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Area of Inscribed Equilateral Triangle (some basic trig used)

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    在这个视频中 我想使用上个视频中的结论
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    来做一些巧妙的事情
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    比如这是一个圆
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    并且我有一个内切的等边三角形在这个圆中
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    所以这个三角形的所有顶点
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    都在圆的周长上
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    我尽力尝试画一个等边三角形
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    我想这大概是我能画得最好的了
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    当我说等边的时候就表示所有的边都一样长
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    所以如果这条边长为A 那么另一条边长是A
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    剩下的一条边长也是A
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    我们假设这个的半径
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    这个圆的半径是2
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    我只是随意选择一个数字 来解决这个问题
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    假设这个圆的半径是2
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    从圆心到圆周上的任意一点
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    这个距离 就是半径 等于2
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    现在 我正要让你利用前几个视频中的一些结果
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    和一些基础的三角知识
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    如果"三角学"吓到你了
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    你只需要大概了解播放列表中前两三个
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    有关三角知识的视频就能能理解我正在做什么
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    我想做的事就是算出在圆内三角形外的
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    区域的面积
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    所以是计算出这小块区域 那小块区域
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    和这块区域合并而成的面积
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    解决这个问题的明显方法是
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    我能轻松算出圆的面积
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    圆的面积就等于∏乘以r的平方
    Area of the circle that's gonna be equal to ∏r2
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    或者是∏乘以2的平方 也就是4∏
    Or ∏ times 22 which is equal to 4 ∏
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    我能从圆的面积4∏中减去三角形的面积
    And I could subtract from 4∏ the area of the triangle
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    因此我需要算出三角形的面积
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    那么三角形的面积是
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    三角形的面积 前几个视频中
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    我演示给你们看过海伦公式
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    如果你知道三角形的三条边长 那么你可以计算出面积
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    但我们暂时还不知道边的长度
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    一旦我们知道了 也许就能算出三角形的面积
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    让我们在不知边长的情况下使用海伦公式
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    让我们假设这个等边三角形的边长
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    边长是A
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    应用海伦公式
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    我们首先明确海伦公式变量s
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    s等于A加上A再加上2分之A或者等于2分之3a
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    这个三角形的面积用A来表示
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    所以面积等于s也就是2分之3a乘以s减去a的值
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    就是2分之3a减去a
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    或者我可以写成2分之2a对么
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    a就等于2分之2a你可以抵消2得到a
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    接着我要重复三次得出的结果再开平方
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    为了避免重复 每一边乘三次
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    根据海伦公式
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    我可以说2分之3a减去2分之2a结果的三次方
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    那么这个结果是什么呢
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    这个等于平方根里左边是2分之3a
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    右边等于3a减去2a也就是a
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    所以就是2分之a的三次方
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    换一种颜色
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    2乘以2的三次方分之3a乘以a的三次方
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    也就是3乘以a的四次方 2的四次方就是16
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    对不 2乘以2的三次方就是2的四次方也就是16
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    如果我们把分子和分母开根号
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    这就是在算a的四次方的开根是a的平方
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    a的平方乘以 我们这里写成根号3
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    在分母的开根号 也就是4的上面做分子
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    所以如果我们知道a的值 就能通过海伦公式
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    知道这个等边三角形的面积
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    我们怎么计算出a的值
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    我们还知道等边三角形的其他什么特性
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    我们知道所有这些角都相等
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    又因为它们加起来必须是180度
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    所以它们都是60度这是60度角 这个是60度的角
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    那个也是60度的角
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    现在看看我们是否能利用上个视频的知识
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    其中我提到了圆周角和圆心角
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    的关系
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    这是一个圆周角
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    它的顶点在圆周上
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    所以它对着
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    它对着这段弧 那个对着那段弧
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    所对的同一段圆弧的圆心角
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    是这个
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    这个正是对着同一段圆弧的圆心角
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    根据我们在上个视频中看到的
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    对着同一段圆弧的圆心角是圆周角的
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    两倍
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    因此这个圆心角就是120度
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    让我在这画个箭头标明120度它是那个圆周角的两倍
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    如果我恰好平分这个角
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    我从角的中间画一条线 像这样直直地到底
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    那么这两个角分别是多少度
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    它们将都是60度我均分了这个角
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    这个是60度角 另一个也是60度
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    并且我们知道我把它分成了两份
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    这是一个等腰三角形 这是一条半径
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    半径等于2这是一条长度为2的半径
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    所以这整个三角形是对称的 如果我从中间
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    一直往下延伸 这条的长度是
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    边长的一半
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    另一条也是如此
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    让我在边上演示 如果我取
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    任意一个等腰三角形
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    它的两条腰的长度相同
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    在这个例子中两条腰是圆的半径
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    这个角等于另一个角
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    如果我再从中间这个角切开
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    我会把对边切成两条
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    这两条长度相同
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    在这种情况下 如果这条边长是a
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    每一个半条的长度就是2分之a
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    现在我们能否利用这个和一些
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    三角知识来找出a和r的关系
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    因为如果我们能用r算出a
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    那么我们就能在等式中带入a的值
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    从而得到三角形的面积 接着我们能
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    从圆的面积中减去三角形的面积 这样我们就完成了
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    我们会解决这个问题
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    让我们试试看
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    已经知道这个角是60度
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    是整个圆心角的一半
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    这个角是60度 而且2分之a
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    是这个角的对边长 已知对边长是
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    2分之a
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    我们知道斜边 对不
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    这是一个直角三角形 你从上到下
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    二等分三角形所对的边
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    得到一个直角三角形 从三角形几何关系
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    对边是2分之a
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    斜边长是r 这个正是直角三角形的斜边
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    半径是2
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    所以三角比率等于角的对边比上
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    斜边的比率
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    有人可能
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    已经厌倦我一直在做的 但是
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    一个角的正弦值等于它的对边比上
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    让我往下滑动一些 我快没有地方可以写了
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    所以这个角的正弦值
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    60度角的正弦值
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    等于斜边分之 也就是半径
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    2分之a
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    2分之半径 也就是等于2分之a除以2
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    等于4分之a
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    那么60度角的正弦值是多少
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    如果你完全不了解"正弦值
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    那么去看前几个
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    在三角学播放列表中的视频 它不是那么让人望而却步
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    60度角的正弦值
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    你可能从30 60 90度角的直角三角形中回忆起来
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    让我画一个这样的三角形
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    这就是一个30 60 90度角的三角形
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    如果这个是60度角
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    那个就是30度角 另一个是90度的
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    你可能记得这个是长度1的话
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    那么那条边长是2分之1
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    另一条长则为2分之根号3
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    所以60度角的正弦值是对边比上斜边的值
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    2分之根号3除以1
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    60度角的正弦值 如果你没有一个计算器
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    你可以就使用这个值 2分之根号3
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    因此这个就是2分之根号3
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    我们可以算出a的值 4分之a
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    等于2分之根号3 两边同时乘以4
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    你把这个4消去了 在这儿乘以4
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    它就变成了2 另一边是1
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    得到结果是2乘以根号3
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    我们快接近结果了
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    我们刚刚计算出每条边的长度
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    我们用海伦公式得出以边长表示的
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    三角形的面积
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    我们只需要带入这个值来得到实际的面积
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    所以我们三角形的面积表达式中有a的平方
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    a的平方是
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    面积就是2的平方乘以3 乘以4分之根号3
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    这是a的平方乘以4分之根号3
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    也是4乘以3
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    也是4乘以3 再乘以4分之根号3 把4消去
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    最后三角形的面积就是3乘以根号3
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    这儿的面积就是3乘以根号3
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    这是整个三角形的面积
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    现在 回到问题所问的地方
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    桔色部分的面积 也就是在三角形之外
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    而在圆内的部分 圆的面积是4∏
    And inside of the circle well the area of our circle is 4∏
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    我们从中减去三角形的面积
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    3倍的根号3 我们已经完成了任务
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    这就是我们的答案
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    就是桔色部分的面积
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    最后无论如何 希望你能觉得这个过程有趣
Title:
Area of Inscribed Equilateral Triangle (some basic trig used)
Description:

Problem that requires us to figure out the area of an equilateral triangle inscribed in a circle (A little trigonometry used)
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Video Language:
English
Duration:
11:39

Chinese, Simplified subtitles

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