Pythagorova věta - úvod

Další základní teoretické poznatky o přeponách, odvěsnách a Pythagorově větě.

V tomto videu se seznámíme

s Pythagorovou větou,
která je zábavná sama o sobě.

Až budete vědět víc o matematice, poznáte,

že je to jedna
ze základních vět celé matematiky.

Je používaná v geometrii,

tvoří základ trigonometrie.

Také se dá požít na výpočet

vzdáleností mezi body.

Takže je důležité, abychom ji dobře znali.

A dost řečí.

Nechte mě vysvětlit,
co Pythagorova věta doopravdy je.

Mějme trojúhelník,
ale musí to být pravoúhlý

trojúhelník, to znamená,
že jeden z tří úhlů

v trojúhelníku musí mít 90 stupňů.

To, že se jedná o 90 stupňů,
zobrazíte tak, že nakreslíte

malý čtverec přesně zde.

Jen to nakreslím jinou barvou.

Toto je úhel o velikosti 90 stupňů.

Nebo mu říkejme pravý úhel.

Trojúhelník, který má jeden pravý úhel,

se jmenuje pravoúhlý trojúhelník.

Tomuto říkáme pravoúhlý trojúhelník.

Pomocí Pythagorovy věty můžeme,

když známe dvě strany
pravoúhlého trojúhelníku,

určit třetí stranu.

Ale než vám ukážu, jak to dělat,
mám pro vás

ještě trochu terminologie.

Nejdelší strana pravoúhlého
trojúhelníku je strana naproti

úhlu o velikosti 90 stupňů,
naproti pravému úhlu.

V našem případě je to přesné tato strana.

Tato strana je nejdelší.

Která strana je nejdelší
se dá určit tak,

že je to strana naproti pravému úhlu.

Nejdelší strana se jmenuje přepona.

A to je dobré vědět,
protože o ní budeme pořád mluvit.

Abychom si byli jisti určováním přepony,
nakreslím ještě pár trojúhelníků.

Tak, řekněme, že máme trojúhleník,
který vypadá takto.

Jen to nakreslím trochu lépe.

Řekněme, že máme trojúhleník,
který vypadá takto.

A kdybych vám řekl, že tento úhel

je pravý úhel.

V této situaci je tato strana přepona,
protože je

naproti pravému úhlu.

Je to ta nejdelší strana.

Nakreslím ještě jeden,
abychom si byli jistí,

která strana je přepona.

Řekněme, že toto je
můj trojúhelník, a tady je

pravý úhel.

A myslím si, že už víte, jak na to.

Určíte stranu naproti pravému úhlu.

To je přepona.

Je to ta nejdelší strana.

Když už máte určenou přeponu, řekněme, že

má délku C.

Teď se naučíme, co nám říká

Pythagorova věta.

Řekněme, že se C rovná délce přepony.

Říkejme jí C, tato strana je C.

Tuto stranu nazveme A.

A tu poslední stranu B.

Pythagorova věta nám říká, že A na druhou,

délka jedné z kratších stran na druhou
plus

délka druhé z kratších stran na druhou

se rovná délce přepony na druhou.

Tak, teď to uděláme
s konkrétními čísly a uvidíte,

že to není tak složité.

Řekněme, že mám trojúhelník,
který vypadá takto.

Jen ho nakreslím.

Toto je můj trojúhelník.

Vypadá asi takto.

A řekněme, že tento úhel je pravý úhel.

Že tato délka,
nakreslím to jinou barvou,

že tato délka je 3 a že

tato délka je 4.

A chceme zjistit délku poslední strany.

První věc, kterou chceme udělat,
ještě před použitím

Pythagorovy věty, je uvědomit si,

kde je přepona.

Ujistěte se, že víte, co máte vypočítat.

V tomto případě chceme zjistit přeponu.

Víme to, protože tato strana je strana

naproti pravému úhlu.

Když se podíváme na Pythagorovu větu,
tak toto je C.

Je to nejdelší strana.

Teď použijeme Pythagorovu větu.

Říká nám, že 4 na druhou,
jedna z kratších stran, plus

3 na druhou, druhá kratší strana,

se bude rovnat délce
nejdelší strany na druhou,

délce přepony na druhou, "C" na druhou.

Teď už jenom vyřešíte rovnici pro C.

4 na druhou je totéž,
jako 4 krát 4.

To je 16.

A 3 na druhou je totéž,
jako 3 krát 3.

Takže to je 9.

A to se rovná C na druhou.

Kolik je 16 plus 9?

Je to 25.

Takže 25 se rovná C na druhou.

Teď už jen vypočítáme
druhou odmocninu z 25.

No, když se na to podíváme
čistě matematicky,

tak řešením by mohlo být i -5.

Ale my se bavíme o vzdálenostech,
takže nás zajímá

jenom kladný výsledek odmocniny.

Tak vypočítáme odmocninu z 25

a dostaneme 5, což se rovná C.

Neboli délka nejdelší strany se rovná 5.

Teď už umíte použít Pythagorovu větu,

když jsou zadány dvě ze stran,
na zjištění poslední strany,

ať už je to kterákoliv strana.

Zkusíme si ještě jiný příklad.

Řekněme, že máme takový trojúhleník.

A tady je náš pravý úhel.

Mějme tuto stranu o délce 12 a

druhou stranu o délce 6.

A chceme zjistit délku této třetí strany.

Tak, jak jsem už řekl,

nejdříve potřebujete určit přeponu.

Je to strana naproti pravému úhlu.

Pravý úhel máme tady.

Naproti pravému úhlu máme

nejdelší stranu, přeponu.

Když se zamyslíme nad Pythagorovou větou,

A na druhou plus B na druhou
se rovná C na druhou.

Můžete si za C dosadit 12.

To je přepona.

C na druhou je přepona na druhou.

Můžete říct, že 12 se rovná C.

A potom můžeme říct,
že u těchto stran nezáleží na tom,

kterou z nich si pojmenujete A nebo B.

Řekněme, že tato strana je A.

Že se A rovná 6.

A potom řekneme, že B...
Tato barva.

...je naše neznámá.

Použijeme Pythagorovu větu.

"A" na druhou, což je 6 na druhou,
plus "B" na druhou se rovná

přepona na druhou, což se rovná

"C" na druhou.

To se rovná 12 na druhou.

A teď vyřešíme rovnici pro "B".

Jen si všimněte rozdílu.

Teď nehledáme neznámou přeponu,

teď hledáme jednu z kratších stran.

V minulém případě jsme hledali přeponu.

Počítali jsme "C".

Proto je tak důležité rozpoznat ve vzorci

"A" na druhou plus "B" na druhou
se rovná "C" na druhou,

že C je délka přepony.

Tak teď dořešíme rovnici pro "B".

Dostáváme, že 6 na druhou, což je 36,
plus "B" na druhou

se rovná 12 na druhou,
to je 12 krát 12, což je 144.

Nyní můžeme odečíst 36
od obou stran rovnice.

Tyto se vzájemně vyruší.

Na levé straně
máme B na druhou

a to se rovná, 144 mínus 36, což je?

144 mínus 30 je 114,
teď odečtu 6, to je 108.

Bude to 108.

Takže to je "B" na druhou.
Chceme určit odmocninu,

pouze její kladný kořen
z obou stran.

Dostaneme, že "B" se rovná odmocnině,

kladné odmocnině ze 108.

Podíváme se,
jestli to můžeme trochu zjednodušit.

Odmocnina ze 108.

Můžeme vzít 108,

rozložit ho na součin prvočísel

a podívat se,
jak zjednodušit odmocninu.

Takže 108 se rovná 2 krát 54,

což je 2 krát 27, a to je 3 krát 9.

Máme zde odmocninu ze 108,
což je totéž jako

odmocnina ze 2 krát 2,
ale to není všechno.

Na něco jsem zapomněl.

9 se rovná 3 krát 3.

Takže to je 2 krát 2 krát
3 krát 3 krát 3.

Tím dostáváme několik pěkných mocnin.

Jenom to s dovolením
přepíšu do pěknějšího tvaru.

Rozklad čísla na součin prvočísel je něco,

s čím se budete setkávat často,
pokud budete používat Pythagorovu větu.

Takže nemůže škodit
si to trochu procvičit.

Toto je totéž jako
druhá odmocnina z 2 krát 2 krát

3 krát 3, to celé krát odmocnina

z poslední trojky, co tam byla.

Je to totéž...

Toto celé nemusíte počítat

na papíře.

Můžete to dělat z hlavy.

Co je toto?

2 krát 2 je 4.

4 krát 9 je 36.

Takže to je odmocnina z 36
krát odmocnina ze 3.

Druhá odmocnina z 36 je 6.

Zjednodušeně je to 6 odmocnin ze 3.

Takže délka "B" je rovna

odmocnině ze 108,
nebo můžeme také říct,

že je rovna 6 krát odmocnina ze 3.

Toto je 12, toto je 6.

Druhá odmocnina ze 3 je přibližně

jedna celá něco málo.

Takže toto bude rochu větší než šest.