Διαίρεση 1

Εισαγωγή στη διαίρεση

Νομίζω ότι έχετε ξανακούσει τη λέξη 'διαιρώ',

όταν κάποιος σας λέει να μοιράσετε κάτι.

'Διαίρεσε τα λεφτά μετάξυ του αδελφού σου και εσένα'

ή 'μεταξύ εσένα και του φίλου σου'.

Και στην ουσία σημαίνει να κόψετε κάτι σε κομμάτια.

Οπότε ας γράψω την λέξη διαιρώ.

Ας πούμε πως έχω τέσσερα ίδια κέρματα.

Θα προσπαθήσω να τα ζωγραφίσω.

Αν έχω τέσσερα κέρματα σαν και αυτά.

Αυτή είναι η εκδοχή μου για τα κέρματα.

Και ας υποθέσουμε ότι είμαστε δύο

και ότι θα μοιράσουμε (διαιρέσουμε) τα κέρματα σε μας τους δύο.

Οπότε αυτός εκεί είμαι εγώ.

Θα δοκιμάσω να με σχεδιάσω.

Αυτός είμαι εγώ.

Για να δούμε, έχω πολλά μαλλιά.

Και αυτός είσαι εσύ.

Θα προσπαθήσω για το καλύτερο.

Ας πούμε ότι είσαι φαλακρός.

Αλλά έχεις φαβορίτες.

Ίσως και λίγο μουσάκι.

Εντάξει, αυτός είσαι εσύ και αυτός είμαι εγώ,

και θα διαιρέσουμε τα τέσσερα κέρματα μεταξύ μας.

Παρατήρησε, έχουμε 4 κέρματα

και θα τα μοιράσουμε μεταξύ μας.

Και είμαστε δύο.

Και θέλω να τονίσω τον αριθμό 2.

Οπότε θα διαιρέσουμε 4 κέρματα με το 2.

Θα τα μοιράσουμε μεταξύ μας.

Και πιθανώς να έχετε κάνει κάτι σαν και αυτό.

Τι συμβαίνει;

Λοιπόν, ο κάθε ένας από εμάς θα πάρει δύο κέρματα.

Οπότε ας το διαιρέσουμε.

Θα το διαιρέσουμε με το 2.

Στην ουσία, αυτό που κάνω είναι να πάρω τα 4 κέρματα

και να τα μοιράσω σε 2 ίσες ομάδες.

Δύο ίσες ομάδες.

Και αυτό είναι η διαίρεση.

Χωρίζουμε την ομάδα των κερμάτων σε δύο ίσες ομάδες.

Οπότε όταν διαιρείς 4 κέρματα σε 2 ομάδες...

αυτό ήταν 4 κέρματα εκεί.

Και θα το χωρίσετε σε δύο ομάδες.

Αυτή είναι η πρώτη ομάδα.

Η ομάδα ένα εδώ.

Και αυτή είναι η ομάδα δύο.

Πόσοι αριθμοί πάνε σε κάθε ομάδα;

Ή πόσα κέρματα έχουμε σε κάθε ομάδα;

Λοιπόν, σε κάθε ομάδα έχουμε ένα, δύο κέρματα.

Θα χρησιμοποιήσω ένα πιο φωτεινό χρώμα.

Έχω ένα, δύο κέρματα σε κάθε ομάδα.

Ένα κέρμα και δύο κέρματα σε κάθε ομάδα.

Οπότε να το γράψουμε μαθηματικά,.

νομίζω ότι αυτό είναι κάτι που έχετε κάνει,

πιθανώς για όσο καιρό χωρίζετε χρήματα

μετάξυ εσάς και των φίλων σας.

Για να μετακινήσω λίγο την οθόνη,

για να βλέπετε όλη την εικόνα.

Πώς το γράφουμε αυτό με μαθηματικό τρόπο;

Μπορούμε να το γράψουμε 4 διά -- οπότε αυτό είναι 4.

Ας χρησιμοποιήσω τα σωστά χρώματα.

Οπότε αυτό είναι 4, το οποίο είναι αυτό το 4, διαιρεμένο σε δύο ομάδες,

αυτές είναι οι δύο ομάδες: η ομάδα ένα είναι αυτή και η ομάδα δύο είναι αυτή.

Οπότε διαιρούμε σε δύο ομάδες ή δύο συλλογές.

4 διά 2 κάνει --

όταν διαιρείτε το 4 σε δύο ομάδες,

κάθε ομάδα θα έχει 2 κέρματα.

Θα κάνει 2.

Και ήθελα να χρησιμοποιήσω αυτό το παράδειγμα

γιατί ήθελα να σας δείξω

ότι η διαίρεση είναι κάτι που χρησιμοποιούσατε εδώ και καιρό.

Και κάτι ακόμα, που είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσετε,

είναι ότι, κατά μία έννοια, είναι το αντίθετο του πολλαπλασιασμού.

Εάν έλεγα ότι είχα δύο ομάδες με δύο κέρματα,

θα πολλαπλασίαζα τις δύο ομάδες επί δύο κέρματα η καθεμία

και θα έλεγα ότι έχω 4 κέρματα.

Κατά μία έννοια, αυτά λένε το ίδιο πράγμα.

Αλλά για να το κάνω πιο σαφές στο μυαλό μας

θα κάνουμε μερικά ακόμα παραδείγματα.

Θα κάνουμε αρκέτα παραδείγματα.

Για να γράψουμε, πόσο κάνει 6 διά --

θα προσπαθήσω να το κρατήσω όμορφο και χρωματιστό.

6 διά 3, πόσο μας κάνει αυτό;

Θα σχεδιάσουμε έξι αντικείμενα.

Μπορούν να είναι ο,τιδήποτε.

Ας πούμε 6 πιπεριές.

Δεν θα είναι πολύ δύσκολο να τις σχεδιάσουμε.

Λοιπόν, αυτό δεν μοιάζει με πιπεριά,

αλλά παίρνετε μια ιδέα.

Οπότε μία, δύο, τρεις, τέσσερεις, πέντε, έξι.

Και θα το διαιρέσω με το 3.

Ένας τρόπος για να το σκεφτούμε αυτό

είναι ότι σήμαινει ότι θέλω να διαιρέσω τις 6 πιπεριές

σε 3 ίσες ομάδες πιπεριών.

Μπορείτε να σκεφτείτε: αν 3 άνθρωποι μοιραστούν αυτές τις πιπεριές,

πόσες θα πάρει ο καθένας;

Ας τις μοιράσουμε σε 3 ομάδες.

Αυτές είναι οι 6 πιπεριές μας.

Θα τις μοιράσω σε 3 ομάδες.

Ο καλύτερος τρόπος για να τις μοιράσω σε 3 ομάδες είναι

να έχω μία ομάδα εδώ, τη δεύτερη ομάδα εδώ,

και εδώ την τρίτη.

Πόσες πιπεριές θα έχει κάθε ομάδα;

Θα έχει μία, δύο.

1, 2.

1, 2 πιπεριές.

Οπότε 6 διά 3 κάνει 2.

Οπότε ο καλύτερος τρόπος, ή ένας τρόπος για να το σκεφτείτε

είναι ότι διαιρέσατε το 6 σε 3 ομάδες.

Μπορείτε τώρα να το δείτε λίγακι διαφορετικά,

αν και όχι εντελώς διαφορετικά,

αλλά είναι ένας καλός τρόπος να το σκεφτείτε.

Μπορείτε επίσης να το σκεφτείτε σαν 6 διά 3.

Και ξανά, ας πούμε ότι έχουμε βατόμουρα, πιο εύκολα να τα σχεδιάσουμε.

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.

Και εδώ, αντί να τα χωρίζουμε σε 3 ομάδες όπως κάναμε εδώ.

Αυτό ήταν μία ομάδα, δύο ομάδες, τρεις ομάδες.

Αντί να τα διαιρούμε σε 3 ομάδες,

αυτό που θέλω να κάνω είναι,

αν διαιρώ το 6 με το 3, θέλω να το μοιράσω σε ομάδες των τριών.

Και όχι σε τρεις ομάδες.

Θέλω να το μοιράσω σε ομάδες με τρία βατόμουρα.

Πόσες ομάδες των τριών βατομούρων θα φτιάξω;

Για να ζωγραφίσω μερικές ομάδες των τριών.

Ώστε να είναι μία ομάδα των τριών.

Έχουμε 2 ομάδες των τριών.

Οπότε αν πάρω 6 πράγματα και τα χωρίσω σε ομάδες των τριών,

θα καταλήξω με ένα, δύο ομάδες.

Αυτός είναι ένας άλλος τρόπος για να σκεφτείτε την διαίρεση.

Και αυτό είναι ενδιαφέρον.

Όταν σκέφτεστε αυτές τις σχέσεις,

θα δείτε μια σχέση μεταξύ 6 διά 3 και 6 διά 2.

Για να το ξανακάνω.

Πόσο κάνει 6 διά 2,

όταν το σκεφτόμαστε με αυτόν εδώ τον τρόπο;

6 διά 2, όταν το κάνουμε έτσι--

ας σχεδιάσω ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.

Όταν σκέφτομαστε 6 διά 2 με την έννοια ότι τα χωρίζουμε σε δύο ομάδες,

θα καταλήξουμε ότι μπορούμε να έχουμε μία ομάδα τέτοια

και μία τέτοια,

και ότι κάθε ομάδα θα έχει 3 στοιχεία.

Θα έχει τρία πράγματα μέσα.

Οπότε 6 διά 2 κάνει 3.

Ή μπορείτε να το σκεφτείτε με τον άλλο τρόπο.

Μπορείτε να πείτε 6 διά 2 κάνει --

παίρνετε 6 αντικέιμενα: ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι.

Και τα μοιράζετε σε ομάδες των δύο

όπου δηλαδή κάθε ομάδα έχει δύο αντικείμενα.

Και αυτό είναι κάπως ευκολότερο να το κάνετε.

Κάθε ομάδα έχει δύο στοιχεία, λοιπόν, αυτό είναι το ένα εκεί.

Δεν χρείαζεται να είναι τοποθετημένα με ωραίο τρόπο.

Αυτό θα μπορούσε να είναι μια άλλη ομαδα

και αυτό μια άλλη ομάδα.

Δεν χρειάζεται καν να τα ζωγραφίσουμε σε σείρα.

Είναι απλά ομάδες των δύο.

Πόσες ομάδες έχουμε;

Έχουμε μία, δύο, τρεις.

Τρεις ομάδες.

Αλλά παρατηρείστε κάτι. Δεν είναι σύμπτωση ότι 6 διά 3 κάνει 2,

και ότι 6 διά 2 κάνει 3.

Ας το γράψω.

Λοιπόν, 6 διά 3 κάνει 2,

και 6 διά 2 κάνει 3.

Και ο λόγος που βλέπετε αυτή την σχέση όπου μπορείτε να ανταλλάξετε το 2 με το 3

είναι επειδή 2 φορές το 3 κάνει 6.

Ας πούμε ότι έχω δύο ομάδες των τριών.

Θα σχεδιάσω δύο ομάδες των τριών.

Να η μία ομάδα και να μία ακόμα ομάδα των τριών.

Οπότε δύο ομάδες των τρίων ισούνται με 6.

2 φορές το 3 κάνει 6.

Ή μπορείτε να το σκεφτείτε και ως εξής:

εάν έχω 3 ομάδες των δύο.

Οπότε αυτή είναι μία ομάδα των 2 εδώ πέρα.

Και έχω και μια ακόμη ομάδα των δύο εδώ πέρα.

Και τότε έχω και μια τρίτη ομάδα των δύο εδώ πέρα.

Πόσο μας κάνει αυτό;

3 ομάδες των δύο -- 3 φορές το 2.

Που κάνει 6.

Οπότε 2 φορές το 3 κάνει 6.

3 φορές το 2 κάνει 6.

Το είδαμε στο βίντεο του πολλαπλασιασμού

ότι η σειρά δεν παίζει ρόλο.

Αλλά αυτός είναι και ο λόγος που αν θέλετε να το διαιρέσετε,

αν θέλετε να το πάτε με τον άλλο τρόπο---

αν έχετε 6 πράγματα και θέλετε να τα μοιράσετε σε ομάδες των δύο, θα πάρετε 3.

Αν έχετε 6 και θέλετε να τα μοιράσετε σε ομάδες των τριών, θα πάρετε 2.

Για να κάνουμε μερικά ακόμα προβλήματα.

Νομίζω θα βγάλει νόημα το τι είναι πραγματικά η διαίρεση.

Ας κάνουμε ένα ενδιαφέρον.

Ας κάνουμε 9 διά 4.

Οπότε αν σκεφτούμε 9 διά 4, ας σχεδιάσω εννιά αντικείμενα.

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα.

Τώρα όταν διαιρείτε με το 4, για αυτό το πρόβλημα,

σκέφτομαι να το διαιρέσω σε μία ομάδα των τεσσάρων

Οπότε αν θέλω να το διαιρέσω σε ομάδες των τεσσάρων--

Για να δοκιμάσω να το κάνω αυτό.

Οπότε εδώ είναι μια ομάδα των τεσσάρων.

Απλά διάλεξα τυχαία μια ομάδα.

Αυτό είναι μια ομάδα των τεσσάρων.

Εδώ είναι μια ακόμη ομάδα των τεσσάρων,

Και μετά έχω και αυτό το υπόλοιπο που περίσσεψε.

Θα το ονομάσουμε υπόλοιπο,

όταν δεν μπορώ να το βάλω σε κάποια ομάδα των τεσσάρων.

Όταν διαιρώ με το 4,

μπορώ μόνο να χωρίσω το 9 σε ομάδες των τεσσάρων.

Οπότε η απάντηση είναι και αυτό είναι μια καινούργια έννοια,

9 διά 4 θα είναι 2 ομάδες.

Μία ομάδα εδώ, μια εκεί

και υπόλοιπο 1.

Έχω ένα να περισσεύει που δε μπόρεσα να το κάνω κάτι.

Υπόλοιπο -- αυτό το λέμε υπόλοιπο 1.

9 διά 4 κάνει 2 και υπόλοιπο 1.

Και αν ρωτούσα πόσο είναι 12 διά 4 --ας γράψω δώδεκα.

Ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα.

Ας το γράψω.

12 διά 4.

Οπότε θέλω να διαιρέσω αυτά τα 12 αντικείμενα--

ίσως είναι μήλα ή δαμάσκηνα.

Θα τα μοιράσω σε ομάδες των τεσσάρων.

Για να δω αν μπορώ να τα καταφέρω.

Οπότε αυτό είναι μία ομάδα των τεσσάρων.

Αυτή άλλη μία.

Και αυτή είναι εύκολη.

Και τώρα έχω και μία τρίτη ομάδα.

Έτσι απλά.

Και δεν περισσεύει τίποτα.

Μπορώ να διαιρέσω ακριβώς το 12 σε 3 ομάδες των τεσσάρων.

Μία, δύο, τρεις ομάδες των τεσσάρων.

Οπότε 12 διά 4 κάνει 3.

Και μπορούμε να κάνουμε την άσκηση που είδαμε στο προηγούμενο βίντεο.

Πόσο κάνει 12 διά 3?

Για να βάλω ένα νέο χρώμα.

12 διά 3.

Τώρα βάσει όσων μάθαμε ήδη,

λέμε ότι αυτό θα πρέπει να κάνει 4, διότι 3 επί 4 κάνει 12.

Αλλά ας το αποδείξουμε μόνοι μας.

Οπότε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, επτά, οκτώ, εννέα, δέκα, έντεκα, δώδεκα.

Ας το διαιρέσουμε σε ομάδες των τριών.

Και θα τα κάνω λίγο περίεργα

ώστε να μη μπορείτε να τα βάζετε πάντα σε ωραίες καθαρές στήλες.

Οπότε εδώ είναι μία ομάδα, εδώ.

12 διά 3.

Για να δούμε, να μία ακόμα ομάδα των τριών.

Και μετά, ίσως κάνω μία ομάδα τριών έτσι.

Και αυτή η ομάδα τριών.

Υπήρχε προφανώς και κάποιος πολύ πιο εύκολος τρόπος να τα χωρίσουμε

από αυτά τα περίεργα σχήματα,

αλλά ήθελα να σας δείξω ότι δεν έχει σημασία.

Απλά τα διαιρείτε σε ομάδες των τριών.

Πόσες ομάδες έχουμε.

Έχουμε μία ομάδα.

Και εδώ η δεύτερη ομάδα.

Και έχουμε και μία τρίτη ομάδα εδώ.

Και τότε έχουμε-- θα βάλω νέο χρώμα.

Και μετά έχουμε την τέταρτη ομάδα εδώ.

Οπότε έχουμε ακριβώς 4 ομάδες.

Και όταν λέω ότι υπήρχε και ένας ευκολότερος τρόπος να το διαιρέσουμε,

ο ευκολότερος τρόπος προφανώς --μάλλον όχι προφανώς--

αν θέλω να μοιράσω αυτές τις ομάδες των τριών,

θα μπορούσα να είχα κάνει μία, δύο, τρεις, τέσσερεις ομάδες των τριών.

Για κάθε ένα, χωρίζω τα 12 αντικείμενα σε ομάδες των τριών.

Μπορείτε να τα φαντάζεστε με αυτό τον τρόπο.

Για να κάνουμε άλλο ένα που να έχει υπόλοιπο.

Για να δούμε.

Πόσο κάνει 14 διά 5;

Ας σχεδιάσουμε, λοιπόν, 14 αντικείμενα.

Ένα, δύο, τρία.... ....δώδεκα, δεκατρία, δεκατέσσερα.

14 αντικείμενα.

Και θα τα διαιρέσω σε ομάδες των πέντε.

Λοιπόν, ο ευκολότερος τρόπος είναι μία ομάδα εδώ πέρα,

δύο ομάδες εδώ πέρα.

Και μετά αυτή η τελευταία, έχω μόνο τέσσερα,

οπότε δεν μπορώ να κάνω ομάδα των πέντε.

Οπότε η απάντηση είναι μπορώ να κάνω 2 ομάδες των πέντε,

και θα έχω υπόλοιπο 4.

2 και υπόλοιπο 4.

Τώρα μόλις εξασκηθείτε αρκετά,

δε θα θέλετε πάντα να σχεδιάζετε αυτούς τους κύκλους

και να τους διαιρείτε έτσι.

Αν και αυτό δεν θα ήταν λάθος.

Οπότε ένας ακόμα τρόπος για να σκεφτείτε αυτού του είδους προβλήματα

είναι να πείτε, λοιπόν 14 διά 5, πώς το βρίσκω αυτό;

Βασικά, ένας ακόμα τρόπος για να το γράψετε,

και δεν θα πειράξει να σας δείξω:

Μπορώ να πω 14 διά 5 είναι το ίδιο με 14 διά --

με αυτό το σύμβολο-- διά 5.

Και αυτό που θα κάνετε είναι, για να δούμε.

Πόσες φορές χωράει το 5 στο 14;

Για να δούμε.

Πέντε φορές --και φέρτε τους πίνακες του πολλαπλασιασμού στο μυαλό σας--

5 φορές 1 κάνει 5.

Πέντε επί 2 κάνει 10.

Οπότε αυτό είναι ακόμα λιγότερο από 14, όποτε το 5 χωράει τουλάχιστον 2 φορές.

5 φορές το 3 κάνει 15.

Ε, αυτό είναι μεγαλύτερο από το 14, οπότε πρέπει να πάω πίσω.

Οπότε το 5 χωράει μόνο 2 φορές.

Άρα χωράει 2 φορές.

2 φορές το 5 κάνει 10.

Και μετά αφαιρείτε.

Λέτε, 14 μείον 10 κάνει 4.

Και αυτό είναι το υπόλοιπό σας.

Οπότε μπορέσαμε να χωρέσουμε το 5 στο 14 ακριβώς 2 φορές,

που θα μας έδινε δύο ομάδες των πέντε.

Που μας κάνει 10.

Και έχουμε άλλα 4 να περισσεύουν.

Για να κάνω μερικά ακόμα,

για να σιγουρεύτουμε ότι τα πιάνετε αυτά πολύ, πολύ, πολύ, πολύ καλά.

Για να γράψω τα σύμβολα.

Ας πούμε οκτώ διά δύο.

Θα μπορούσα επίσης να το γράψω 8--

οπότε θέλω να μάθω πόσο είναι αυτό.

Αυτό είναι ερωτηματικό.

Θα μπορούσα να το γράψω σαν 8 διά 2.

Και ο τρόπος που τα κάνω αυτά -- θα σχεδιάσω τους κύκλους σε λιγάκι --

χωρίς να σχεδιάζω κύκλους,

λέω, λοιπόν, 2 επί 1 κάνει 2.

Οπότε αυτό σίγουρα χωράει στο 8,

αλλά μάλλον μπορώ να σκεφτώ κάποιον μεγαλύτερο αριθμό που --

όταν το πολλαπλασιάζω με το 2 πάλι θα χωράει στο 8.

2 φορές το 2 κάνει 4.

Και αυτό είναι λιγότερο για το 8.

Οπότε 2 φορές το 3 κάνει 6.

Ακόμα είναι μικρότερο το 8.

2 φορές-- ωχ, κάτι περίεργο έγινε στην πένα μου.

2 επί 4 κάνει ακριβώς 8.

Οπότε το 2 χωράει στο 8 τέσσερεις φορές.

Οπότε, θα μπορούσαμe να πούμε ότι το 2 χωράει στο 8 τέσσερεις φορές.

Ή 8 διά 2 κάνει 4.

Μπορούμε και να σχεδιάσουμε τους κύκλους μας.

Ένας, δύο, τρεις, τέσσερες, πέντε, έξι, επτά, οκτώ.

Τα έκανα λίγο άτακτα επίτηδες!

Ας τα χωρίσουμε σε ομάδες των δύο.

Έχω μία ομάδα των δύο, δύο ομάδες,

τρεις ομάδες, τέσσερεις ομάδες των δύο.

Οπότε αν έχω 8 αντικέιμενα και τα διαιρέσω σε ομάδες των δύο,

έχουμε 4 ομάδες.

Οπότε το 8 διά 2 κάνει 4.

Ελπίζω να σας βοήθησα!