Решен пример: оценка на sin(0,4) с помощта на граница на грешката по Лагранж
-
0:00 - 0:02При апроксимация на функцията
sin(0,4) -
0:02 - 0:07с ред на Маклорен, коя
е най-ниската степен на полинома, -
0:07 - 0:11която гарантира грешка,
по-малка от 0,001? -
0:11 - 0:14Какво ни казват тук?
-
0:14 - 0:16Можем да вземем една функция
-
0:16 - 0:20и да я апроксимираме с
ред на Маклорен от n-та степен, -
0:20 - 0:22всъщност можем да разгледаме
по-общия случай -
0:22 - 0:23с ред на Тейлър, но нека
просто да кажем, че -
0:23 - 0:27това е ред на Маклорен
от n-та степен, -
0:27 - 0:29но това не е идеално приближение,
-
0:29 - 0:32тук ще има някаква грешка
или остатък. -
0:32 - 0:34Можем да наречем това
остатък -
0:34 - 0:37на този полином на Маклорен
от n-та степен, -
0:37 - 0:41който зависи от
стойността на всяко х. -
0:41 - 0:44Ако използваме конкретните
данни в тази задача, -
0:44 - 0:45можем да го перифразираме
по следния начин. -
0:45 - 0:50Казваме: ако вземем синус от 0,4
-
0:50 - 0:53това ще е равно на
ред на Маклорен -
0:53 - 0:58от n-та степен, изчислен
за 0,4 -
0:58 - 1:00плюс остатъка, който има
-
1:00 - 1:04за n-та степен полином на
Маклорен, изчислен за 0,4. -
1:04 - 1:07Тук всъщност искаме
да намерим за какво n, -
1:07 - 1:10коя е най-ниската степен
на полинома. -
1:10 - 1:15Ще използвам различен цвят.
-
1:15 - 1:20Искаме да намерим най-малката
стойност на n, -
1:20 - 1:25кое е най-малкото n,
-
1:26 - 1:31за което остатъкът на този
полином на Маклорен, -
1:32 - 1:37изчислен за 0,4
-
1:37 - 1:43е по-малък от тази стойност,
по-малък от 0,001? -
1:43 - 1:47Това е просто друг начин
да формулираме задачата. -
1:47 - 1:50Можем да решим това,
като използваме -
1:50 - 1:52т.нар. граница на грешка
по Лагранж, -
1:52 - 1:54което доказваме в други видеа,
-
1:54 - 1:58често се нарича и теорема
на Тейлър (за остатъка). -
1:58 - 2:01Първо ще го запиша и ще се опитам
да обясня в същото време, -
2:01 - 2:04но нещата ще станат много
по-конкретни с примера. -
2:04 - 2:07Теоремата на Тейлър за остатъка
ни казва, че... -
2:07 - 2:09или границата на грешката
по Лагранж означава, че -
2:09 - 2:18ако (n + 1)-вата производна
на нашата функция f, -
2:18 - 2:20ако абсолютната стойност
на това -
2:20 - 2:23е по-малко или равно
на някакво М -
2:23 - 2:33в един отворен интервал,
съдържащ стойността, -
2:33 - 2:37около която е развит
нашият полином, -
2:37 - 2:41в този случай това е 0,
затова използваме ред на Маклорен, -
2:41 - 2:45ако той съдържа нула и х,
-
2:45 - 2:50стойността на х, която ни
интересува за тази задача е 0,4 -
2:50 - 2:52но това се отнася за всяко х,
-
2:52 - 2:55ако това е вярно, ако
(n + 1)-вата производна -
2:55 - 2:57на функцията, ако абсолютната
ѝ стойност -
2:57 - 2:59е по-малко или равно на М
в един отворен интервал, -
2:59 - 3:01съдържащ стойността, около
която сме центрирани, -
3:01 - 3:05в общия случай това
ще бъде някакво с, и х, -
3:05 - 3:08значи това х ето тук, тогава...
-
3:08 - 3:11и сега следва полезната част,
Лагранж, -
3:11 - 3:13можем да твърдим, че
остатъкът има граница, -
3:13 - 3:15остатъкът за този полином
от n-та степен. -
3:15 - 3:17Това е (n + 1)-вата производна,
-
3:17 - 3:19това има граница, тогава
можем да кажем, че -
3:19 - 3:24за полинома от n-та степен,
с който апроксимираме функцията, -
3:24 - 3:28ще бъде по-малко или равно
на това М, -
3:28 - 3:34по х^(n + 1)
-
3:34 - 3:39върху (n +1)!
-
3:39 - 3:43Как можем да го приложим
за тази конкретна задача? -
3:43 - 3:46Да помислим за производната
на функцията синус, -
3:46 - 3:48знаем, че абсолютната
стойност на синус -
3:48 - 3:51е по-малко или равно на 1,
производната е косинус от х, -
3:51 - 3:54абсолютната стойност на това
ще има граница, -
3:54 - 3:56ще бъде по-малко
или равно на 1, -
3:56 - 3:59и независимо колко пъти
поред намираме производната -
3:59 - 4:01от синус х, абсолютната стойност
на тази производна -
4:01 - 4:04ще бъде по-малко
или равно на едно. -
4:04 - 4:09Можем да напишем принципно,
че за тази конкретна f(х) -
4:09 - 4:12за тази функция f(х) ето тук,
-
4:12 - 4:15можем да кажем, че
абсолютната стойност -
4:15 - 4:21на (n + 1)-вата производна,
изчислена за всяко х, -
4:21 - 4:25ще бъде по-малко или
равно на 1. -
4:25 - 4:28Ако в този случай
функцията е синус, -
4:28 - 4:30когато f е синус от х,
като това реално -
4:30 - 4:32е вярно за всеки интервал,
-
4:32 - 4:34не ни е нужен някакъв вид
-
4:34 - 4:36ограничен интервал,
за който това важи. -
4:36 - 4:41Знаем, че това е нашето М,
-
4:42 - 4:44този синус и производните му
имат граници, -
4:44 - 4:48и техните абсолютни стойности
имат граница 1. -
4:48 - 4:50И тук имаме нашето М
и можем да използваме -
4:50 - 4:53границата на грешката
по Лагранж, можем да кажем, че -
4:53 - 5:03остатъкът от нашата апроксимация
на Маклорен от n-та степен за 0,4, -
5:03 - 5:05нашето х в този конкретен
пример е 0,4, -
5:05 - 5:08не е нужно да намираме
за всяко х, -
5:08 - 5:11това ще бъде по-малко от
или равно на – -
5:11 - 5:14нашето М е 1, даже
няма да го пиша, -
5:14 - 5:22х е 0,4; 0,4 на степен (n + 1),
-
5:22 - 5:25върху (n + 1) факториел.
-
5:26 - 5:28И взимаме абсолютната
стойност на всичко това. -
5:28 - 5:30Това е границата на грешката
по Лагранж, като искаме да намерим, -
5:30 - 5:32ако успеем да намерим случай,
в който това -
5:32 - 5:36е по-малко от 0,001, тогава
това със сигурност -
5:36 - 5:40ще бъде по-малко от 0,001,
защото остатъкът -
5:40 - 5:42е по-малък от това, или
по-малко от или равно на това, -
5:42 - 5:44което е по-малко от това.
-
5:44 - 5:46Как ще намерим
-
5:46 - 5:49най-малкото n, за което
това е вярно? -
5:49 - 5:52Можем да заместим с някои
стойности на n и да го увеличаваме, -
5:52 - 5:55докато това стане
по-малко от това. -
5:55 - 6:00Да го направим, ще
направя една таблица. -
6:00 - 6:04Ще се постарая.
-
6:04 - 6:08Това ще бъде нашето n,
-
6:08 - 6:16после това ще бъде
0,4 на степен (n + 1), -
6:16 - 6:20върху (n + 1) факториел.
-
6:20 - 6:22Да заместим с n = 1.
-
6:23 - 6:29Това ще бъде 0,4
на втора степен върху 2! -
6:29 - 6:34това е 0,16 върху 2,
-
6:34 - 6:37което е равно на 0,08, което
-
6:37 - 6:40определено не е по-малко
от 0,001. -
6:40 - 6:43Да пробваме с n = 2,
-
6:43 - 6:45това става 0,4 на трета степен,
-
6:45 - 6:49върху 3!, което е равно на...
-
6:49 - 6:51колко е това, 0 цяло и ...
-
6:51 - 6:53Трябват ни три знака
след десетичната запетая, -
6:53 - 7:010,064 върху 6,
това е малко повече от 0,01, -
7:01 - 7:04значи n е доста голямо още.
-
7:04 - 7:06Да опитаме с 3,
това става 0,04 на степен -
7:06 - 7:123 плюс 1, което е четвърта степен,
-
7:12 - 7:18върху 4!, да видим,
това ще е равно на -
7:18 - 7:22това ще бъде, да видим,
ще имаме -
7:22 - 7:26четири знака след запетаята,
значи 0,0256 -
7:27 - 7:32върху 24, това е много близко,
-
7:32 - 7:38това е само малко над 0,001,
-
7:38 - 7:41така че и това
не ни върши работа. -
7:42 - 7:44Вече предполагам, че
n = 4 -
7:44 - 7:47ще свърши работа,
но трябва да го проверим. -
7:47 - 7:56Значи това ще бъде 0,04
на пета степен, върху 5! -
7:56 - 7:58На колко е равно това?
-
7:58 - 8:00Да видим, 4 на пета степен
е 1024, -
8:00 - 8:03имаме пет знака след
десетичната запетая, -
8:03 - 8:07деля го на 5!, което е 120.
-
8:07 - 8:10Това тук вече със сигурност
-
8:10 - 8:15е по-малко от 0,001,
-
8:15 - 8:19определено е по-малко
от една хилядна. -
8:19 - 8:22Видяхме, че n е равно на 4,
-
8:22 - 8:28значи остатъкът ни за
полином от четвърта степен, -
8:28 - 8:32полином от четвърта степен
на Маклорен, изчислен -
8:32 - 8:40за х = 0,4 със сигурност
е по-малко от 0,001. -
8:40 - 8:43Това е полиномът
от най-ниска степен, -
8:43 - 8:46който гарантира, че грешката
е по-малка от една хилядна.
- Title:
- Решен пример: оценка на sin(0,4) с помощта на граница на грешката по Лагранж
- Description:
-
Границата на грешката по Лагранж (наричана също теорема на Тейлър) може да ни помогне да определим степента на полинома на Тейлър / Маклорен, което да използваме за апроксимация на функцията за дадена граница на грешката. Виж как се прави при апроксимация на функцията синус.
Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/lagrange-error-bound-exponential-example?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign = APCalculusBC
Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/proof-bounding-the-error-or-remainder-of-a-taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC
Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.
Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnythingАбонирай се за канала на Кан Академия Математически анализ: https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy - Video Language:
- English
- Team:
- Khan Academy
- Duration:
- 08:47