-
В настоящия урок искам да разгледам
-
математиката, която стои зад ипотечните
кредити.
-
Действително няма да е урок за финансите.
-
Всъщност е насочено повече към
математиката.
-
В моето съзнание обаче засяга един
от най-фундаменталните
-
въпроси, които си задавам
-
от доста време насам.
-
Известно е, че теглим заеми,
когато искаме да си купим къщи.
-
Да кажем, че изтеглиш
200 000 долара ипотечен кредит.
-
Той е обезпечен от твоя дом.
-
Ще го изплащаш 30 години,
или може да кажем,
-
че това е равно на 360 месеца.
-
Защото, ако нормално го изплащаш
всеки месец,
-
лихвата се начислява всеки месец.
-
Нека да кажем, че плащаш 6% лихва.
-
Това е годишна лихва и обикновено
се разпределя
-
на месечна база, т.е. 6 %,
разделено на 12.
-
Тоест, става дума за 0,50 % на месец.
-
На месец.
-
Когато теглиш такъв кредит,
твоят брокер
-
или банкерът ти, ще погледне някаква
таблица,
-
или ще въведе числата в някаква
компютърна програма.
-
И ще ти каже "Добре, вноската ти следва
-
да бъде 1200 долара на месец.".
-
Ако изплащаш тези 1200 долара на месец,
в продължение на 360 месеца,
-
в края на тези 360 месеца ще изплатиш
200-те хиляди долара.
-
Плюс лихвите, които са се натрупали.
-
Но това число не се получава така лесно.
-
Нека покажем пример за това, как всъщност
работи ипотекирането.
-
В нулевия ден разполагаш с 200 000 долара
заем.
-
Имаш 200 000 долара заем.
-
Не изплащаш никакви вноски.
-
Ще направиш първата си вноска
-
след един месец, считано от днес.
-
Тази сума ще се получи от определените
0,50 %.
-
Тоест, десетична дроб, която
е равна на 0,005.
-
След един месец с такава лихва
тази сума ще нарасне
-
на 200 000 * (1 + 0,005).
-
Тогава ще внесеш тези 1200 долара.
-
Сумата ще стане минус тези 1200 долара.
Може би следва да го запиша като 1.2К.
-
В момента просто илюстрирам самата идея.
-
Това, което остава за следващия месец,
-
ще се определи отново от числото 0,50 %,
или 0,005.
-
Следващия месец отново ще се върнеш
-
и ще внесеш тези 1200 долара.
-
Минус 1200 долара.
-
Това ще се случи 360 пъти.
-
Тоест, ще продължиш да го правиш. Можеш
да си
-
представиш, ако действително
се опитваш да изразиш
-
това число, накрая на периода ще имаш
един огромен
-
израз, който ще съдържа 360 скоби
-
ето тук. И накрая всичко ще бъде равно
на 0.
-
Защото, след като направиш последната
вноска,
-
то къщата е изплатена.
-
Как обаче първоначално се определя
месечната вноска?
-
Нека да я означим с p.
-
Съществува ли математически метод,
за да я изчислим?
-
За да го направим, нека да разгледаме
по-общо задачата.
-
Нека да кажем, че L е равно на сумата на кредита.
-
Сумата на кредита.
-
Нека i да е равно на месечната лихва.
-
Месечна лихва.
-
Нека n е равно на броя месеци,
-
за срока на погасяването.
-
Тогава, искаме p да е равно на месечната
-
вноска, т.е. месечното плащане.
-
Част от него е лихвата, част от него
е главницата.
-
Сумата обаче, която ще изплащаш всеки
месец,
-
за да изплатиш кредита и лихвата, е една
и съща.
-
Така че това е твоята месечна вноска.
-
Това е същият израз, който току-що
записах тук горе.
-
Записах го в общ вид. Започва със сумата
на кредита L.
-
След един месец ще се увеличи като
-
умножим сумата по 1 + i. В случая i
-
е равно на 0,005.
-
След това изплащаш месечна сума, равна
на p, т.е. записваме минус p.
-
Следователно това се получава
накрая на месеца.
-
Сега обаче имаш отново някаква сума,
която е останала от твоя заем.
-
Тя се изчислява за следващия месец.
-
Тогава ще внесеш отново сумата p.
-
И този процес ще се повтори 300 пъти,
или n пъти,
-
защото все още става дума за общия вид.
-
Следователно ще имаш n на брой скоби.
-
И след като процесът се повтори n пъти,
то всичко това
-
ще бъде равно на 0.
-
Въпросът ми, този на който искам
да отговоря
-
в настоящия урок, е следният: Как ще
намерим числото p?
-
Ако са известни сумата на заема, месечният
-
лихвен процент и броя месеци,
-
то как ще намерим p?
-
Действително не изглежда като лесно
алгебрично
-
уравнение, което да решим.
-
Нека да видим дали може да направим
малко преобразувания.
-
Нека да видим дали може да запишем
израза по друг начин.
-
Нека да използваме пример, в който
числото n е равно на 1.
-
Ако n е равно на 1, то ситуацията
изглежда по следния начин.
-
Вземаш сумата на кредита,
умножаваш я за един месец,
-
т.е. 1 + i, а след това правиш
месечната вноска.
-
Това е кредит, който се изплаща за един
месец.
-
Тоест, след едно плащане
сумата на кредита е покрита.
-
Нищо не е останало за доплащане.
-
Ако сега искаме да намерим p, може да
разменим двете страни на уравнението.
-
Получава се p е равно на L * (1 + i).
-
Разделяме двете страни на уравнението
на 1 + i. Получава се p върху
-
1 + i е равно на L.
-
Може би ще кажеш:
"Хей, ето че намерихме p.
-
Защо правиш това?".
-
Правя го, за да ти покажа
-
модел, който ще се получи.
-
Нека да видим какво ще се получи,
когато n е равно на 2.
-
n е равно на 2.
-
Тогава започваш с първоначалния кредит.
-
Изчислява се за един месец.
-
Правиш своята вноска.
-
Тогава остава някаква сума от заема.
-
Ще се изчисли за още един месец.
-
Тогава правиш своята втора вноска.
-
Този ипотечен кредит съдържа само две вноски.
-
И сега е изплатен!
-
Нямаш останала сума от кредита.
-
Изплатени са и главницата, и лихвата.
-
Нека сега да намерим p.
-
Ще запиша p с някакъв цвят.
-
Ето това p ще направя в розово.
-
Нека да прибавим p към двете страни на
уравнението, след което да ги разменим.
-
Следователно това зелено p
ще бъде равно на ето този
-
израз ето тук.
-
Равно е на L * (1 + i), минус ето това
розово p.
-
Това е същото p. Просто искам
-
да ти покажа как изглежда алгебрично.
-
Минус това розово p, по 1 + i.
-
Ако сега разделим двете страни на
1 + i, ще се получи p
-
върху 1 + i е равно на L * (1 + i),
минус това розово p.
-
Нека сега прибавим това розово p към двете
страни на уравнението.
-
Получава се розовото p, плюс това p върху
1 + i,
-
е равно на L * (1 + i).
-
Сега разделяме двете страни на 1 + i.
-
Получава се розовото p върху 1 + i,
плюс зеленото p, същото p,
-
което е разделено вече на 1 + i.
-
Сега отново ще бъде разделено на 1 + i.
-
Тоест, ще бъде разделено на 1 + i на
квадрат. И равно на кредита L.
-
Получава се нещо интересно.
-
Може би е добре да изгледаш уроците
за настоящата стойност.
-
В този случай вземаш месечната вноска,
-
разделяш я на лихвата, и получаваш сумата
на кредита.
-
Вземаш всяка от вноските. Разделяш я
-
на 1 плюс месечната лихва,
-
на степен броя на месеците.
-
Действително вземаш настоящата стойност
-
на вноските и отново получаваш сумата
на кредита.
-
Може да го провериш, ако искаш
-
да се упражниш по алгебра.
-
Може да направиш същото с n равно на 3.
-
Няма да го направя, защото нямам
толкова време.
-
Ако избереш n да е равно на 3, то ще
получиш,
-
че кредитът е равен на p върху 1 + i,
плюс p върху 1 + i на квадрат,
-
плюс p върху (1 + i) на трета степен,
-
Ако имаш време, насърчавам те да го
докажеш
-
за себе си, като използваш същия подход,
който приложихме тук.
-
Ще видиш, че ще се получи малко страшно.
-
Ще има много преработки на израза,
-
но няма да те отведе далеч.
-
По принцип се надявам, че ти показах,
че може да представим
-
сумата на кредита като настоящата стойност
на всички вноски.
-
Тогава може да кажем, че сумата
на кредита – ако обобщим,
-
за n месеци, вместо за някакво число –
-
е равна на следното. Ще изнеса p като
общ множител.
-
Равно е на p по 1 върху (1 + i), плюс
-
1 върху (1 + i) на квадрат, и т.н.
-
n брой пъти, накрая плюс 1 върху
(1 + i) на степен n.
-
Сега може би виждаш какво се получава.
-
Това е геометрична прогресия.
-
Това е геометрична прогресия.
-
Има начин да намерим сумата на геометрична
-
прогресия с произволен брой членове.
-
Геометрична прогресия.
-
Както казах в началото, този урок ще бъде
-
за приложение на сума от членовете
на геометрична прогресия.
-
Равна е на сумата от 1 върху (1 + i).
Тук ще използвам
-
някаква друга буква. На степен j, като
j започва от 1.
-
От първата степен - т.е. ето този
член - от j равно на 1,
-
до j е равно на n.
-
Това е, на което е равна тази сума.
-
Нека да видим дали има някакъв лесен
начин да изчислим сумата.
-
Не искаме да събираме 360 пъти.
-
Може да го направиш и ще получиш число.
Разделяш
-
L на това число и получаваш p.
-
Трябва да има обаче и по-лесен начин да се
направи.
-
Нека да видим дали може да опростим
израза.
-
За по лесни изчисления, нека да направя
едно заместване.
-
Нека да кажем, че r е равно на 1 върху
(1 + i).
-
И нека цялата тази сума да е равна на s.
-
Тази сума тук е равна на s.
-
Ако r е равно на всеки от тези членове,
тогава
-
s ще бъде равно на следното. Това ще бъде
равно
-
на r на първа степен. Записвам r на
първа степен.
-
Това ще бъде равно на r на квадрат,
-
защото ако повдигнем на квадрат числителя,
отново се получава 1.
-
Тогава, имаме плюс r на квадрат, плюс r
на трета и т.н.,
-
докато не достигнем до плюс r на степен n.
-
Ще ти покажа един малък трик.
-
Винаги забравям формулата, така че това е
добър начин
-
да намериш сумата на геометрична
прогресия.
-
Всъщност, това може да се използва
за намиране сумата на безкрайна
-
геометрична прогресия. В случая обаче
работим
-
с крайна такава.
-
Нека да умножим s по r.
-
На какво ще бъде равно s по r?
-
Ако умножиш всеки един от тези членове
по r,
-
то първият ще се получи r на квадрат.
-
Вторият ще е r на трета.
-
Продължаваш така, докато
-
не достигнеш до r на степен r - 1.
Умножаваш го по r
-
и получаваш r на степен n.
-
След това умножаваш r на степен n по r
и получаваш
-
плюс r на степен r + 1.
-
Ето това са всичките членове, умножени
-
по r, като просто ги поставям под една
и съща степен.
-
Това, което сега можеш да направиш,
е да извадиш ето този
-
зелен израз от този лилав израз.
-
И ако образуваме s минус r * s, какво ще
се получи?
-
Просто изваждам тази линия от тази линия.
-
Ето тук се получава r1 минус 0, т.е.
r на първа
-
степен минус нищо тук.
-
След това се получава r на квадрат минус
r на квадрат и се унищожават.
-
r на трета минус
r на трета се унищожават.
-
Всички членове до r на степен n минус
r на степен
-
се унищожават. Тогава остава ето този
-
последен член тук.
-
Ето защо това е хубав трик.
-
Остава минус r на степен n плюс 1.
-
Сега изнасяме s.
-
Получава се s * (1 - r), дотук само
изнесох s,
-
е равно на r на първа степен минус r
на степен n плюс 1.
-
Ако сега разделим двете страни на
1 - r,
-
то ще получим търсената сума.
-
Търсената сума е равна на r, минус
r на степен n + 1, върху 1 - r.
-
На това е равна търсената сума, като
-
дефинирахме r по този начин.
-
А сега може да запишем отново цялата тази
щура формула.
-
Може да кажем, че сумата по кредита
е равна на месечната
-
вноска, умножена по ето този израз.
-
Ще го запиша в зелено.
-
Умножено по r минус r на степен n + 1.
-
Всичко това е върху 1 - r.
-
Ако сега искаме да изразим p, умножаваме
двете страни
-
по реципрочния на този израз и получаваме,
че p е равно на сумата по кредита,
-
умножена по реципрочния на ето този израз.
-
Записвам го в розово, защото е реципрочно.
-
1 - r върху r - r на степен
n плюс 1.
-
Където r е равно на този израз ето тук.
-
И сме готови!
-
Това е начинът да намериш на какво
-
е равна вноската на твоя ипотечен кредит.
-
Нека да го приложим.
-
Нека да кажем, че кредитът ти е равен
на 200 000 долара.
-
Нека годишната лихва е равна на 6 %,
-
което е 0,5 % на месец, т.е. същото
като 0,005.
-
Това е стойността на месечната лихва.
-
Нека да кажем, че е кредит за 30 години,
така че n ще бъде
-
равно на 360 месеца,
-
Нека да изчислим какво ще получим.
-
Първото нещо, което искаме да направим,
е да намерим,
-
на какво е равна стойността r.
-
Нека да намерим стойността на r.
-
r е равно на 1 върху 1 + i.
-
Нека вземем 1, разделено на 1 + i, т.е. плюс 0,005.
-
На това е равна месечната лихва,
на половин процент.
-
Тогава, 0,995 е стойността на r.
-
Нека го запиша, 0,995.
-
Този калкулатор не запазва променливи,
така че
-
просто ще запиша това тук долу.
-
r е равно на 0,995.
-
Просто използвахме това ето тук.
-
Липсва ми малко точност,
-
но мисля, че e ОК.
-
Важното нещо тук, е да ти представя
основната идея.
-
На какво е равна месечната вноска?
-
Нека умножим кредита от 200 000 долара.
200 000 долара.
-
по 1 - r, т.е. 1 - 0,995, разделено на r,
което е равно на 0,995, минус 0,995.
-
Сега n е равно на 360 месеца, така че ще
се получи
-
360 плюс 1, или на степен 361. Нещо, което
определено не мога
-
да пресметна наум. Сега затваряме скобите.
-
И крайният отговор е приблизително
1200 долара.
-
Действително, ако искаш абсолютна точност,
то ще получиш
-
малко по-малко от тази стойност, но ще
бъде приблизително 1200 долара.
-
Ето по този начин успяхме да намерим
-
реалната месечна вноска от ипотеката.
-
Следователно p е равно на 1200 долара.
-
Това беше наистина много нестандартен
подход, за да намерим
-
нещо, с което хората се сблъскват всеки
ден.
-
Сега обаче знаеш математиката, която стои
зад него. Не е нужно да
-
се занимаваш с някаква таблица или
електронна такава,
-
за да получиш числото чрез експеримент.