα.
  • 1:56 - 2:02
    Ας κάνουμε ένα-δυο ακόμα παραδείγματα.
  • 2:02 - 2:09
    Πόσο μας κάνει 2/5 + 1/5;
  • 2:09 - 2:12
    Θα κάνουμε κι εδώ το ίδιο πράγμα.
  • 2:12 - 2:14
    Θα ελέγξουμε πρώτα για να βεβαιωθείτε ότι το παρονομαστές είναι οι ίδιοι.
  • 2:14 - 2:17
    Θα μάθουμε σε λίγο τι να κάνουμε αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί.
  • 2:17 - 2:21
    Αν οι παρονομαστές είναι οι ίδιοι, ο παρονομαστής στην απάντηση θα είναι ο ίδιος μ' αυτούς.
  • 2:21 - 2:22
    Και εμείς απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές.
  • 2:22 - 2:31
    2/5 + 1/5 ισούται με 2 + 5 και όλο αυτό προς 5, δηλαδή 3/5.
  • 2:31 - 2:33
    Και αυτό ισχύει με τον ίδιο τρόπο στην αφαίρεση.
  • 2:33 - 2:42
    Αν είχα να βρω πόσο κάνει το 3/7 - 2/7, η απάντηση θα ήταν 1/7.
  • 2:42 - 2:46
    Απλώς αφαίρεσα 2 από το 3 και βρήκα το 1
  • 2:46 - 2:48
    και κράτησα τον ίδιο παρονομαστή.
  • 2:48 - 2:49
    Που βγάζει νόημα.
  • 2:49 - 2:52
    Εάν φάω τρία από τα επτά κομμάτια μιας πίτας...
  • 2:52 - 2:56
    και αν έδινα σε κάποιον 2 από τα 7 κομμάτια μιας πίτας...
  • 2:56 - 3:00
    Θα μου έμενε 1 από τα 7 κομμάτια της πίτας.
  • 3:00 - 3:03
    Πιστεύω όλα αυτά ήταν αρκετά ξεκάθαρα...
  • 3:03 - 3:05
    τι κάνουμε δηλαδή όταν θα έχουμε το ίδιο παρονομαστή...
  • 3:05 - 3:07
    Θυμηθείτε, ο παρονομαστής είναι απλώς ο κάτω αριθμός σε ένα κλάσμα.
  • 3:07 - 3:08
    Ο αριθμητής είναι ο πάνω αριθμός.
  • 3:08 - 3:11
    Τι συμβαίνει λοιπόν όταν έχουμε διαφορετικούς παρονομαστές;
  • 3:11 - 3:15
    Λοιπόν, ας ελπίσουμε ότι αυτό δεν θα είναι πολύ δύσκολο.
  • 3:15 - 3:24
    Ας υποθέσουμε ότι έχω 1/4 + 1/2.
  • 3:24 - 3:27
    Ας πάμε πίσω στο αρχικό παράδειγμα με την πίτα.
  • 3:27 - 3:34
    Ας σχεδιάσω την πίτα.
  • 3:34 - 3:37
    Έτσι αυτό το πρώτο ένα-τέταρτο εδώ δεξιά , ας το χρωματίσω...
  • 3:37 - 3:40
    αυτό είναι το ένα τέταρτο της πίτας.
  • 3:40 - 3:45
    Και τώρα θα φάω άλλο ένα 1/2 της πίτας.
  • 3:45 - 3:46
    Έτσι θα φάω ένα μισό της πίτας.
  • 3:46 - 3:49
    Αυτό εδώ το μισό.
  • 3:49 - 3:55
    Θα φάω όλο αυτό το μισό της πίτας.
  • 3:55 - 3:55
    Με τι λοιπόν ισούται αυτό;
  • 3:55 - 3:57
    Υπάρχουν διάφοροι τρόποι να το σκεφτούμε αυτό.
  • 3:57 - 3:59
    Ο πρώτος είναι απλώς να ξαναγράψουμε το 1/2.
  • 3:59 - 4:07
    Το 1/2 της πίτας στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/4, σωστά;
  • 4:07 - 4:12
    Υπάρχει 1/4 εδώ και στη συνέχεια άλλο 1/4 εδώ.
  • 4:12 - 4:15
    Έτσι, το μισό είναι το ίδιο πράγμα με το 2 προς 4,
  • 4:15 - 4:18
    και το γνωρίζουμε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
  • 4:18 - 4:20
    Έτσι γνωρίζουμε ότι 1/4 + 1/2...
  • 4:20 - 4:27
    είναι το ίδιο πράγμα με το να πούμε 1/4 + 2/4, σωστά;
  • 4:27 - 4:36
    Και το μόνο που έκανα εδώ, ήταν να αλλάξω το 1/2 σε 2/4...
  • 4:36 - 4:40
    πολλαπλασιάζοντας ουσιαστικά τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το 2.
  • 4:40 - 4:42
    Και μπορείτε να το κάνετε αυτό σε κάθε κλάσμα.
  • 4:42 - 4:46
    Εφόσον πολλαπλασιάζετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό...
  • 4:46 - 4:48
    Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε με οτιδήποτε.
  • 4:48 - 4:54
    Αυτό βγάζει νόημα, καθώς 1/2 x 1 ισούται με 1/2.
  • 4:54 - 4:55
    Το ξέρετε αυτό.
  • 4:55 - 5:00
    Ένας άλλος τρόπος λοιπόν να το γράψουμε είναι 1/2 x 2/2...
  • 5:00 - 5:04
    2/2 είναι το ίδιο με το 1... αυτό λοιπόν ισούται με 2/4.
  • 5:04 - 5:11
    Ο λόγος που διάλεξα το 2 είναι γιατί θέλω να έχω τον ίδιο παρονομαστή εδώ.
  • 5:11 - 5:13
    Ελπίζω να μην σας μπερδεύω τελείως.
  • 5:14 - 5:15
    Λοιπόν, ας τελειώσουμε με αυτό το πρόβλημα.
  • 5:15 - 5:18
    Έτσι, έχουμε 1/4 + 2/4...
  • 5:18 - 5:21
    ξέρουμε λοιπόν ότι απλά προσθέτουμε τους αριθμητές...βρίσκουμε 3...
  • 5:21 - 5:23
    και οι παρονομαστές μένουν οι ίδιοι... άρα έχουμε 3/4.
  • 5:23 - 5:25
    Και αν κοιτάξουμε την εικόνα, θα δούμε ότι όντως
  • 5:25 - 5:29
    έχουμε φάει τα 3/4 αυτής της πίτας.
  • 5:29 - 5:34
    Ας κάνουμε ακόμα ένα.
  • 5:34 - 5:45
    Ας κάνουμε το 1/2 + 1/3.
  • 5:45 - 5:48
    Κι εδώ λοιπόν θέλουμε να κάνουμε τους παρονομαστές να είναι οι ίδιοι...
  • 5:48 - 5:51
    αλλά δεν μπορούμε απλώς να πολλαπλασιάσουμε έναν από αυτούς...
  • 5:51 - 5:54
    δεν υπάρχει κάτι με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2...
  • 5:54 - 5:56
    δεν υπάρχει δηλαδή κάποιος αριθμός, που να είναι ακέραιος, με τον οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 3 για να πάρω 2.
  • 5:56 - 5:59
    Και δεν υπάρχει τίποτα με το οποίο μπορώ να πολλαπλασιάσω το 2 για να πάρω 3.
  • 5:59 - 6:02
    Άρα πρέπει να τα πολλαπλασιάσω και τα δύο για να εξισωθούν.
  • 6:02 - 6:05
    Αποδεικνύεται ότι αυτό που θέλουμε...
  • 6:05 - 6:07
    Αυτό που θα ονομάσουμε "κοινό παρονομαστή",
  • 6:07 - 6:11
    αποδεικνύεται ότι είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3.
  • 6:11 - 6:13
    Ποιο είναι λοιπόν το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 2 και του 3;
  • 6:13 - 6:18
    Είναι ο μικρότερος αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3.
  • 6:18 - 6:23
    Ο μικρότερος λοιπόν αριθμός που είναι πολλαπλάσιο τόσο του 2, όσο και του 3, είναι το 6.
  • 6:23 - 6:28
    Ας μετατρέψουμε λοιπόν και τα δύο αυτά κλάσματα ώστε να έχουν παρονομαστή το 6.
  • 6:28 - 6:30
    Με "πόσα έκτα" ισούται λοιπόν το 1/2;
  • 6:30 - 6:33
    Πρέπει να το ξέρετε αυτό από το μάθημα των ισοδύναμων κλασμάτων.
  • 6:33 - 6:40
    Αν φάω το μισό μιας πίτσας με 6 κομμάτια, θα έχω φάει 3 κομμάτια, σωστά;
  • 6:40 - 6:41
    Βγάζει νόημα.
  • 6:41 - 6:44
    Το 1 είναι το μισό του 2... το 3 είναι το μισό του 6.
  • 6:44 - 6:48
    Ομοίως, αν φάω το 1/3 μιας πίτσας με 6 κομμάτια...
  • 6:48 - 6:51
    είναι το ίδιο πράγμα με τα 2/6.
  • 6:51 - 6:58
    Έτσι το 1/2 + 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 + 2/6.
  • 6:58 - 6:59
    Είδατε ότι δεν έκανα τίποτε τρελό!
  • 6:59 - 7:03
    Το μόνο που έκανα ήταν να ξαναγράψω και τα δύο αυτά κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές.
  • 7:03 - 7:06
    Ουσιαστικά άλλαξα τον αριθμό των κομματιών της πίτας...
  • 7:06 - 7:09
    αν αυτό σας βοηθά.
  • 7:09 - 7:11
    Τώρα λοιπόν που φτάσαμε σ' αυτό το σημείο, το πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολο.
  • 7:11 - 7:14
    Απλώς προσθέτουμε τους αριθμητές... 3 + 2 = 5...
  • 7:14 - 7:17
    και κρατάμε τους ίδιους παρονομαστές.
  • 7:17 - 7:23
    3/6 + 2/6 = 5/6
  • 7:23 - 7:25
    Και η αφαίρεση είναι το ίδιο πράγμα.
  • 7:25 - 7:35
    1/2 - 1/3 είναι το ίδιο με το 3/6 - 2/6...
  • 7:35 - 7:40
    Κι αυτό ισούται με 1/6.
  • 7:40 - 7:44
    Ας κάνουμε κι άλλα προβλήματα και ελπίζω ότι θα αρχίσετε να το μαθαίνετε καλά.
  • 7:44 - 7:47
    Και να θυμάστε πάντα ότι μπορείτε να ξαναδείτε την παρουσίαση...
  • 7:47 - 7:49
    ή μπορείτε να τη διακόψετε, να πατήσετε την παύση, και να προσπαθήσετε να κάνετε τα προβλήματα από μόνοι σας...
  • 7:49 - 7:52
    γιατί νομίζω ότι ορισμένες φορές μιλάω γρήγορα.
  • 7:52 - 7:55
    Ας σας ρίξω μια δύσκολη μπαλιά.
  • 7:55 - 7:59
    Πόσο μας κάνει 1/10 - 1;;
  • 7:59 - 8:02
    Αυτό λοιπόν δεν μοιάζει καν με κλάσμα.
  • 8:02 - 8:04
    Αλλά μπορείτε να το γράψετε ως κλάσμα.
  • 8:04 - 8:08
    Είναι λοιπόν το ίδιο με το 1/10 μείον...
  • 8:08 - 8:11
    πώς θα μπορούσαμε να γράψουμε το 1 ώστε να έχει παρονομαστή το 10;
  • 8:11 - 8:12
    Σωστά.
  • 8:12 - 8:15
    Είναι το ίδιο πράγμα με το 10/10, σωστά;
  • 8:15 - 8:16
    10/10 ίσον 1.
  • 8:16 - 8:21
    Άρα το 1/10 - 1 είναι το ίδιο με το (1-10) / 10.
  • 8:21 - 8:24
    Θυμηθείτε, αφαιρούμε μόνο τους αριθμητές...
  • 8:24 - 8:31
    και κρατάμε τον παρονομαστή 10... άρα αυτό ισούται με -9/10.
  • 8:31 - 8:34
    1/10 - 1 = -9/10.
  • 8:34 - 8:37
    Ας κάνουμε ακόμα άλλο. Ας κάνουμε ένα ακόμη.
  • 8:37 - 8:39
    Έχουμε χρόνο για άλλο ένα.
  • 8:39 - 8:47
    Ας κάνουμε το -1/9 - 1/4.
  • 8:47 - 8:54
    Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο λοιπόν του 9 και του 4 είναι το 36.
  • 8:54 - 8:56
    Άρα αυτό ισούται με 36.
  • 8:56 - 9:02
    Πώς θα γράψουμε λοιπόν το -1/9 για να αλλάξουμε τον παρονομαστή από 9 σε 36;
  • 9:02 - 9:05
    Θα πολλαπλασιάσουμε το 9 με το 4 για να πάρουμε το 36.
  • 9:05 - 9:07
    Άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 4.
  • 9:07 - 9:12
    Έχουμε λοιπόν -1, άρα αυτό θα γίνει -4.
  • 9:12 - 9:17
    άρα έχουμε αυτό, μείον...
  • 9:17 - 9:20
    για να πάμε λοιπόν από το 4 στο 36, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε αυτό το κλάσμα με το 9...
  • 9:20 - 9:23
    θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 9...
  • 9:23 - 9:25
    άρα θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και τον αριθμητή με το 9.
  • 9:25 - 9:28
    1 x 9 = 9.
  • 9:28 - 9:35
    Άρα αυτό ισούται με (-4 - 9) / 36...
  • 9:35 - 9:40
    που ισούται με -13/36.
  • 9:40 - 9:42
    Νομίζω ότι εξαντλήσαμε το χρόνο μας.
  • 9:42 - 9:44
    Και μάλλον θα φτιάξω κι άλλα τέτοια μαθήματα.
  • 9:44 - 9:47
    Αλλά νομίζω ότι τώρα πια μπορείτε να κάνετε τις ασκήσεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης.
  • 9:47 - 9:48
    Καλή διασκέδαση.
Title:
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
Description:

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

more » « less
Video Language:
English
Duration:
09:48
gorgonos edited гръцки език subtitles for Adding and subtracting fractions
garchontas added a translation

Greek subtitles

Revisions Compare revisions