Area of Inscribed Equilateral Triangle (some basic trig used)

Problem that requires us to figure out the area of an equilateral triangle inscribed in a circle (A little trigonometry used)

Привет!

В этом видео я хочу использовать

результаты рассмотренного в предыдущих роликах

и немного попрактиковаться.

Допустим, у нас есть круг и вписанный в него

равносторонний треугольник.

Все вершины треугольника лежат на линии окружности.

Я попробую как можно лучше изобразить

равносторонний треугольник.

Думаю, что лучше у меня бы и не получилось.

Равносторонний треугольник -

значит, все эти стороны одинаковой длины.

Эта сторона «а», эта - «а»

и эта тоже «а».

Допустим, что радиус данного круга равен 2.

Я просто предложил это значение, чтобы решить задачу.

Итак, радиус равен 2.

Расстояние от центра круга до любой точки

на окружности (т.е. радиус) равно 2.

Мы будем пользоваться знаниями,

полученными из нескольких предыдущих видео,

и начальными знаниями по тригонометрии.

Если слово «тригонометрия» пугает вас,

то посмотрите 2-3 видео из раздела «Тригонометрия» -

и вы сразу поймёте, что я здесь буду делать.

Я хочу в этой задаче посчитать площадь участка,

который находится внутри круга,

но снаружи треугольника.

Т.е. площадь вот этого маленького кусочка,

этого кусочка и этого, всех вместе.

Очевидно, что я могу посчитать площадь круга

достаточно легко. Площадь круга

будет равна π*r² или π*2².

Т.е. 4π.

И я могу вычесть из 4π площадь треугольника.

Т.е. теперь нам нужно найти площадь треугольника.

Чему равняется площадь треугольника?

Несколько уроков назад я рассказывал вам

про формулу Герона.

Если вы знаете длину сторон треугольника,

вы можете вычислить его площадь.

Но мы же ещё не знаем длину сторон.

Если бы мы знали, возможно, нам бы и удалось

посчитать площадь.

Давайте применим формулу Герона,

ещё не зная длин сторон.

Давайте посмотрим. Все стороны

этого равностороннего треугольника равны «а».

Применяем формулу Герона.

Обозначим неизвестную площадь S=(а+а+а)/2 .

Это то же самое, что и 3а/2.

Площадь этого треугольника, если выразить через сторону а…

Площадь треугольника будет равна √S,

который у нас 3а/2, умножить на (S-a) -

это (3а/2)-а.

Или я могу написать 2а/2, так?

a – это то же самое, что и 2а/а.

Вы можете сократить эти двойки и получить «а».

И чтобы не повторять это все три раза,

мы можем просто написать «в кубе».

И чему же это всё у нас будет равняться?

Это будет равняться √(3а/2).

А здесь у нас будет: 3а-2а=а.

Т.е. (а/2)³.

Всё это будет равно - я сейчас поменяю цвет.

Итак, 3а*а³ - это равно 3а⁴, делить на 2*2³.

Это 2⁴ или 16.

Далее - извлекаем квадратный корень из числителя

и знаменателя - а⁴ превратится в а².

Умножить на - я сразу запишу √3

и разделить на квадратный корень из знаменателя,

который будет равен 4.

Если мы знаем «а», то,

воспользовавшись формулой Герона,

мы можем узнать, чему будет равна

площадь этого равностороннего треугольника.

А как же нам вычислить «а»?

Что ещё мы знаем о равносторонних треугольниках?

Мы знаем, что все эти углы равны.

И т.к. они должны в сумме составлять 180°,

значит, все они равны по 60°.

Этот 60°, этот и этот 60°.

Посмотрим, пригодится ли здесь мой последний урок,

в котором я описывал соотношения между

вписанными углами и центральными углами.

Вот здесь у нас вписанный угол.

Его вершина лежит на окружности.

И этот угол опирается (можно сказать - стягивает) на эту дугу.

А центральный угол, который опирается на ту же дугу...

Где он? Вот он.

Учитывая то, что мы видели в последнем уроке,

можем сказать, что центральный угол

в 2 раза больше вписанного угла,

если они опираются на одну и ту же дугу.

Т.е. центральный угол больше этого в 2 раза и равен 120°.

Давайте я стрелочкой обозначу – 120°.

Этот в два раза больше, чем вписанный.

Если я разделю этот угол пополам,

из середины угла проведу линию вниз.

Вот так. Чему будут равны 2 этих угла?

Они будут по 60°, т.к. я провел биссектрису.

Здесь 60°, и здесь 60°.

Мы знаем, что я делю эту сторону пополам,

т.к. это равнобедренный треугольник.

Тут у нас радиус, равный 2.

Здесь тоже радиус, равный 2.

Этот треугольник симметричен,

и если я провожу линию в середину отрезка,

длина этого отрезка равна половине стороны.

Здесь а/2 и здесь а/2.

Давайте я зарисую здесь равнобедренный треугольник.

Любой равнобедренный треугольник,

у которого эта сторона равна этой стороне.

В нашем случае это радиусы, да?

Этот угол равен этому углу.

Если я проведу здесь высоту,

то разделю основание на 2 равные части.

Эти отрезки будут равны.

В данном примере весь отрезок равен а,

значит каждая из частей равна а/2.

Теперь воспользуемся немного нашими знаниями

по тригонометрии, чтобы найти отношение между а и r.

Если мы сможем выразить а через r,

тогда мы сможем подставить значение «а» в формулу

и получим площадь нашего треугольника.

А потом мы вычтем полученную площадь

из площади круга, и -ура, мы победили!

Решили задачку. Давайте попробуем.

Этот угол равен 60°. Половина центрального угла.

60°, вот эта сторона равна а/2,

она противоположна данному углу.

Противоположная сторона равна а/2.

Мы также знаем гипотенузу. Здесь у нас прямой угол.

Мы провели высоту,

она в равнобедренном треугольнике является также

и медианой, и биссектрисой.

Это прямоугольный треугольник.

Воспользуемся знаниями по тригонометрии.

Противоположная сторона равна а/2,

и мы знаем гипотенузу, она равна r.

Это гипотенуза нашего равнобедренного треугольника.

Она равна 2.

Какое мы знаем соотношение между стороной,

противоположной углу в 60° и гипотенузой?

Давайте подумаем.

Синус угла равен

отношению противоположной стороны к гипотенузе.

Я опущу немного ниже, а то мне места не хватает.

Т.е. синус вот этого угла, 60°,

равен отношению противолежащей стороны, а/2,

к гипотенузе, это наш радиус, 2.

Получается: (а/2)/2=а/4. А чему равен синус 60°?

Если вы не знаете, что такое «sin»,

посмотрите пару первых роликов по тригонометрии.

Они не такие уж и скучные.

Sin 60°, может быть вы помните из видео

про треугольники с углами 30, 60, 90°…

Давайте нарисую один вот тут.

Это треугольник с углами 30, 60, 90°.

Вы возможно помните. Пусть это будет 1.

Здесь - ½. А здесь - (√3)/2.

Синус 60° – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

((√3)/2)/1 - синус 60°.

Если нет под рукой калькулятора,

можете использовать это - (√3)/2. Здесь у нас (√3)/2.

Теперь можем вычислить «а». (√3)/2=а/4.

Умножим обе стороны равенства на 4.

Эта четвёрка сократится. Здесь останется 2. Здесь - 1.

Получаем а=2√3. Ура! Мы победили!

Мы только что посчитали длину всех этих сторон.

Мы применили формулу Герона, чтобы посчитать

площадь треугольника через эти стороны.

Мы подставляем это значение «а»

в формулу и получаем площадь.

Площадь треугольника равна а². Что у нас а²?

Это (2√3)²*((√3)/4).

Это будет равняться 43((√3)/4).

4-ки сокращаются,

и площадь нашего треугольника равна 3√3.

Это площадь всего целого треугольника.

Теперь вернёмся к основному вопросу.

Площадь оранжевого участка вне треугольника,

но внутри круга…

Площадь круга равна 4π.

Из этого вычитаем площадь треугольника 3√3.

И - вуаля! Мы сделали это!

Это наш ответ: 4π-3√3.

Это площадь этого оранжевого участка.

Надеюсь, урок вам понравился.