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Dans cette vidéo, nous allons étudier
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le théorème de Pythagore, qui est amusant en lui-même.
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Mais vous verrez en avançant de plus en plus en mathématiques
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que ce théorème est l'une des pierres angulaires de vraiment tous les maths.
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Il est utile en géométrie, c'est un peu la colonne vertébrale
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de la trigonométrie.
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Vous l'utiliserez également pour calculer les distances
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entre des points.
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Donc c'est une bonne chose de s'assurer que nous le connaissons bien.
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Mais entrons dans le vif du sujet.
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Laissez-moi vous dire ce qu'est le théorème de Pythagore.
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prenons un triangle, et ce triangle doit être
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un triangle rectangle, ce qui signifie que l'un des trois angles de ce
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triangle doit être de 90 degrés.
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Et vous indiquez qu'il est de 90 degrés en dessinant cette
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petite boite juste ici.
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Donc ici nous avons -- traçons le dans une couleur
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différente-- un angle à 90 degrés.
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Nous pouvons aussi l'appeler un angle droit.
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Et un triangle qui a un angle droit cela
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s'appelle un triangle rectangle.
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Donc ce triangle s'appelle un triangle rectangle.
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Maintenant, avec le théorème de Pythagore, si nous connaissons deux côtés
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d'un triangle rectangle nous pouvons toujours connaître
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le troisième côté.
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Et avant que je vous montre comment faire, laissez-moi vous donner un
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autre mot de vocabulaire.
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Le côté le plus long d'un triangle rectangle est le côté opposé
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à l'angle a 90 degrés -- ou opposé à l'angle droit.
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Donc dans ce cas c'est ce côté ici.
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C'est le côté le plus long.
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Et c'est aussi le moyen de découvrir où est l'angle droit, qui
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"s'ouvre" en quelque sorte sur ce côté plus long.
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Ce côté le plus long est appelé l'hypoténuse.
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Et c'est à retenir, parce que nous allons beaucoup en parler.
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Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça.
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Permettez-moi de le dessiner un peu mieux.
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Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ça.
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Et j'allais vous indiquer que cet angle juste
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ici est de 90 degrés.
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Dans cette situation, voilà l'hypoténuse, parce qu'il est
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opposé à l'angle de 90 degrés.
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C'est le côté le plus long.
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Permettez-moi d'en faire un de plus, juste pour bien savoir
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reconnaître l'hypoténuse.
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Alors disons que c'est mon triangle, et là c'est
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l'angle à 90 degrés.
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Et je pense que vous savez déjà le faire.
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Vous vous dirigez vers là où il s'ouvre.
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C'est l'hypoténuse.
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C'est le côté le plus long.
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donc vous avez identifié l'hypoténuse--et disons
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qu'il a la longueur C.
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Et maintenant, nous allons apprendre ce que le théorème
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de Pythagore nous apprend.
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Alors disons que que C est égale à la longueur de l'hypoténuse.
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Nous allons l'appeler C -- ce côté est C.
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Appelons ce côté juste ici A.
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Et appelons ce côté là B.
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Donc le théorème de Pythagore nous dit que A au carré --soit
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la longueur de l'un des petits côtés au carré, plus
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la longueur de l'autre petit côté au carré va
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être égale à la longueur de l'hypoténuse au carré.
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Maintenant faisons cela avec un réel problème, et vous verrez
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que ce n'est en fait pas si dur.
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Alors disons que j'ai un triangle qui ressemble à ceci.
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Permettez-moi de le dessiner.
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Disons que c'est mon triangle.
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On dirait quelque chose comme ça.
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Et disons que l'on nous dit que c'est l'angle droit.
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Que cette longueur juste ici--permettez-moi de la faire dans une couleur
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différente-- cette longueur ici est égale à 3 et que
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cette longueur est égale à 4.
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Et ils veulent que nous trouvions cette longueur là.
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Maintenant la première chose que vous voulez faire, avant d'appliquer vous même le
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théorème de Pythagore, est de s'assurer que vous avez votre
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hypoténuse.
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Vous vous assurez que vous savez ce que vous avez à trouver.
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Et dans ce cas, nous avons à trouver l'hypoténuse.
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Et nous le savons, parce que ce côté là, c'est le côté
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opposé à l'angle droit.
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Si nous regardons le théorème de Pythagore, c'est C.
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C'est le côté le plus long.
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Nous sommes maintenant prêts à appliquer le théorème de Pythagore.
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Il nous raconte que 4 au carré--un des petits côtés --plus
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3 au carré, le carré de l'autre petit côté --
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va être égal à ce côté plus long au carré--
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l'hypoténuse au carré -- va être égale à C au carré.
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Et vous avez trouvé C.
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4 au carré est la même chose que 4 fois 4.
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C'est 16.
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Et 3 au carré est la même chose que 3 fois 3.
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C'est donc 9.
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Et ça va être égal à C au carré.
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Combien font 16 plus 9 ?
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C' est 25.
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Donc 25 est égal à C au carré.
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Et nous pourrions prendre la racine carrée positive des deux côtés.
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Je suppose que, si vous l'examinez mathématiquement, cela pourrait
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être égal à moins 5.
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Mais nous avons affaire à des distances, donc nous nous occupons seulement
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des racines positives.
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Donc vous prenez la racine positive et
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vous obtenez 5 est égale à C.
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Ou encore, la longueur du côté le plus long est égale à 5.
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Maintenant, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore, si nous donnons
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deux des côtés, pour trouver le troisième côté quel
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que soit ce troisième côté.
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Dessinons un autre triangle ici.
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Disons que notre triangle ressemble à ceci.
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Et c'est notre angle droit.
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Disons que ce côté ci a une longueur de 12 et disons que
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que ce côté ici a une longueur de 6.
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Et nous voulons découvrir cette longueur juste là.
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Maintenant, comme je le disais, la première chose que vous voulez faire est
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identifier l'hypoténuse.
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Et cela va être le côté opposé à l'angle droit.
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Nous avons ici l'angle droit.
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Vous allez en face de l'angle droit.
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La côté le plus long, l'hypoténuse est là.
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Donc, si nous pensons au théorème de Pythagore--
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que A au carré plus B au carré est égal à C au carré-- 12 --
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que vous pouvez voir en C.
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C'est l'hypoténuse.
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Le C au carré est l'hypoténuse au carré.
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Donc vous pourriez dire 12 est égal à C.
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Et puis, nous pourrions dire que ces côtés, peu importe
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que vous appeliez l'un d'eux A ou l'un d'eux B.
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Alors nommons juste ce côté ici.
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Disons que A est égal à 6.
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Et puis nous dire que B--ce B coloré --est égal
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à un point d'interrogation.
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Et maintenant nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore.
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Un carré, qui est 6 au carré, plus l'inconnu B au carré est
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égal à l'hypoténuse au carré -- est égal
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à C au carré.
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Est égal à 12 au carré.
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Et maintenant nous pouvons trouver B.
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Et remarquez la différence ici.
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Maintenant nous n'allons pas trouver l'hypoténuse.
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Nous allons trouver l'un des petits côtés.
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Dans le dernier exemple, que nous avons cherché l'hypoténuse.
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Nous avons cherché C.
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C'est pourquoi il est toujours important de reconnaître que
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dans A au carré plus B au carré égalent C au carré, C est la longueur
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de l'hypoténuse.
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Alors trouvons B ici.
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Donc nous obtenons 6 au carré égale 36, plus B au carré, est égale
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égal au carré de 12 --soit 12 fois 12--donc 144.
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Maintenant nous pouvons soustraire 36 des deux côtés de cette équation.
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Ceux-ci s'annulent.
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Sur le côté gauche nous n'avons plus que B au carré
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est égal à --combien font 144 moins 36 ?
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C'est donc égal à 108.
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Donc voilà B au carré, et maintenant nous voulons prendre
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la racine principale, ou la racine positive.
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Et vous obtenez B est égale à la racine carrée, la
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racine principale, de 108.
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Voyons si nous pouvons simplifier ceci un petit peu.
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La racine carrée de 108.
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Et ce que nous pouvons faire c'est prendre le premier
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facteur de 108 et voir comment nous pouvons
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simplifier ce radical.
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108 c'est donc la même chose que 2 fois 54, qui est la même
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chose comme 2 fois 27, qui est la même chose que 3 fois 9.
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Alors, nous avons la racine carrée de 108 qui est la même chose que la
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racine carrée de 2 fois 2 fois--bien en fait,
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ce n'est pas fini.
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9 peuvent être divisés en 3 fois 3.
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C'est donc 2 fois 2 fois 3 fois 3 fois 3.
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Et nous avons donc un couple de carrés parfaits ici.
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Permettez-moi de le refaire un peu plus clairement.
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Et c'est tout un exercice de simplification de radicaux que vous
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allez souvent croiser en faisant le théorème de Pythagore,
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Si cela ne fait pas de mal de le faire ici.
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Donc c'est la même chose que la racine carrée de 2 fois 2
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fois 3 fois 3 fois la racine carrée de ce dernier
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3 là-bas.
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Et c'est la même chose.
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Et, vous savez, vous n'avez pas besoin de faire tout
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ça sur le papier.
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Vous pourriez le faire dans votre tête.
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Qu'est-ce que c est?
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2 fois 2 c'est 4.
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4 fois 9, c'est 36.
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Donc c'est la racine carrée de 36 fois la racine carrée de 3.
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La racine principale de 36 est 6.
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Cela simplifie à 6 racines carrées de 3.
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Donc la longueur de B, vous pourriez l'écrire comme la racine carrée de
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108, ou vous pourriez dire que c'est égal à 6 fois la
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racine carrée de 3.
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Il s'agit de 12, c'est 6.
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Et la racine carrée de 3, bien cela va être un 1
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virgule quelque chose.
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Cela va donc être un peu plus de 6.