Μικτοί αριθμοί και καταχρηστικά κλάσματα.

Μετατροπή μικτών αριθμών σε καταχρηστικά κλάσματα και το αντίστροφο

Τώρα θα μάθουμε πώς να πηγαίνουμε από τους μικτούς αριθμούς...

στα καταχρηστικά κλάσματα και το αντίστροφο.

Πρώτα λίγη ορολογία.

Τι είναι ένας "μικτός αριθμός";

Μπορεί να έχετε δει κάποιον να γράφει...

ας πούμε, 2 και 1/2

Αυτός είναι ένας μικτός αριθμός.

Θα μου πείτε: "Γιατί είναι μικτός αριθμός;"

Διότι περιλαμβάνει έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα.

Γι' αυτό είναι μικτός αριθμός.

Είναι το μείγμα ενός ακέραιου αριθμού και ενός κλάσματος.

Άρα έχουμε 2 1/2.

Νομίζω ότι έχετε μια ιδέα του τι είναι το δύο και ένα δεύτερο.

Είναι κάπου ανάμεσα στο 2 και το 3.

Και τι είναι ένα καταχρηστικό κλάσμα;

Ένα καταχρηστικό κλάσμα λοιπόν...

είναι ένα κλάσμα όπου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.

Θα σας δώσω ένα παράδειγμα ενός καταχρηστικού κλάσματος.

Θα διαλέξω κάποιους τυχαίους αριθμούς.

Ας πούμε ότι έχω το 23/5.

Αυτό είναι ένα καταχρηστικό κλάσμα.

Γιατί;

Διότι το 23 είναι μεγαλύτερο από το 5.

Είναι τόσο απλό.

Και μάλιστα, μπορείτε να μετατρέψετε ένα καταχρηστικό κλάσμα σε ένα μικτό αριθμό...

ή ένα μικτό αριθμό σε ένα καταχρηστικό κλάσμα.

Ας ξεκινήσω με το τελευταίο.

Ας μάθουμε πώς να μετατρέπουμε ένα μικτό αριθμό σε ένα καταχρηστικό κλάσμα.

Πρώτα θα σας δείξω το συστηματικό τρόπο.

Δίνει πάντα τη σωστή απάντηση,

και μετά θα προσπαθήσω να σας εξηγήσω γιατί λειτουργεί.

Αν θέλω λοιπόν να μετατρέψω το 2 1/2 σε ένα καταχρηστικό κλάσμα...

ή αν θέλω να το "απο-μείξω"

το μόνο που έχω να κάνω είναι να πάρω τον παρονομαστή στο κομμάτι του κλάσματος, να τον πολλαπλασιάσω με τον ακέραιο αριθμό...

και να προσθέσω τον αριθμητή.

Ας το κάνω λοιπόν.

Νομίζω ότι αν κάνουμε αρκετά παραδείγματα,

θα καταλάβετε πώς γίνεται.

Άρα, 2 x 2 = 4, 4 + 1 = 5.

Ας το γράψουμε αυτό...

2 x 2 + 1...

και αυτός θα είναι ο νέος αριθμητής.

Θα είναι όλο αυτό και από κάτω ο παλιός παρονομαστής.

Δηλαδή, αυτό ισούται με 5/2.

Άρα 2 1/2 ισούται με 5/2.

Ας κάνουμε άλλο ένα.

Ας πούμε ότι έχουμε το 4 2/3.

Αυτό ισούται -- θα είναι όλο αυτό διά του τρία.

Κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή...

και ο νέος αριθμητής θα είναι 3 φορές το 4, συν 2.

Άρα θα είναι 3x4 και μετά θα προσθέσουμε 2.

Αυτό λοιπόν ισούται με... 3 x 4...

η σειρά των πράξεων - πάντα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό πρώτα...

έτσι το δίδαξα αυτό - πώς το μετατρέπουμε αυτό...

3 x 4 = 12, 12 + 2 = 14.

Άρα αυτό ισούται με 14/3.

Ας κάνουμε ακόμα ένα.

Ας πούμε ότι είχα 6 17/18.

Μου έβαλα ένα δύσκολο πρόβλημα.

Λοιπόν, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή.

και ο νέος αριθμητής θα είναι 18 φορές το 6...

ή 6 φορές το 18, συν 17.

6 x 18 λοιπόν...

Για να δούμε... μας κάνει 60 + 48 = 108...

άρα αυτό ισούται με 108 + 17

όλο αυτό διά 18.

108 + 17 + 125. 125/18

Άρα το 6 17/18 ισούται με 125/18.

Ας κάνουμε κάνα δυο ακόμα.

Και σε λίγο θα σας μάθω πώς να κάνετε το ανάποδο...

πώς να πηγαίνετε από ένα καταχρηστικό κλάσμα σε έναν μικτό αριθμό.

Και αυτό θα σας δώσει λίγο να καταλάβετε το γιατί αυτό που σας διδάσκω δουλεύει στην πραγματικότητα.

Ας πούμε ότι έχουμε 2 1/4.

Αν χρησιμοποιήσουμε το σύστημα που σας έδειξα...

αυτό ισούται με 4 φορές το 2 συν 1 κι όλο αυτό διά 4.

Αυτό λοιπόν ισούται με 4 x 2 = 8, 8 + 1 = 9, 9/4.

Θέλω να σας δώσω να καταλάβετε το γιατί αυτό δουλεύει στην πραγματικότητα.

Έχουμε λοιπόν 2 1/4, ας το σχεδιάσουμε αυτό...

για να δούμε πώς φαίνεται.

Ας το σχεδιάσουμε με την αναλογία της πίτας.

Ισούται λοιπόν με μία πίτα...

δύο πίτες...

και μετά έχουμε το ένα τέταρτο μιας πίτας. Ω συγγνώμη.

Το ένα τέταρτο είναι κάπως έτσι. Το ένα τέταρτο λοιπόν, σωστά;

2 1/4. Μη δίνετε σημασία σ' αυτό δεν είναι τίποτα.

Δεν είναι υποδιαστολή - ας το σβήσω μάλιστα...

για να μη μας μπερδέψει περισσότερο.

Πάμε πίσω λοιπόν στα κομμάτια της πίτας.

Έχουμε εδώ 2 και 1/4 κομμάτια πίτας.

Και θέλουμε να το γράψουμε ώστε να δείχνει πόσα τέταρτα της πίτας υπάρχουν συνολικά.

Αν λοιπόν πάρουμε την καθεμιά από αυτές τις πίτες...

ουπς! Πρέπει να αλλάξω το χρώμα...

Αν πάρουμε καθεμιά από αυτές τις πίτες...

και τις διαιρέσουμε σε τέταρτα...

μπορούμε τώρα να πούμε πόσα τέταρτα πίτας έχουμε συνολικά;

Έχουμε ένα, δύο, τρία, τέσσερα, πέντε, έξι, εφτά, οχτώ, εννιά τέταρτα.

Βγάζει νόημα, έτσι;

2 και 1/4 είναι το ίδιο με το 9/4.

Και αυτό δουλεύει με κάθε κλάσμα.

Ας πάμε τώρα ανάποδα.

Ας δούμε πώς να πηγαίνουμε από ένα καταχρηστικό κλάσμα...

σε ένα μικτό αριθμό.

Ας πούμε ότι έχουμε το 23/5.

Εδώ λοιπόν θα πάμε ανάποδα.

Θα πάρουμε τον παρονομαστή...

και θα πούμε "πόσες φορές χωρά στον αριθμητή;"...

και έτσι θα υπολογίσουμε το υπόλοιπο.

Ας πούμε ότι το 5 χωρά στο 23...

λοιπόν το 5 χωρά στο 23 τέσσερις φορές.

4 φορές το 5 ίσον 20.

Και το υπόλοιπο είναι 3.

Άρα το 23/5 μπορούμε να πούμε ότι ισούται με...

4 και στο υπόλοιπο 3/5.

Άρα 4 και 3/5.

Ας ξαναδούμε τι κάναμε εδώ.

Πήραμε τον παρονομαστή...

και διαιρέσαμε τον αριθμητή με αυτόν.

Έτσι, το 5 χωρά στο 23 τέσσερις φορές.

Και μας μένουν 3.

Άρα, το πέντε χωρά στο 23 τέσσερις και 3/5 φορές.

Ή, ένας άλλος τρόπος να το πούμε αυτό, είναι ότι το 23 διά 3 μας κάνει 4 και 3/5.

Ας κάνουμε ακόμα ένα τέτοιο παράδειγμα.

Ας πούμε ότι έχουμε το 17/8.

Με ποιον μικτό αριθμό ισούται;

Μπορείτε να το κάνετε με το μυαλό σας...

αλλά θα το γράψω για να μη μπερδευτείτε.

το 8 χωρά στο 17 δύο φορές.

2 x 8 = 16.

17 - 16 = 1

Υπόλοιπο 1.

Άρα, 17/8 ισούται με το 2 και 1/8.

Σωστά; Διότι έχουμε ένα όγδοο που μας έμεινε.

Θα σας δείξω έναν οπτικό τρόπο για να δείξουμε κι αυτό...

ώστε να καταλάβετε καλύτερα πώς δουλεύει αυτή η μετατροπή.

Ας πούμε ότι έχω 5/2, έτσι;

Αυτό κυριολεκτικά σημαίνει ότι έχω πέντε μισά...

ή, αν πάμε πίσω στην αναλογία της πίτσας ή της πίτας...

ας ζωγραφίζω τα πέντε μισά της πίτσας.

Ας πούμε ότι έχω εδώ ένα μισό πίτσας...

και ας πούμε ότι έχω άλλο ένα μισό πίτσας εδώ.

το αναποδογύρισα.

Άρα έχουμε δύο.

Έχουμε λοιπόν ένα μισό, δύο μισά.

Άρα έχουμε τρία μισά.

Και μετά, έχω κι ένα τέταρτο μισό εδώ.

Αυτά είναι τα μισά της πίτσας...

και μετά έχω κι ένα πέμπτο εδώ, σωστά;

Άρα έχουμε πέντε μισά.

Αν το δούμε τώρα αυτό, αν συνδυάσουμε αυτά τα δύο μισά...

αυτό ισούται με μία πίτσα. Έχω άλλη μία πίτσα...

και μετά έχω κι άλλη μισή, σωστά;

Άρα αυτό ισούται με δύο και μισή πίτσες.

Ελπίζω ότι αυτό δεν σας μπέρδεψε πάρα πολύ.

Αν τώρα θέλαμε να το κάνουμε αυτό με το συστηματικό τρόπο...

θα μπορούσαμε να πούμε ότι το δύο χωρά στο πέντε...

το δύο χωρά στο πέντε δύο φορές...

και αυτό το δύο είναι εδώ πέρα...

και μετά, 2 x 2 = 4...

5 - 4 = 1, άρα το υπόλοιπο είναι 1...

και αυτό ακριβώς χρησιμοποιούμε εδώ.

Και φυσικά, κρατάμε τον ίδιο παρονομαστή

Έτσι, 5/2 ισούται με 2 και 1/2.

Ελπίζω ότι αυτό σας έδωσε μια εικόνα του πώς πάμε από ένα μικτό αριθμό σε ένα καταχρηστικό κλάσμα...

και αντιστρόφως...

από ένα καταχρηστικό κλάσμα σε ένα μικτό αριθμό.

Αν ακόμα είστε μπερδεμένοι, πείτε το μου...

και μπορεί να φτιάξω και άλλες ασκήσεις.

Καλή διασκέδαση με τις ασκήσεις!