Obsah vepsaného rovnostranného trojúhelníku

Příklad, ve kterém řešíme obsah rovnostranného trojúhelník vepsaného v kružnici (s využitím trigonometrie).

V tomto videu Vám chci ukázat,
jak můžeme použít

poznatky z posledních videí
k nějakým zajímavým věcem.

Dejme tomu, že toto je kružnice,
a v ní mám vepsaný rovnostranný trojúhelník.

Čili všechny tři jeho vrcholy

leží na této kružnici.

Pokusím se nakreslit rovnostranný
trojúhelník co nejpřesněji.

Tak, lépe to asi nepůjde.

Když říkám 'rovnostranný',
znamená to,

že jeho strany
mají stejnou délku.

Čili, pokud má tato strana velikost 'a',
pak i tato strana má délku 'a'.

A toto je taky strana délky 'a'.

Řekněme, že známe poloměr kružnice.
Poloměr této kružnice je 2.

Jen jsem náhodně vybral číslo.

Tedy, poloměr této kružnice je 2.

Vzdálenost ze středu
k jakémukoli bodu na kružnici, je 2.

A teď použijeme něco,
co jsme se naučili v předchozích videích.

A nějaké základy trigonometrie.

Pokud Vás slovo "trigonometrie" děsí,

měli byste si zopakovat první
dvě nebo tři videa

ze seznamu videí věnovaných
trigonometrii,

abyste mému postupu rozuměli.

Chci vypočítat obsah plochy
uvnitř kružnice,

ale vně trojúhelníka.

Chci zjistit celkový obsah
této, této a této malé plochy.

Zjevné je to,

že můžeme jednoduše
vypočítat obsah kruhu.

Obsah kruhu.

A ten vypočítáme jako
π krát r na druhou

Neboli π krát 2 na druhou,
což jsou 4π.

A od obsahu 4π
bychom mohli odečíst obsah trojúhelníku.

Teď tedy musíme tento obsah vypočítat.

Jaký je obsah tohoto trojúhelníka?

V jednom z minulých videí
jsem Vám ukázal Heronův vzorec,

který je založen na tom, že pokud
znáte všechny strany trojúhelníku,

můžete vypočítat jeho obsah.

Ale délky stran ještě neznáme.

Jakmile je budeme znát, budeme
schopni vypočítat obsah.

Použijeme Heronův vzorec už teď.

Takže, délky stran tohoto
rovnostranného trojúhelníka...

jsou stejné, čili 'a'.

Když aplikujeme Heronův vzorec,
musíme definovat naši proměnnou 's'

jako: s se rovná
(a plus a plus a) lomeno 2

Což je to samé jako
'3a' lomeno 2.

A teď obsah trojúhelníka
vyjádříme pomocí 'a'.

Obsah bude roven
odmocnině z 's'.

Což je (3a lomeno 2)
krát (s minus a).

's' minus 'a' je
(3a lomeno 2) minus 'a'

Neboli 2a lomeno 2

Chápete? 'a' je to samé
co '2a' lomeno 2.

Protože můžeme vykrátit dvojky
a dostaneme 'a'.

A tohle udělám třikrát.

Čili místo toho, abych všechny
strany roznásobil

Heronovým vzorcem,
můžu to zapsat

jako tento výraz na třetí.

Čemu se to bude rovnat?

Toto bude rovno odmocnině
z (3a lomeno 2)

A toto bude rovno

3a minus 2a.
Tedy 'a'.

Jinými slovy,
('a' lomeno 2) na třetí.

Toto bude rovno...
jen změním barvy.

Máme tu 3a krát (a na třetí),
což je 3a na čtvrtou

lomeno (2 krát 2 na třetí).

To je 2 na čtvrtou, což je 16.

2 krát (2 na třetí) je (2 na čtvrtou)

To je 16.

Teď, pokud odmocníme
čitatele a jmenovatele,

vyjde nám, že to bude rovno
odmocnině z (a na čtvrtou).

Což je a na druhou.

(a na druhou) krát... Zapíšeme to
jako odmocnina z 3,

lomeno odmocnina jmenovatele.
Což je 4.

Pokud tedy známe 'a',
pak pomocí Heronova vzorce

můžeme vypočítat i obsah
rovnostranného trojúhelníka.

Jak tedy zjistíme velikost 'a'?

Co ještě víme
o rovnostranných trojúhelnících?

Víme, že všechny jeho vnitřní
úhly jsou stejně velké.

A protože musí mít součtem 180°,

pak musí mít všechny velikost 60°.

Toto je 60°,
toto je 60°

a toto je taky 60°.

Schválně, jestli můžeme použít
něco z minulého videa,

ve kterém jsem mluvil
o vztahu mezi obvodovým

a středovým úhlem.

Toto je obvodový úhel.

Jeho vrchol leží na kružnici.

A vymezuje tento oblouk.

A tento středový úhel
vymezuje ten samý oblouk.

Tento středový úhel
vymezuje tento oblouk.

S ohledem na to, co jsme
viděli v minulém videu,

středový úhel, který vymezuje
stejný oblouk jako obvodový úhel,

bude mít oproti němu
dvojnásobnou velikost.

Takže tento úhel bude mít
velikost 120 stupňů.

Jen tu udělám šipku.

120 stupňů.

Je to dvojnásobek tohoto.

Chci rozpůlit tento úhel.

Čili v polovině úhlu

spustím takhle čáru.

Jakou velikost budou
mít tyto dva úhly?

Budou mít 60°.

Půlím tento úhel.

Toto je 60°
a toto je taky 60°.

Víme, že půlím tuto stranu.

A toto je rovnoramenný trojúhelník.

Toto je poloměr.

Poloměr 'r' o velikosti 2.

Toto je také poloměr 'r'
o velikosti 2.

Tento trojúhelník je symetrický.

Pokud tu spustím čáru,

tak tato strana bude rozpůlena.

Délka této strany
bude rozdělena 2.

Nakreslím to.

Pokud vezmeme rovnoramenný trojúhelník,

jakýkoliv rovnoramenný trojúhelník, kdy se
délky těchto dvou stran rovnají...

V našem případě to jsou poloměry.

A velikost těchto dvou úhlů bude stejná.

Pokud opět spustím z vrcholu
úhlu čáru,

rozpůlil bych ten úhel.

Čili tyto vzdálenosti budou stejné.

V našem případě, pokud je
tato celá vzdálenost 'a',

pak toto bude (a lomeno 2).

Schválně, jestli tohle můžeme použít,
tohle a trošku trigonometrie,

abychom objevili vztah
mezi 'a' a 'r'.

Protože pokud můžeme 'a'
z rovnice vyjádřit za použití 'r',

můžeme pak 'a' vložit sem
a zjistíme obsah našeho trojúhelníku.

A pak budeme moct
odečíst tento obsah

od obsahu kruhu
a budeme hotovi.

A budeme mít vyřešený tento příklad.

Tak schválně, jestli to půjde.

Máme tady úhel
o velikosti 60°.

Tedy polovinu tohoto
středového úhlu.

Pokud má tento úhel velikost 60°,

pak má jeho protější strana
velikost a lomeno 2.

Takže jeho protější strana
má velikost a lomeno 2.

Známe také přeponu.

Je to pravoúhlý trojúhelník.

Spouštíte tu vlastně kolmici,
když půlíte úhel.

Toto je pravoúhlý trojúhelník.

Takže tu můžeme
použít trigonometrii.

Naše odvěsna má velikost a lomeno 2,
přepona má velikost 'r'-

Toto je přepona našeho
pravoúhlého trojúhelníka.

Její velikost je 2.

Takže, jaký poměr
je poměr protilehlé strany

ku přeponě?

Někteří už tu slovní hříčku znáte,

ale
SOH CAH TOA.

SOH - Sinus úhlu je roven
protější straně (Opposite) lomeno

přeponě (Hypotenuse).

Dochází mi místo,

tak trochu sjedu dolů.

Sinus úhlu o velikosti
60 stupňů bude roven

velikost protější strany,
což je a lomeno 2,

lomeno přepona, což je náš poloměr,

tedy lomeno 2.

Což se rovná (a lomeno 2) lomeno 2.
Což je (a lomeno 4).

Kolik je sinus 60 stupňů?

A pokud slovo "sinus" neznáte,

koukněte se na prvních pár
videí, která se týkají trigonometrie.

Pak už by to nemělo být tak cizí.

Sinus 60 stupňů byste si měli pamatovat

z trojúhelníků
s úhly 30-60-90.

Takže, jeden tu nakreslím.

Toto je trojúhelník 30-60-90.

Pokud je toto úhel o velikosti 60 stupňů,
pak tento má velikost 30° a tento 90°.

A taky si možná pamatujete,
že tato strana má velikost 1,

tato 1/2 a toto bude
((odmocnina ze 3) lomeno 2),

Čili sinus 60 stupňů je
protilehlá ku přeponě.

Tedy ((odmocnina ze 3) lomeno 2),
to celé lomeno 1.

Sinus 60 stupňů...

Pokud nemáte kalkulačku,
tak můžete použít

tento výraz jako číslo.
Odmocnina ze 3 lomeno 2.

Takže toto je
odmocnina ze 3 lomeno 2.

Teď toto můžeme
vyřešit pro 'a'.

(Odmocnina ze 3) lomeno 2
je rovna (a lomeno 4).

Vynásobíme obě strany čtyřmi.

Takže se čtyřky vykrátí.

Násobíme 4 zde.

Toto bude 2.

Toto bude 1.

A dostanete, že se 'a'
rovná 2 krát (odmocnina ze 3).

Tak, jsme skoro v cílové rovince.

Zrovna jsme vypočítali délku
těchto stran.

Použili jsme Heronův vzorec
pro výpočet obsahu trojúhelníku

pomocí těchto délek stran.

Takže nyní pouze dosadíme
tyto hodnoty za 'a'

a dostaneme skutečný obsah.

Takže, obsah našeho trojúhelníka
je 'a' na druhou.

Co je to 'a' na druhou?

Jsou to (2 odmocniny ze 3) na druhou

krát (odmocnina ze 3) lomeno 4.

(a na druhou) krát (odmocnina ze 3),
to celé lomeno 4, už to máme.

Toto bude rovno 4 krát 3 krát
(odmocnina ze 3), to celé lomeno 4.

Takže se čtyřky vykrátí.

Obsah našeho trojúhelníka tedy je...
Máme tu 3 krát odmocnina ze 3.

Takže náš obsah je
3 krát (odmocnina ze 3).

To je obsah celého trojúhelníku.

A teď zpátky k zadání.

Obsah této oranžové části
vně trojúhelníka,

ale zároveň uvnitř kružnice.

Inu, obsah našeho kruhu je 4π.

A od toho odečteme
obsah trojúhelníku,

3 odmocniny ze 3.

A máme hotovo.

Toto je odpověď na naši otázku.

Toto je obsah této oranžové plochy.

Snad z toho máte radost.