Лице на вписан в окръжност равностранен триъгълник

Задача, която иска от нас да намерим лицето на равностранен триъгълник, вписан в кръг (използва се и малко тригонометрия)

В това видео искам да използвам
някои от резултатите от

предходните няколко видео урока, за да направя
няколко много подредени неща.

Да кажем, че това е окръжност
и имаме вписан

равностранен триъгълник в нея.

Всички върхове на този триъгълник лежат на

окръжността.

Ще опитам да направя равностранен триъгълник.

Мисля, че това приблизително е най- доброто,
което мога да направя.

И като казвам равностранен, това означава,
че всички тези

страни са с еднаква дължина.

Ако това е дължината на страна 'а',
тогава и това е с дължина 'а',

и това също е с дължина 'а'.

Нека знаем, че радиусът
на окръжността е 2.

Просто избирам число,
за да направя решението.

Да кажем, че радиусът на
тази окръжност е 2.

От центъра до всяка точка

това разстояние, радиусът,
е равен на 2.

Сега, това което ще искам, е да използваш
някои от резултатите от

последните няколко видео уроци и малко основна

тригонометрия...
ако думата "тригонометрия" те плаши,

трябват ти само първите два
или три видео урока

в списъка тригонометрия,
за да можеш да разбереш

какво правя тук.

Това, което искам да направя тук, е да намеря
лицата на фигурите вътре

в окръжността и извън триъгълника.

Искам да изчисля тази малка площ, тази

площ и тези площи заедно.

Очевидният начин да го направя,
е да кажа, че мога

да изчисля лицето на кръга много лесно.

Лицето на кръга.

И това ще е равно на πr^2.

Или π по 2 на квадрат, което
е равно на 4π.

И мога да извадя от 4π лицето
на триъгълника.

Значи трябва да намеря лицето
на триъгълника.

Какво е лицето на триъгълника?

В няколко предходни видео урока
ти показах Хероновата формула,

където ако знаеш дължината на
страните на триъгълник,

можеш да намериш лицето.

Но ние все още не знаем
дължините на страните.

Веднъж намерим ли ги,
ще изчислим и лицето.

Нека да приложим Хероновата формула
без да я знаем.

Да кажем, че дължините на този
равностранен триъгълник...

дължините на страните са 'а'.

Прилагайки Хероновата формула, ние първо
дефинираме нашата променлива

s да бъде равна на (а + а + а)/2.

Или това е същото като 3а/2.

И след това лицето на този триъгълник,
изразено чрез 'a'...

Лицето ще е равно на
корен квадратен от s,

което е 3а/2, по (s – а).

Това е същото като 3а/2 – а.

Или мога просто да запиша 2а/2.

Правилно? а е същото като 2а/2.

Можеш да съкратиш тези
и да получиш а.

И после ще го направя три пъти.

И вместо просто да умножа това
три пъти за всяка от страните,

по Хероновата формула мога
просто да кажа

на трета степен.

На колко ще е равно това?

Това ще е равно на
корен квадратен от 3а/2.

И после това тук ще е равно

на 3а – 2а, което е 'а'.

Така а/2 на трета степен.

И това ще е равно на... произволно ще

сменя цветове.

Имаме 3а по а^3, което е 3а^4,

върху 2 по 2^3.

Е, това е 2^4, или 16.

Правилно?

2 по 2^3 е 2^4.

Това е 16.

И ако вземем корен квадратен
от числителя и знаменателя,

това ще е равно на корен квадратен от

а^4, което е а^2.

а^2 по... ще напиша само
корен квадратен от 3,

върху корен квадратен от
числителя, което е точно 4.

Така ако знаем а, използвайки
Хероновата формула намираме лицето

на този равностранен триъгълник.

Как можем да намерим 'а'?

Какво друго знаем за
равностранните триъгълници?

Знаем, че всички тези ъгли са равни.

И след като трябва сборът им да е 180 градуса, те

трябва да са по 60 градуса.

Това е 60 градуса, това е 60 градуса и

това е 60 градуса.

Сега да видим дали можем да използваме
последното видео, където говорих за

връзката между вписан ъгъл

и централен ъгъл.

Това е вписан ъгъл тук.

Неговият връх лежи на окръжността.

Така отсича дъгата тук.

А централният ъгъл, който отсича същата дъга

е този тук.

Централният ъгъл, отсичащ същата дъга,

е този тук.

Въз основа на това, което видяхме в последното видео,
централният ъгъл,

който отсича същата дъга, е два пъти

вписания ъгъл.

Така този ъгъл тук ще е 120 градуса.

Нека да сложа стрелка там.

120 градуса.

Той е два пъти този.

Сега ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

разделям този ъгъл и искам само да

спусна надолу така.

Какви ще са тези два ъгъла?

Е, те са 60 градуса.

Разделям на две този ъгъл.

Това е 60 градуса и това е 60 градуса точно тук.

И знаем, че разделям тази страна на две.

Това е равнобедрен триъгълник.

Това е радиус тук.

Радиусът r е равен на 2.

Това тук е радиус от r = 2.

Този целият триъгълник е симетричен.

Ако отида право надолу към средата,
тази дължина

тук е тази страна разделена на две.

Тази страна там е тази страна,
разделена на две.

Нека начертая това тук.

Просто ако взема равнобедрен триъгълник,
всеки равнобедрен триъгълник,

на който тази страна е равна на тази страна.

Тези са нашите радиуси в този пример.

А този ъгъл е равен на този ъгъл.

Ако спусна ъглополовящата на този ъгъл тук,

ще разделя тази срещуположна страна на две.

Така тези две дължини ще са равни.

В този случай ако цялото е а, всяка от тези

ще е а/2.

Сега да видим как можем
да използваме това и малко от

тригонометрията, за да открием
взаимовръзката между а и r.

Защото ако можем да намерим 'а',
използвайки r, тогава можем

да заместим тази стойност на 'а'
тук и ще получим лицето

на нашия триъгълник.

И после можем да извадим от лицето на

кръга и приключваме.

Ще сме решили задачата.

Да видим можем ли да го направим.

Имаме ъгъл 60 градуса тук.

Половината от този централн ъгъл тук.

Ако този ъгъл е 60 градуса, имаме а/2, което е

срещулежаща на този ъгъл.

Така имаме срещулежаща, която е равна на а/2.

Също имаме хипотенузата.

Правилно?

Това е правоъгълен триъгълник тук.

Минаваш право надолу и разделяш

срещуположната страна.

Това е правоъгълен триъгълник.

Може да приложим малко тригонометрия.

Нашата срещулежаща е а/2,
хипотенузата е равна на r.

Това тук е хипотенузата на нашия
правоъгълен триъгълник.

Следователно това е равно на 2.

Какво тригонометрично отношение е
отношението на срещулежащата

страна на ъгъла към хипотенузата?

Може би вече се измори от това, че
постоянно го правя,

но СинусКосинусТангенс...

синусът на ъгъла е равен на
срещулежащата

върху хипутенузата.

Нека да превъртя малко надолу.

Свършва ми мястото.

Синусът на ъгъла тук, синусът на 60 градуса, е

равен на срещулежащата страна, която е

равна на а/2, върху хипотенузата, което е

нашият радиус, делено на 2.

Което е равно на а/2 делено на 2 е а/4.

А колко е синус от 60 градуса?

И ако думата "синус" ти изглежда напълно непозната,

гледай първите няколко видео урока
от раздела по тригонометрия,

не е твърде страшна.

Синус от 60 градуса може да си припомниш от

триъгълниците с ъгли 30-60-90.

Нека начертая един тук.

Това е триъгълник 30-60-90.

Ако това са 60 градуса, това са
30 градуса, това са 90.

Може да си спомняш, че
това е с дължина 1, това е

с дължина 1/2, а това е с дължина от

корен квадратен от 3/2.

Синусът от 60 градуса е
срещулежащата страна върху хипотенузата.

Корен квадратен от 3/2 върху 1.

Синус от 60 градуса.

Ако нямаш калкулатор, можеш
просто да използваш това...

е корен квадратен от 3 върху 2.

Това тук е корен квадратен от 3 върху 2.

Сега можем да намерим 'а'.

Корен квадратен от 3 върху 2 е равно на а/4.

Да умножим двете страни по 4.

Така тези 4 се съкращават.

Умножаваш по 4 тук.

Тук става 2.

Това става 1.

Получаваш а = 2 по квадратен корен от 3.

Почти на финала сме.

Току що намерихме дължините
на всички страни.

Използвахме Хероновата формула,
за да изчислим лицето на

триъгълника при тези дължини.

Просто вадим тази стойност от 'а' там,

за да получим нашето лице.

Лицето на нашия триъгълник
е равно на а^2.

Колко е а^2?

То е 2 по корен квадратен от 3, цялото на квадрат,

по корен квадратен от 3 върху 4.

Току що решихме а^2 по корен квадратен от 3/4.

Това ще е равно на 4 по 3 по

корен квадратен от 3, върху 4.

Тези четворки се съкращават.

Лицето на нашия триъгълник,
което получихме, е

3 по корен квадратен от 3.

Лицето тук е 3 корен квадратен от 3.

Това е лицето на целия този триъгълник.

Сега за да се върнем на първоначалния въпрос.

Лицето на тази оранжева зона
извън триъгълника

и вътре в кръга.

Лицето на нашия кръг е 4π.

От това изваждаме лицето на триъгълника,

3 корен квадратен от 3.

И приключихме.

Това е нашият отговор.

Това е лицето на тази оранжева част тук.

Както и да е, надявам се това
да ти се стори забавно.