-
В предишното видео започнах
с тази матрица ето тук,
-
и от самото начало казах, че
линейната обвивка на тази матрица
-
е просто линейната обвивка на
вектор-стълбовете, които тя включва,
-
и го записах ето тук.
-
Но ние не изяснихме дали
е налице линейна независимост,
-
и ако векторите не са
линейно независими, то тогава
-
те не е могат да служат
за базис на матрицата.
-
После продължихме и
намерихме
-
нулевото пространство
на матрицата А.
-
Установихме, че нулевото пространство
на матрицата А съдържа повече вектори,
-
а не само нулевия вектор.
-
Това тук е само линейната обвивка на
на тези два вектора, което означава,
-
че тези стълбове не са
линейно независими.
-
Видяхме това преди
няколко урока.
-
И ние използвахме тази информация,
че те не са линейно независими,
-
за да опитаме да ги направим
линейно независими,
-
като премахнем излишните
вектори.
-
Отървахме се от този вектор-стълб
и от този, защото
-
принципно това са стълбовете,
които са свързани със свободни променливи.
-
Успяхме да направим това, като
използвахме една техника ето тук,
-
и направихме едната свободна променлива
да е равна на 0, другата
-
да е равна на –1, след което
-
намерихме стойностите
на водещите променливи.
-
След това сложихме втория
да е равен на 9, и другият
-
да е равен на –1 и намерихме
водещите променливи.
-
Вероятно се досещаш, че
това е процес, който
-
може да се обобщи.
-
Ако имаш куп свободни променливи,
можеш да приравниш на нула всички тях,
-
освен една, и тогава
тази променлива, която
-
не е приравнена на 0,
я приравняваш на –1.
-
Можеш да изразиш това като
сума на водещите променливи,
-
като водещите променливи са
функция от свободните променливи.
-
По принцип, това е
бърз начин за решение.
-
Но сега ще го направим
по-бавно.
-
Ако е дадена матрицата А
и искам да намеря базиса
-
на векторното пространство,
векторното пространство е просто
-
линейната обвивка на тези вектори,
но ако искам линейно независим базис,
-
трябва да намеря някакво множество
от тези вектори, което е линейно независимо.
-
Мога да преобразувам тази матрица
в ешелонна форма (по редове).
-
Когато я преобразувам в
ешелонна форма, което направих ето тук,
-
това е ешелонната форма
на матрицата А, тогава
-
мога да разгледам променливите,
които са свързани с водещите елементи.
-
Значи това е х1.
-
Ще сляза малко надолу.
-
Това е свързано с х1, нали?
-
Когато умножим това по х1,
получаваме този стълб по х1,
-
този стълб по х2, този стълб по х3,
този стълб по х4, ето така.
-
Когато имаш една обикновена матрица А,
когато разгледаш твоята матрица,
-
всичко е съвсем същото.
-
Ако трябва да запишеш А по х равно на 0,
този стълб ще бъде свързан с х1,
-
този стълб ще бъде свързан с х2,
-
с х3, с х4, по този начин.
-
Значи първо я преобразуваш
в ешелонна форма по редове.
-
Определяш в кои стълбове има
водещи елементи или
-
са свързани с водещи променливи.
-
Казваш: "х1 и х2 са свързани
с водещи променливи,
-
или те са водещи променливи,
и те са свързани
-
с първите два стълба, така че
-
тези първите два стълба ще бъдат
базис на векторното пространство."
-
Как получаваме това?
-
Да не би да си съчинявам
нещата в движение?
-
О, не!
-
Всичко следва от факта, че винаги
можеш да конструираш
-
ситуация, в която векторите,
свързани със свободни променливи,
-
можеш да ги представиш като
линейна комбинация на
-
векторите, свързани с водещите
променливи, и ние разгледахме
-
специален случай на това
миналия път.
-
Един много бърз и
несъвършен начин да го направим,
-
не знам дали всъщност е несъвършен,
но просто взехме матрицата,
-
преобразувахме я в ешелонна
форма и казахме, че
-
този стълб и този стълб са свързани
със свободните променливи.
-
Следователно този стълб и този
стълб трябва да са свързани
-
с нашите свободни променливи.
-
Множествата на решенията са
същите като за А по х равно на 0,
-
или за ешелонната форма на
матрицата А по х, което е равно на 0.
-
Те са същите.
-
Ако този стълб и този стълб
са свързани
-
със свободни променливи, това
се отнася и за този стълб и този стълб,
-
което означава, че те могат
да бъдат изразени като внимателно
-
избереш стойностита за свободните
променливи
-
като линейни комбинации на стълбовете,
свързани с водещите променливи,
-
с водещите елементи, които са
този стълб и този стълб.
-
Значи този стълб и този
стълб ще бъдат базис
-
на матрицата А, и ние
го видяхме.
-
Установихме го ето тук
чак до тук долу.
-
[1; 2; 3] и [1; 1; 4]. Ние
свършихме много работа
-
и стигнахме до тук, като казахме,
че това е базис
-
на векторната линейна
обвивка на матрицата А.
-
След като всичко това е свършено,
да видим дали можем всъщност
-
да визуализираме векторното
пространство на матрицата А.
-
Имам странното чувство, че може би
казах векторна линейна обвивка
-
няколко пъти, а трябва да е
векторно пространство,
-
и как изглежда то?
-
Има няколко начина да
разсъждаваме за това
-
как изглежда то.
-
Единият начин е да кажем:
"Виж, линейната обвивка на това е 2...
-
това принадлежи на R3.
-
Това е вектор в R3, и това
е вектор в R3.
-
Имаме две...
ако си представиш...
-
Ще начертая осите х, z...
обикновено се чертаят така.
-
Обикновено това е оста у,
това е оста z в R3, ако искам
-
да представя тримерно
пространство.
-
После вектор [1; 2; 3] може
да изглежда ето така,
-
едно, две, едно, две, три,
значи слизаме едно надолу тук,
-
после тук три нагоре.
-
Значи векторът ще изглежда
ето така в стандартна форма.
-
Това е ето това тук.
-
Вектор [1; 1; 4] ще бъде
едно, едно и четири нагоре,
-
така че ще изглежда като
нещо такова.
-
Всъщност е трудно да
ги начертая много добре
-
в три измерения, но
ти схващаш идеята.
-
Но векторното пространство
е линейната обвивка на тези вектори,
-
така че то е всички линейни
комбинации на тези два вектора.
-
Всички линейни комбинации
на тези два вектора
-
ще създадат равнина,
-
която съдържа двата вектора.
-
Ако просто съберем тези вектори
в множество комбинации,
-
ще получим всеки вектор
в тази равнина.
-
Ако просто ги съберем,
ще получим този вектор ето тук.
-
Ако съберем този вектор
и два пъти този вектор,
-
ще получим някакъв вектор
ето тук.
-
Ако ги разглеждаме като
позиционни вектори,
-
те образуват равнина в R3.
-
Но да видим дали можем да изведем
уравнението на тази равнина.
-
Как може да стане това?
-
Знаем, че можем да намерим
уравнението на една равнина
-
въз основа на факта, че скаларното
произведение на нормалния вектор с...
-
тук ще запиша нормалния вектор
ето така.
-
Скаларното произведение на нормалния
вектор по някакъв позиционен вектор,
-
определящ някаква позиция
в равнината.
-
Ще означа това като вектор х минус
произволна точка в равнината
-
или произволен позиционен
вектор в равнината.
-
Значи мога да напиша, че скаларното произведение
на този вектор минус вектор [1; 2; 3]
-
и нормалния вектор
трябва да е равно на 0.
-
Можем да използваме тази
информация, за да намерим
-
уравнението на равнината.
-
Но кой е нормалният
вектор?
-
Как да намерим нормалния
вектор към тази равнина?
-
Това ще бъде вектор.
-
Да видим мога ли да
начертая това така, че
-
да не става объркване.
-
Ако равнината изглежда
ето така, нормалният вектор
-
трябва да сочи ето така.
-
Как мога да създам
нормален вектор?
-
Научихме, че взимаме векторното
произведение на два произволни
-
вектора в R3, и това векторно
произведение съм дефинирал
-
досега само в R3, така че
ще получа вектор, който е нормален
-
и към всеки един от тези вектори.
-
Да намерим векторното произведение.
-
Това е хубав начин да го
разглеждаме, защото всъщност
-
това обединява всичко, което
сме учили досега.
-
Ще дефинирам нормалния вектор
да е равен на векторното произведение на
-
вектор [1; 2; 3] по вектор [1; 1; 4].
-
На колко е равно то?
-
Първият член, игнорирам това,
-
получавам 2 по 4, минус 3 по 1.
-
2 по 4 е 8.
-
2 по 4, минус 3 по 1.
-
8 минус 3.
-
Вторият ред, имам 1 по 4,
изкушавам се да умножа
-
1 по 4, минус 3 по 1.
-
Но ти ги обърни.
-
Умножи 3 по 1, което е 3,
минус 1 по 4.
-
Правили сме го няколко пъти.
-
Може да гледаш отново видеото
за векторно произведение,
-
ако това ти изглежда непознато.
-
Пренебрегваме средния ред,
и обикновено умножаваме 1 по 4,
-
минус 3 по 1, но средния ред
обръщаме.
-
Това е дефинирано само за R3,
така че вместо това умножаваш 3 по 1,
-
минус 1 по 4.
-
И накрая последния ред,
игнорираме го, казваме, че
-
1 по 1, което е 1, минус
2 по 1, което е –2.
-
И това е равно на вектор
[5; –1; –1],
-
който по определение е векторното
произведение, и аз ти доказах
-
няколко пъти, че той е нормален
и към всеки един от тези вектори.
-
Значи той е нормален към
всяка линейна комбинация
-
на тези два вектора.
-
Сега, когато имаме нашия
нормален вектор, можем да дефинираме
-
обичайното уравнение
на равнината.
-
Знаем, че нашият нормален
вектор [5; –1; –1],
-
който получихме като векторно
произведение на векторите от базиса,
-
неговото скаларно произведение
с произволен вектор в тази равнина.
-
Ще запиша един
произволен вектор.
-
Ще го запиша просто като [х; у; z].
-
Значи [х; у; z], според означенията
на осите ето тук.
-
Това е оста х.
-
[х; у; z].
-
[х; у; z] минус... просто
ще избера един от тези вектори.
-
Мога да избера всеки от тях – минус [1; 2; 3],
скаларното произведение
-
на тази разлика и нормалния вектор
трябва да е равно на 0
-
Какво е това?
-
Това ще е равно на...
ще го напиша малко по-дребно,
-
малко по-спретнато –
[5; –1; –1] по (.) –
-
какъв ще е този вектор?
-
х минус 1, у минус 1, и
z минус 3, трябва да е 0.
-
Какво е скаларното произведение?
-
Това е 5 по (х – 1), плюс...
или може би трябва да кажа минус 1,
-
значи това е плюс –1 по (у – 2),
плюс –1 по (z – 3)
-
е равно на 0.
-
Това е просто определението
за скаларно произведение.
-
Като опростя това, получавам
5х минус 5, минус у, плюс 2, минус z
-
плюс 3 е равно на 0.
-
2 плюс 3 е 5, минус 5, тези
се унищожават.
-
Това е равно на 0.
-
И получаваме
5х – у – z = 0.
-
Тази равнина в R3 е векторното
пространство на матрицата А.
-
Така доказахме, че това
действително е равнина в R3.
-
Всъщност е логично, че
тази равнина
-
пресича началото на
координатната система.
-
Ако приравним х, у и z
равно на 0,
-
това удовлетворява уравнението.
-
Това е логично, защото
казахме, че векторното пространство
-
на една матрица трябва да е
валидно подпространство,
-
а валидното подпространство трябва
да съдържа нулевия вектор.
-
В R3 това е вектор с
координати 0, 0, 0.
-
Сега искам да видя дали
можем да получим същия отговор,
-
като подходим по
точно обратния начин.
-
Нека да вземем оригиналната
матрица А, която забравихме.
-
Аз съм писал върху нея,
но сега ще я копирам и поставя.
-
Това е първоначалната
матрица А.
-
Копирам я.
-
И я поставям.
-
Не.
-
Не исках това да направя.
-
Да видим, оригиналната
матрица А...
-
Бях копирал нещо друго.
-
Сега ще... не искам
да ти губя времето.
-
Едит, копирай, едит, постави.
-
Готово и сега ще скролна
малко надолу до място,
-
което е сравнително чисто.
-
Свалям матрицата А надолу.
-
Използвал съм много място.
-
Ето така.
-
Това е първоначалната
матрица А.
-
Сега искам да видя дали
мога да получа този резултат
-
по напълно различен начин.
-
Получих този резултат, като намерих
базиса на векторната линейна обвивка,
-
като намерих нормалния вектор
чрез векторното произведение
-
на двата вектора на базиса, и
после използвах скаларното произведение
-
на нормалния вектор с разликата...
този вектор ето тук,
-
където взимам произволен вектор
от равнината минус
-
един от базисните вектори,
-
за да намеря вектор в равнината.
-
Това е някакъв вектор в
равнината.
-
Значи произволен вектор в равнината,
скаларно умножен по нормалния вектор
-
ще бъде равно на нула.
-
Всъщност може би трябва
да направя една странична забележка,
-
че единствената причина
да мога да кажа, че
-
нормалният вектор е векторно
произведение на двата базисни вектора
-
е защото знам, че тези два
вектора на базиса
-
не само, че определят някаква
точка в равнината...
-
да кажем, че този вектор
е този синият вектор.
-
Не само, че определят някаква
точка в равнината ето тук,
-
но векторът лежи изцяло
в равнината.
-
Откъде знам това?
-
Защото знам от самото начало,
че векторът [0;0] е част
-
от линейната обвивка, нали?
-
Знаех, че ако начертая този вектор
в стандартна позиция,
-
точката [0; 0; 0] е в линейната обвивка
и знам, че крайната му точка е
-
в линейната обвивка, така че
целият вектор е в равнината
-
и, по същия начин, този целият
вектор лежи в равнината.
-
Така че векторното произведение
на произволен нормален вектор
-
към тези вектори или всяка комбинация
от тези вектори ще бъде
-
нормална към равнината, и така
получихме този резултат ето тук.
-
Но сега ще взема това ето тук
и ще използвам друга дефиниция
-
на линейната обвивка на вектор-стълба.
-
Другото определение, или едно еквивалентно
определение за линейна обвивка
-
е, че тя съдържа всички валидни решения
на А по х, където х
-
принадлежи на Rn.
-
Друг начин да мислим за това
е, че можем да го разглеждаме това
-
като всички валидни b, за които
А по х е равно на b, и х принадлежи на Rn.
-
Това са еквивалентни твърдения.
-
Просто дефинирам b като
А по х, така че тези са
-
еквивалентни твърдения.
-
Но нека да поработим
над това тук.
-
Да кажем, че дефинирам
b такова, че то да е
-
вектор в R3, нали?
-
Вече имаме интуиция за това.
-
Нека b...
-
Когато умножа А по х, получавам
вектор b, който е равен на [х; у; z].
-
Искам да определя за кои
х, у и z мога да получа
-
валидни решения.
-
Ако взема моя вектор А и
го умножа по...
-
всъщност, най-добрият начин
да го направим е... мисля, че
-
го използвах току-що.
-
Ако решавам уравнението
А по х равно на b, мога
-
всъщност да направя
разширена матрица, като имам
-
матрицата А и я разширя
с b, и да я преобразувам
-
в ешелонна форма, и това
всъщност представлява
-
моето множество от решения.
-
Да го направим.
-
Ако просто разширя тази матрица
ето тук с b,
-
записвам х, у, z.
-
Това е матрицата А,
разширена с b.
-
Това е А, това е b.
-
Ще я преобразувам в
ешелонна форма и
-
ще намеря множеството
от решенията.
-
Това са х, у и z, които
дефинират валидно b.
-
Какво ще получа?
-
Първо искам, като ние
вече сме правили това,
-
ще запазя първия ред
непроменен.
-
1, 1, 1, 1 и после тук е х.
-
Сега да заместим втория ред
с втория ред минус първия ред.
-
Или всъщност ще го направя така.
-
Ще заместя втория ред
с 2 по първия ред
-
минус втория ред.
-
Значи 2 по първия ред
минус втория ред,
-
получаваме 2х минус у ето тук.
-
После 2 по 1, минус 2 е 0.
-
2 по 1, минус 1 е 1.
-
2 по 1, минус 4 е –2.
-
2 по 1, минус 3 е –1.
-
–2 и –1.
-
Добре.
-
Сега ще заместя третия ред
с третия ред
-
минус 3 по първия ред.
-
Значи от третия ред вадим...
-
не, ще го направя по следния начин.
-
Третия ред минус
3 пъти първия ред.
-
Първо ще направя стълб b,
защото помня какво направих.
-
Третия ред минус
три пъти първия ред.
-
3 минус 3 по 1 е 0.
-
4 минус 3 по 1 е 1.
-
1 минус 3 по 1 е –2.
-
И после 2 минус 3 по 1 е –1.
-
Сега мога да преобразувам
в ешелонна форма, но
-
вече се случи нещо интересно.
-
Ще се опитам още сега
да нулирам третия ред.
-
Най-добрият начин да
нулираме третия ред е просто
-
да заменим третия ред...
-
Значи първия ред...
даже няма да пиша първия ред.
-
Вторият ред е 0, 1, –2,
–1 и 2х – у.
-
Засега няма да се тревожа
за този първи ред.
-
Но сега да заместим третия ред,
просто като искаме да преобразуваме
-
в ешелонна форма.
-
Да заместим втория ред
-
с втория ред минус третия ред.
-
Получаваме 2х – у, минус z + 3х.
-
Просто взех това минус това.
-
Значи минус z + 3х.
-
Значи 0 минус 0 е 0.
-
1 минус 1 е 0.
-
–2 минус –2 е 0,
и това също е 0.
-
Значи ще имаме валидно решение
на Ах = b само когато
-
това ето тук е 0.
-
Какво ще стане, ако
този елемент не е 0?
-
Тогава ще имаме куп нули,
които са равни на някакво число,
-
което означава, че
няма решение.
-
Така че, ако изберем b, когато
този елемент не е равен на 0,
-
тогава няма решение.
-
Ако този елемент е 5, ако
избера х, у и z, такива, че
-
този израз да е равен на 5,
тогава Ах = b няма да има решение,
-
защото ще получим,
че 0 е равно на 5.
-
Значи това трябва да е 0.
-
Така 2х минус у, минус z, плюс 3х
трябва да е равно на 0, за да може
-
b да е валидно и да принадлежи
на векторното пространство на А,
-
за да получим валиден вектор
-
като резултат от Ах, или
произведението А по х
-
да е валидно за някакво х.
-
И на какво е равно това?
-
Ако съберем 2х плюс 3х,
получаваме 5х, минус у, минус z,
-
което е равно на 0, което е
същият резултат, като този, който
-
получихме чрез базисните вектори.
-
Казахме: Знаеш ли какво?
-
Базисните вектори трябва да принадлежат
на векторното пространство
-
по определение.
-
Затова да намерим нормалния вектор
към двата от тях, като
-
намерим векторното произведение.
-
Направих това и казах, че
векторното произведение по произволен
-
валиден вектор в нашето пространство
минус един от базисните вектори
-
трябва да е равно на нула, и после
получихме това уравнение.
-
Можехме да го направим
и по обратния път.
-
Можехме буквално да решим
това уравнение, като приемем, че
-
нашето b е равно на това.
-
Попитахме: Кои стойности на b
ще ни дадат валидно решение?
-
И едиственото валидно решение
може да се получи, когато този вектор
-
е равен на 0, защото останалата
част от този ред става 0.
-
И когато сложим това да е
равно на 0, получаваме
-
съвсем същото уравнение.
-
Надявам се, че намираш това
за сравнително удовлетворяващо,
-
защото успяхме да решим
същата задача от две различни посоки,
-
и да получим един и същ резултат,
-
което показва красотата
на линейната алгебра, и как
-
всичко започва да си пасва.