Остатък при полином на Тейлър (част 1)

Колкото повече членове имаме в реда на Тейлор като приближение на дадена функция, толкова по-близо сме до функцията. Но колко близо? Нека да започнем да търсим граница за грешката на полиномното приближение на Тейлър. Създаден от Сал Кан.

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/proof-bounding-the-error-or-remainder-of-a-taylor-polynomial-approximation?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

Пропусна предишния урок? https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series/bc-taylor-series/v/fourth-degree-coefficient-for-taylor-polynomial?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=APCalculusBC

За Кан Академия: Кан Академия предлага практически упражнения, видеоуроци и лично учебно пространство, където учениците могат да учат със собствено темпо както в класната стая, така и извън нея. Покриваме математика, наука, програмиране, история, история на изкуството, икономика и други. Нашите математически мисии напътстват учениците още от детската градина чак до момента, в който им се налага да използват математически анализ. За да постигнем това, използваме модерни, адаптиращи се технологии, които намират силните и слабите страни на всеки ученик. Също така си партнираме с институции като НАСА, Музея за модерно изкуство, Калифорнийската академия на науките и Масачузетския технологичен институт, за да съумеем да предложим конкурентно специализирано съдържание.

Безплатно. За всекиго. Завинаги. #YouCanLearnAnything
#МожешДаНаучишВсичко

Абонирай се за канала Математически анализ 2 на Кан Академия:
https://www.youtube.com/channel/UC5A2DBjjUVNz8axD-90jdfQ?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
Каналът на Кан Академия на български език е:
https://www.youtube.com/user/KhanAcademyBulgarian

Нека е дадена функцията f(х).

Ще начертая графиката
на една произволна функция f(х).

Това е оста у, това е оста х.

Може би f(х) изглежда като
нещо такова.

Сега искам да намеря
приближение на f(х)

чрез полином на Тейлър
около х = а.

Това е оста х, това е оста у.

Търсим полином на Тейлър
около тази точка.

Вече сме виждали
как става това.

Полиномът на Тейлър
следва от идеята, че

за всички производни на полинома до
някаква степен включително,

тези производни на полинома,
изчислени за а

трябва да са равни на производните
на функцията, изчислени за а.

Полиномът, изчислен за а,

трябва също така да е равен
на функцията, изчислена за а.

Значи нашата апроксимация
с полином на Тейлър

ще изглежда ето така.

Ще го означа с р(х).

Понякога тук може да
видиш долен индекс N,

като N указва степента
на апроксимация,

а понякога може да е написано
ето така.

Понякога ще видиш N, а,

което показва, че това е N-та степен
апроксимация около а.

Всъщност ще го запиша така сега.

Може да го изпускам понякога, когато
преписваме отново и отново,

но това е полином от n-та
степен около а.

Ще изглежда ето така.

Това ще бъде f(а)

плюс f'(а)

по (х – а),

плюс f''(а)

по (х – а)^2 върху...

Тук можеш да напишеш или 2, или 2
факториел, стойностите им са равни.

Ще запиша 2!

Маже да запишеш делено на
1! ето тук, ако искаш.

После плюс и следва третата
производна на f(а)

по (х – а)^3,

предполагам, че виждаш
закономерността,

върху 3!

И така продължаваме,
ще стигнем до тази част тук,

до член от n-та степен,

който е n-та производна
на f,

изчислена за а, по (х – а)^n
върху n!

Този полином тук,

този полином от n-та
степен около а, f(a) или

р(а) е равен на f(а).

Можеш да направиш
проверка, защото всички тези

други членове съдържат
(х – а) в себе си.

Ако заместим с "а" в полинома,

всички тези членове
ще станат нули.

И тогава остава р(а) = f(а).

Ще го запиша.

р(а) е равно на f(а).

Ще изглежда нещо подобно.

Ще се приближава повече
до кривата, колкото повече

такива членове имаме.

Ще изглежда нещо подобно.

Старая се да покажа
колкото се може по-добре

как би могла да изглежда
такава крива.

Всичко това е преговор,
имам този полином,

с който апроксимирам
тази функция.

Колкото повече членове съдържа,
толкова по-висока е степента на полинома,

толкова по-добре се приближава
до тази крива,

в области, които са
по-отдалечени от а.

В това видео искам
да разсъждаваме за това,

ако можем да намерим
граница на степента на приближение

до тази функция, когато се
отдалечаваме от а.

Искам да намерим остатъчния член.

В някои учебници я наричат
функция за грешката.

Аз ще я наричам просто грешка.

Според различните означения
в различните учебници,

някои хора я наричат
остатъчен член,

и понякога записват остатъчния член като
R(х) с долен индекс N,a

остатък за полином от n-та степен около а.

Понякога се нарича функция на грешката
(у нас се нарича остатък и се бележи
R(х) с долен индекс n или о((х-а)^n)

Функция на грешката се избягва
като наименование,

защото напомня на очаквана
стойност при вероятностите.

Но може да го срещнеш понякога,
използва се Е за грешка (error).

E от грешка (error),
R от остатък (remainder).

И понякога има индекс,
ето така.

Сега ще дефинираме

този остатък като
разликата между

f(х) и нашата апроксимация
на f(х) за всяко х.

Това ще бъде равно...

ще използвам същите цветове,
това ще бъде f(х) – р(х).

Когато това е полином
от n-та степен около а.

Например, ако някой
те попита, или

ако искаш да го визуализираш:

Какво се има предвид,
когато се казва

грешка на полином
от n-та степен около а,

когато х е равно на b,

на какво е равно това или
как можем да го обясним.

Ако b е точно тук,

грешката за b ще бъде f(b)

минус полиномът за b.

Значи f(b), полиномът
ето тук,

значи е това разстояние
ето тук.

Ако измерим грешката в а,

тя трябва да е нула.

Понеже полиномът и
функцията съвпадат.

f(а) е равно на р(а),

така че грешката в а
е равна на нула.

Ще го запиша, защото
това е интересно свойство.

Това ще ни помогне да намерим
границата, така че ще го запиша.

Функцията на грешката в а.

В оставащата част от видеото
приеми, че пиша индекс.

Това е за полином
от n-та степен около а.

Няма да го пиша всеки път,

за да спестя малко време
и писане,

и да не си изморявам ръката.

Значи грешката в а е равна
на f(a) – р(а).

Пак напомням, няма
да пиша индекс N, индекс а.

Приеми, че това е полином
от n-та степен около а.

И че тези двете
са равни помежду си.

Така че това ще е равно на нула,
ще го видиш ето тук.

Разстоянието между двете
функции тук е нула.

Сега да видим нещо друго.

Да видим каква е
производната на

функцията на грешката,
изчислена за а.

Това е равно на производната
на нашата функция в а,

минус първата производна
на полинома в а.

Приемаме, че това е

степен, по-висока от първа,
знаем, че тези производни

са равни за а.

Можеш да опиташ да намериш
първата производна тук.

Ако намериш първата
производна на всичко това...

И точно затова са толкова полезни
полиномите на Тейлър,

защото до степента, включително
и за степента на полинома,

когато изчисляваш производните
на полинома за а,

те са равни на производните
на функцията за а.

И тогава апроксимацията
започва да е близка.

Но ако вземеш производната тук,

този член тук ще изчезне,
той ще бъде нула.

Ще го задраскам за момента.

Този член тук ще бъде
просто f'(а)

и после всички тези останали
членове ще останат

съдържат някакво
(х – а) в себе си.

И така, като го изчислиш за а,

всички членове с (х – а)
ще изчезнат,

защото ще съдържат
(а – а) в тях.

Този тук вече изчезна

и буквално ни остана

р' е равно на f'(а).

Вече сме виждали това.
Ще го напиша.

Защото знаем, че p'(а)
е равно на f'(а),

когато изчисляваме
функцията на грешката,

производната на функцията на
грешката за а,

това също ще бъде
равно на нула.

И това общо свойство тук

важи до n включително.

Ще го напиша.

Вече знаем, че p(а)
е равно на f(а).

Знаем, че р'(а) е равно на f'(а).

Това следва директно
от определението за ред на Тейлър.

И това ще е вярно за
всички членове

до n-тата производна
на нашия полином,

изчислена обаче за "а",
не за всяка стойност, а за "а",

това ще е равно на n-тата
производна на

нашата функция, изчислена за а.

Това ни казва, че ако
продължим да правим това,

с функцията на грешката
чак до n-тата производна

на функцията на грешката,
изчислена за а,

това ще бъде равно на,

това ще е n-тата
производна

на f, изчислена за а,
минус n-тата производна

на полинома, изчислена за а.

И ние вече казахме, че
тези ще бъдат равни

помежду си до n-тата
производна,

когато ги изчисляваме за а.

Значи всички тези ще са
равни на нула.

Това е интересно свойство,

което ще ни е полезно,
когато започнем

да търсим граница
на функцията на грешката.

И точно това искам
да видим

с това видео и вероятно
със следващото видео,

да опитаме да намерим
границата, така че да знаем

колко точно е
нашето приближение.

Особено колкото повече
се отдалечаваме от точката,

около която е нашето
приближение.

Сега да видим какво се случва,
когато намираме производна след това.

Да видим какво се случва, когато
намираме производната n + 1.

Къде да пиша?

Ето тук имам малко място.

Каква е (n + 1)-та производна
на функцията на грешката?

И не само когато я
изчислявам за а.

В общия случай
функцията на грешката е(х),

когато намираме (n + 1)-та
производна от нея?

Това ще бъде (n + 1)-та
производна на нашата функция,

минус (n + 1)-та
производна на нашата...

Тук не изчисляваме за а.

Ще запиша х.

Просто намираме (n + 1)-та
производна

от двете страни на това
равенство ето тук.

Това е просто (n + 1)-та
производна

на нашата функция минус
(n + 1)-та производна

на нашия полином
от n-та степен.

(n + 1)-та производна на
нашия полином от n-та степен.

Мога да запиша тук n,
мога да запиша тук а,

за да покажа, че е от n-та
степен около а.

Колко е (n + 1)-та
производна

на полином от n-та степен?

Ако искаш някаква подсказка,

намери втората производна
на у = х.

Това е полином от първа
степен, намери втората производна,

и ще получиш нула.

Намери трета производна на
у = х^2.

Първата производна е 2х,
втората производна е 2,

третата производна е нула.

По принцип, когато
намираме (n + 1)-та производна

на полином от n-та степен,

можеш да се убедиш в това,

можеш даже да го докажеш
в общия случай,

но това едва ли ще е
от голяма полза за теб,

тя винаги ще бъде нула.

Значи това тук, това е
(n + 1)-та производна

на полином от n-та степен.

То ще е равно на нула.

Ще го запиша ето тук.

(n + 1)-та производна
на функцията на грешката,

или нашата функция на
остатъка, може и така да се каже,

е равна на (n + 1)-та
производна на нашата функция.

Сега можем,

и вероятно ще продължим
в следващото видео,

можем ли да намерим
поне границата на това?

Можем ли да намерим границата
и ако можем да намерим границата,

ако можем да определим

горна граница на стойността...

Всъщност сега искаме

да намерим граница
на цялата стойност.

Търсим граница на
абсолютната стойност.

Ако можем да определим, че тя е
по-малка или равна на някаква стойност М,

ако успеем да намерим
граница,

може би с помощта на
малко математически анализ,

можем да интегрираме това,

а може и да се върнем
към оригиналната функция

и да намерим някак
границата.

Ако знаем някакъв вид
граница като тази тук.

Но ще го направим в
следващото видео.