-
.
-
I denne videoen skal vi bruke noen av resultatene
-
fra tidligere videoer til å lage noen andre ting.
-
Her er en sirkel,
-
og en likesidet trekant er innskrevet i sirkelen.
-
Alle trekantens vinkelspisser
-
befinner seg på selve sirkelperleferien.
-
La oss prøve å tegne trekanten.
-
Det blir visst ikke bedre.
-
Likesidet betyr,
-
at alle trekantens sider er like lange.
-
Hvis den her lengden er a,
-
er de 2 andre sidene også a.
-
Vi kan si, at sirkelens radius er 2.
-
Vi velger et tilfeldig tall.
-
Radius er 2.
-
Fra sentrum til et hvert punkt på selve sirkelen er det altså 2,
-
da det er radius.
-
Til oppgaven skal vi bruke noen av resultatene fra tidligere videoer
-
og en smule grunnleggende trigonometri.
-
Hvis trigonometri høres vanskelig ut,
-
kan det være en god ide
-
å se de første 2 eler 3 videoene om trigonometri,
-
så man bedre kan forstå, hva vi gjør i denne videoen.
-
Vi skal regne ut arealet inne i sirkelen,
-
men uten for trekanten.
-
Vi skal altså finne arealet
-
av de her 3 små områdene til sammen.
-
Det er ganske enkelt
-
å regne ut sirkelens areal.
-
.
-
Det er lik med pi ganger radius i andre.
-
I det her tilfellet er det pi ganger 2 i andre, og det er lik 4 pi.
-
Vi kan nå trekke trekantens areal fra sirkelens areal for å finne arealet av resten.
-
Nå skal vi finne arealet av trekanten.
-
Hvordan skal vi finne det?
-
..
-
I en annen video så vi på Herons formel.
-
Den går ut på, at man skal finne arealet av en trekant,
-
hvis man kjenner sidelengdene.
-
Vi kjenner ikke sidelengdene enda.
-
Vi kan kanskje regne ut arealet, når vi kjenner sidelengdene.
-
La oss prøve med Herons formel, selv om vi ikke kjenner sidelengdene.
-
Sidelengdene i den likesidede trekanten
-
er alle lik med a.
-
Når vi bruker Herons formel,
-
sier vi, at s er lik med a pluss a pluss a over 2.
-
Det er det samme som 3a over 2.
-
Nå skal vi skrive om til arealet i forhold til a.
-
Arealet er lik med kvadratroten av s,
-
som er 3a over 2, ganger s minus a.
-
Det er altså 3a over 2 minus a.
-
Det er det samme som 2a over 2.
-
a er det samme som 2a over 2.
-
Det her går ut med hverandre, og vi får a.
-
Det skal vi gjøre 3 ganger.
-
I stedet for å gange det hele ut 3 ganger,
-
kan vi nøyes med å sette det i tredje,
-
når vi bruker Herons formel.
-
Hva er det lik?
-
Det er lik med kvadratroten av 3a over 2.
-
I så fall er det her lik med 3a minus 2a,
-
som er a.
-
a over 2 i tredje.
-
Vi skifter
-
farge.
-
3a ganger a i tredje. Det er 3a i fjerde.
-
Det står over 2 og ganges med 2 i tredje.
-
Det er 2 i fjerde, som er 16.
-
.
-
2 ganger 2 i tredje er 2 i fjerde.
-
Det er 16.
-
Når vi tar kvadratroten av både teller og nevner,
-
er det lik med kvadratroten
-
av a i fjerde, hvilket er a i andre.
-
a i andre ganger kvadratroten av 3
-
over kvadratroten av nevneren, som er 4.
-
Hvis vi kjenner a, kan vi altså ved hjelp av
-
Herons formel finne arealet av den likesidede trekanten.
-
Hvordan finner vi a?
-
Hva vet vi ellers om likesidede trekanter?
-
Vi vet, at alle de her vinklene er like store.
-
Ettersom de sammenlagt skal gi 180,
-
må de være 60 grader hver.
-
Den her er 60, den her er 60,
-
og den her er 60.
-
I den siste videoen
-
snakket vi om forholdet mellom en
-
innskreven vinkel og en sentervinkel.
-
Den her er en innskreven vinkel.
-
Vinkelspissen er på sirkelen.
-
Den ligger rett over den her sirkelbuen.
-
.
-
Sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen,
-
er den her.
-
.
-
Det er
-
den er sentervinkelen.
-
Vi vet fra de andre videoen,
-
at sentervinkelen, som ligger rett over den samme sirkelbuen
-
er dobbelt så stor som den innskrevne vinkelen.
-
Den her vinkelen er altså 120 grader.
-
Vi tegner en liten pil her.
-
120 grader.
-
Den er dobbelt så stor som den her.
-
La oss halvere den her vinkelen.
-
Vi går halvveis gjennom vinkelen og så rett ned.
-
Sånn.
-
Hvor store er de her 2 vinklene?
-
De er 60 grader hver.
-
VI halverer jo vinkelen.
-
De er begge 60 grader.
-
Vi deler den her siden i 2.
-
Det her er en likebeint trekant.
-
Det her er en radius.
-
Radius er lik 2.
-
Det her er en radius. r er lik 2.
-
Hele den her trekanten er symmetrisk.
-
Hvis vi går rett ned i midten her,
-
blir den her lengden lik med den her siden dividert med 2.
-
Den her siden er lik med den her siden delt i 2.
-
La oss tegne det her.
-
Vi kunne ta enhver likebeint trekant,
-
hvor den her siden er lik med den her siden.
-
Det her er våre radiusser eller radier i eksempelet.
-
Den her vinkelen er lik med den her vinkelen.
-
Hvis vi går rett ned her,
-
blir den motsatte siden delt i 2.
-
De her 2 lengdene er like store.
-
Hvis hele lengden er a,
-
er hver av de lik med a over 2.
-
La oss se, om vi kan bruke det her
-
og en smule trigonometri til å finne forholdet mellom a og r.
-
Hvis vi kan finne a ved bruk av r,
-
kan vi innsette a her
-
og finne trekantens areal.
-
Deretter kan vi trekke trekantens areal fra sirkelens areal,
-
og så er vi ferdige.
-
Så har vi løst oppgaven.
-
La oss se, om vi kan gjøre det.
-
Den her vinkelen er 60 grader.
-
Den er halvdelen av sentervinkelen her.
-
Hvis den her siden er 60 grader,
-
er a over 2 motsatt den vinkelen.
-
Den motsatte siden er lik med a over 2.
-
Det er også en hypotenus.
-
.
-
Det her er en rettvinklet trekant.
-
Vi går rett ned herfra
-
og halverer den motstående trekanten.
-
Det er en rettvinklet trekant.
-
Vi kan bruke litt trigonometri.
-
Den motsatte siden er a over 2, og hypotenusen er lik med r.
-
Det her er hypotenusen i trekanten.
-
Den er lik med 2.
-
Hvilket trigonometrisk forhold er
-
forholdet mellom en vinkels motstående side og hypotenus?
-
Vi kan bruke noen forkortelser. De er på engelsk.
-
SOH, CAH og TOA.
-
SOH betyr, at sinus til en vinkel er lik med den motstående
-
siden over hypotenusen.
-
O står for opposite, som betyr motstående.
-
Det skal man huske, når man bruker forkortelsene.
-
Sinus av den her vinkelen på 60 grader
-
er lik med den motstående siden,
-
som er a over 2, over hypotenusen,
-
som er vår radius, altså 2.
-
Det er lik med a over 2 dividert med 2. Det er a over 4.
-
Hva er sinus av 60 grader?
-
Hvis sinus virker helt fremmed,
-
kan man se de første videoene om trigonometri.
-
De er ikke veldig vanskelige.
-
Sinus av 60 grader kan vi kanskje
-
huske fra vår 30-60-90 trekanter.
-
La oss tegne en sånn her.
-
Det her er en 30-60-90 trekant.
-
HVis den her er 60 grader, er den her 30 grader og den her 90.
-
Den her er 1 lang,
-
den her er 1/2 lang,
-
og den her er kvadratroten av 3 over 2 lang.
-
Sinus av 60 grader er den motstående siden over hypotenusen.
-
Kvadratroten av 3 over 2 er 1.
-
Det er sinus av 60 grader.
-
.
-
Det blir kvadratroten av 3 over 2.
-
Det her er lik med kvadratroten av 3 over 2.
-
Nå kan vi isolere a.
-
Kvadratroten av 3 over 2 er lik med a over 4.
-
Vi ganger begge sider med 4.
-
Det her 4-tallet forsvinner.
-
Vi ganger med 4 her.
-
Det her blir 2.
-
Det her blir 1.
-
a er nå lik med 2 kvadratroten av 3.
-
Nå er nesten i mål nå.
-
Vi har akkurat funnet sidelengdene.
-
Vi mangler bare å bruke Herons formel
-
til å finne trekantens areal ut fra sidelengdene.
-
Nå skal vi innsette a
-
for å finne trekantens areal.
-
Trekantens areal er lik med a i andre.
-
Hva er det?
-
Det er 2 kvadratroten av 3 i andre
-
ganger kvadratroten av 3 over 4.
-
Vi ganger et kvadrat med kvadratroten av 3 over 4.
-
Det er lik med 4 ganger 3
-
ganger kvadratet av 3 over 4.
-
Firetallene går ut.
-
Arealet av vår trekant er
-
3 ganger kvadratroten av 3.
-
Det her området er altså 3 kvadratrøtter av 3.
-
Det er hele trekantens areal.
-
La oss gå tilbake til selve oppgaven.
-
Vi skal finne arealet av det oransje området
-
innenfor sirkelen og utenfor trekanten.
-
Arealet av sirklene er 4pi.
-
Vi skal nå trekke arealet av trekanten fra.
-
Det var 3 kvadratrøtter av 3.
-
Nå er vi ferdige.
-
Det her er svaret på oppgaven.
-
Det her er lik med arealet av det oransje her.
-
Forhåpentligvis var det interessant å lære.
-
.
